Rascunhos Livro O Gênesis Matemático

GÊNESE MATEMÁTICA

ÍNDICE

Relação de Símbolos Utilizados

Introdução

A Teoria Nuclear da Linguagens

Lógica

Teoria dos Conjuntos

RELAÇÃO DE SÍMBOLOS UTILIZADOS

∀x Para todo x

∃x Existe x

∄x Não existe x

x∈y x pertence a y

x∉y x não pertence a y

x=>y x implica y

▄ Como queríamos demonstrar

INTRODUÇÃO

A ideia central deste livro é proporcionar a construção da Matemática utilizando a Teoria Nuclear das Linguagens (TNL) que fornece um pequeno conjunto de palavras capazes de gerar todas as linguagens, códigos e conceitos.

O livro sobre a TNL demostra o processo de obtenção deste núcleo extraído da linguagem e o confronta com os fundamentos da Matemática e da Física, estes não puderam provar ser mais fundamentais do que a TNL, ela foi capaz de reescrever ou demonstrar inclusive axiomas, este fato coloca esta teoria como ponto de partida obrigatório para a formalização de conceitos os quais, costumeiramente, se escoram demasiadamente sobre a linguagem natural.

Portanto, tendo em mente que os fundamentos das ciências estão dispostos de forma desorganizada e empírica, o objetivo proposto se mostra vital para a formalização e fundamentação sólida desta ciência que, historicamente, serve de base para as demais.

A TEORIA NUCLEAR DAS LINGUAGENS

Neste capítulo apresentaremos um resumo das principais características e resultados da TNL. Ela afirma que todas as palavras e ideias podem ser geradas mediante combinações dos conceitos fundamentais ter e fazer, os quais aplicam-se aos substantivos produzindo todas as linguagens e códigos.

Sua simbologia utiliza apenas dois caracteres fundamentais (. e >), o ponto indica o ter e a "seta" indica o fazer. O “não” foi descartado como um possível candidato para este núcleo, pois seria uma forma de expressar, de forma sintética, todo um conjunto maior de fatos, exemplo: A casa não é verde = A casa é amarela ou vermelha ou branca ou azul ou rosa… Também, ao dizermos que uma casa é amarela, estamos dizendo que ela não é azul, nem roxa nem qualquer outra cor diferente da cor amarela.

EXEMPLOS DE FÓRMULAS DA TNL

x . y = x tem y

x > y = x faz y

x . (>y) = x tem fazer y / x pode fazer y

x > (y > z) = x faz y fazer z / x utiliza y para fazer z

(y . z) > (z . x . z) = Apenas x é y / y tem z faz z ser igual à x

°x = não x/complementar de x

x°.y = x não tem y.

Observação: inserimos um símbolo para o “não” por uma necessidade prática.

Lista de resultados matemáticos da TNL:

• Definição precisa de conceitos sem a necessidade de entes primitivos;
• Refutação dos teoremas de Kurt Gödel;
• Fórmula exata para o conceito de existência: ∃x equivale a afirmar que x∈x;
• Demonstração de axiomas, crítica e refutação de alguns axiomas de Zermelo-Fraenkel;
• Construção dos números naturais, axiomática de Peano e respectivas operações;
• Demonstração da existência do conjunto de todas as coisas.

Portanto, a TNL demonstrou ser uma teoria mais fundamental do que a Matemática, pois pôde confrontar até seus axiomas e conceitos mais fundamentais, desta forma, esta obra tentará fundamentar e corrigir algumas inconsistências, ambiguidades e redundâncias presentes na formalização desta disciplina.

LÓGICA

A teoria dos conjuntos e a lógica de primeira ordem podem formalizar toda a matemática, porém ambas dependem muito da linguagem natural para ser fundamentar, é neste ponto que a TNL age, pois sistematiza as linguagens e códigos. Existem outros tipos de lógica, para o leitor que tiver interesse, indicamos o livro “Lógica Matemática” do Professor Rogério Augusto dos Santos Fajardo, tais “lógicas” não serão consideradas, pois todas suas variantes baseiam-se em ideias que já foram diluídas no livro sobre a TNL, por exemplo: necessidade, possibilidade, causa, efeito e probabilidade.

