Capítulo 4- A falha dos axiomas de Zermelo-Fraenkel e dos Teoremas de Gödel
A dupla Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel formulou um sistema axiomático para promover uma teoria dos conjuntos sem os paradoxos da chamada teoria "ingênua" dos conjuntos, como, por exemplo, o paradoxo de Russell que considerava o conjunto M "o conjunto de todos os conjuntos que não possuam a si próprios como elementos". Este paradoxo nos leva à seguinte situação: Se M∈M então M∉M e vice-versa, o que nós utilizamos como definição de inexistência"x∉x", eles utilizaram para construir um conjunto e extrair uma contradição. Simplesmente não existe M, pois todos seus elementos são inexistentes, já que não possuem a si próprios, é ilógico tomar M como sendo algo existente, tanto é que isto produz uma contradição, porém isto nada mais é do que reflexo de uma compreensão superficial da linguagem. Presenciei a demonstração do seguinte teorema durante o curso de Teoria dos Conjuntos do IME-USP:
Teorema (Paradoxo de Russell) Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou seja ∀x∃y(y ∉ x).
Demonstracão: Suponha que exista um conjunto y tal que, para todo x, x ∈ y. Pelo axioma da separação para a fórmula x ∉ x, existe z tal que, para todo x, (x ∈ z) ↔ ((x ∈ y) ∧ (x ∉ x)). Como x ∈ y é verdadeiro para todo x temos que (x ∈ z) ↔ (x ∉ x)). Tomando z no lugar de x, temos (z ∈ z) ↔ (z ∉ z), chegando a uma contradição.
Esta demonstração utiliza o axioma do esquema de separação de Zermelo-Fraenkel para uma fórmula que toma um x inexistente "x ∉ x" como se fosse algo existente, portanto esta prova não faz sentido algum. Temos retratado aqui o erro destes dois matemáticos: Eles não reduziram a linguagem, não a compreenderam de forma exata com rigor científico e acabaram caindo nas lábias do mentiroso paradoxo, escreveram à esmo e não tomaram cuidado com as sutilezas, seu conjunto de axiomas demonstra sua debilidade ao não ser auto-suficiente a ponto de evitar tais armadilhas. Isto tudo é muito grave, tais falácias se multiplicaram no meio acadêmico e, atualmente, alimentam a maior sensação de rei nu jamais vista pela Ciência. Provamos a existência do conjunto de todas as coisas, então, alegar a inexistência do Todo deve ser a maior e mais ignóbil mentira de todas.
O paradoxo do barbeiro, análogo ao de Russell, foi utilizado por Kurt Gödel para provar o seu teorema da incompletude, aqui ele também toma um x inexistente "x ∉ x" e ainda confirma sua imperícia ao admitir que ele existe, à partir daí, ele deduz uma série de aberrações diluídas em uma confusão conceitual e linguística sem precendentes. Realmente, suas demontrações não possuem a mesma elegância daquelas feitas pelos grandes matemáticos: A simplicidade da prova é diretamente proporcional à sua elegância, tanto a formulação dos teoremas quanto suas definições são resultado de uma compreensão superficial e confusa da raiz das linguagens que iremos propor aqui, portanto, toda a teoria formulada por ele está condenada justamente por utilizar demasiadamente algo que não domina: A língua.