A lógica de primeira ordem se divide em 3 partes:

1. Linguagem: Símbolos e regras de escrita (formação);
2. Semântica: Significação da linguagem (interpretação);
3. Axiomática: Provar teoremas a partir de outras afirmações.

Percorreremos estas três partes com detalhes, mas antes cabe salientar que a lógica de primeira ordem é dita ser livre de contexto, portanto é inferior à linguagem natural e possui sintaxe controlada, ou seja: limita o arranjo de símbolos a fim de evitar paradoxos. A linguagem da matemática é a lógica e a linguagem da lógica é a própria linguagem natural (de forma controlada-limitada).

Não seria possível provar um teorema conhecendo apenas a sintaxe, pois toda sintaxe possui um significado atrelado. Muitas vezes isto não é percebido, e os símbolos são utilizados de forma automática sem que se reflita a respeito deles, isto contrasta com sua importância na fundamentação da teoria.

O uso da sintaxe controlada evita o surgimento de paradoxos, este é um ponto crucial a ser tratado, pois a limitação da sintaxe evitou o desenvolvimento de um completo entendimento da linguagem natural isto só veio a ser corrigido com a TNL. O argumento de Gödel foi uma variação do paradoxo do mentiroso “esta frase é falsa”, ora, se ela é falsa então ela é verdadeira e, se é verdadeira, então é falsa. Ele baseou-se nisto para sustentar seus teoremas, porém, de acordo com a TNL, esta frase indica algo que não existe, não é real e não é verdadeiro: todos conceitos equivalentes. Temos, nada mais nada menos, do que algo análogo ao paradoxo de Russel que se baseia numa representação de algo que não existe “x°.x” (x não tem x). Devemos lembrar que o “não” indica, automaticamente, que a afirmação não é válida(não existe), daí deduz-se o princípio do terceiro excluído: toda afirmação é verdadeira ou falsa, não existe a possibilidade dela ser as duas simultaneamente. Portanto, x°.x elimina x.x e vice-versa. Não se pode conceber algo que exista e não exista ao mesmo tempo, porém podemos considerar este pensamento com símbolos, fazendo representações de coisas que não existem, logo, só porque podemos representar algo, não quer dizer que ele exista necessariamente.

A LINGUAGEM DA LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

A lógica de primeira ordem é expressiva o suficiente para formalizar toda a matemática, mas não é capaz de englobar toda a linguagem, desta forma, é necessário limitar o contexto da linguagem à qual estamos nos referindo. O “alfabeto” da linguagem da lógica de primeira ordem sempre é o mesmo, independente da limitação contextual à qual ela esteja submetida, o alfabeto é formado por:

• Variáveis (fórmulas atômicas): x, y, z... Também podem ser indexadas por números naturais: x₁, x₂...;
• Conectivos: ↔, ¬, ⋀, ⋁, →;
• Quantificadores: ∃ e ∀;
• Delimitadores: ), ( e , ;
• Igualdade: =;
• Símbolos relacionais: Para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos relacionais n-ários, costumam ser representados por letras maíusculas que também podem ser indexadas por números naturais;
• Símbolos funcionais: Para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos funcionais n-ários, costumam ser representados por letras maíusculas e podem ser indexadas por números naturais;
• Constantes: Uma lista, que também pode ser vazia, de símbolos normalmente letras minúsculas do início do alfabeto, e podem ser indexadas pelos naturais.

Podemos notar que não se trata de uma linguagem fundamental, pois não é capaz de definir o significado de seus símbolos de forma não empírica. Discutiremos como cada um dos itens acima poderiam ser explicados pela TNL.

VARIÁVEIS (FÓRMULAS ATÔMICAS)

O conceito de variável confunde-se com a ideia do axioma da escolha que veremos com mais detalhes no capítulo sobre teoria dos conjuntos. Se x varia dentro de um conjunto C, então seu valor depende de uma escolha, a não especificação implicaria em indefinição que é um conceito já contemplado pela TNL. Outra possibilidade seria a generalização o que nos levaria a mais uma redundância, agora envolvendo o ∀ (para todo).

Para o caso limitado da lógica, as variáveis ou “fórmulas atômicas” são expressões que não possuem os conectivos em sua formação, elas não podem ser objetos, mas apenas afirmações que são classificadas em verdadeiras ou falsas, portanto a lógica não engloba toda a linguagem como a TNL faz. Podemos quebrar objetos e até o átomo determinando seus elementos constituintes, a TNL quebra estes "átomos" da linguagem natural, pois fornece uma estrutura capaz de fragmentar todas as expressões da linguagem, enquanto que a lógica se limita a dizer que são fórmulas atômicas inquebráveis que podemos apenas dizer se são verdadeiras ou falsas, a TNL amplia toda esta concepção com o conceito universal de existência.

Uma variável x pode ser igual a V ou a F, temos o “ou” em sua estrutura básica, sua fórmula seria a seguinte dentro da TNL: (x.F.x)>°(x.V.x), (x.V.x)>°(x.F.x), em outras palavras x=F faz x≠V e x=V faz x≠F. Note que tal entendimento não se importa com a essência das variáveis, basta saber se o “valor” delas é V ou F, por exemplo: se x= “papai noel existe”, a lógica não considera esta possibilidade na realidade, nem que x seja apenas a frase escrita, ela limita seu contexto de forma a diminuir x de forma que x=V ou x=F. 

CONECTIVOS

Os cinco conectivos listados pela lógica de primeira ordem podem ser reduzidos a apenas dois: ¬ e ⋀. O significado destes conectivos pode ser expresso pela linguagem natural:

• ↔: equivalência;
• ¬: negação;
• ⋀: e;
• ⋁: ou;
• →: implicação.

Todos os conectivos podem ser reduzidos à apenas ¬ e ⋀, vejamos como isto é feito para os conectivos derivados:

• Equivalência: A↔B = (A→B)⋀(A→B)
• Ou: A⋁B = ¬((¬A)⋀(¬B))
• Implicação: A→B = (¬A)⋁B ou seja: A→B = (¬A)⋁B = ¬((¬¬A)⋀(¬B)) = ¬((A)⋀(¬B))

Nota: poderíamos utilizar ¬ e ⋁ para os mesmos fins de redução.

E ⋀

Diferente do que ocorre na implicação, o "e" não indica, necessariamente, uma interdependência entre os termos. Se for interpretado como uma intersecção, ele indica que um elemento x pertence a dois conjuntos A e B ao mesmo tempo, em TNL: A.x, B.x. Podemos ver que não foi necessário dizer que “A.x e B.x”, basta a menção das construções lado a lado, pois “A e B” equivale à “AB”. Dizer “a casa é verde e bonita” equivale a dizer “a casa é verde, a casa é bonita”, portanto, o “e” não deve ser visto como algo primitivo, mas apenas mais um recurso da linguagem que pode ser explicado pela TNL.

Escrever AB deve ser entendido como uma referência à A e a B como um conjunto único, portanto, neste caso temos uma união dos conjuntos, pois (AB).A e (AB).B.

No contexto limitado da lógica de primeira ordem, o que importa é apenas o valor de cada variável, portando A⋀B possui as seguintes possibilidades:

V⋀V = V

V⋀F = F

F⋀V = F

F⋀F = F

Nota-se que A⋀B só poderá ser verdadeira se A e B forem ambos verdadeiros, logo, tal expressão refere-se à validade de AB: a união de A e B como um todo. Pode ocorrer que parte de A ou B seja falsa, por exemplo: se B é a frase “São Paulo fica no Brasil e existem triângulos com quatro lados”, então apenas uma parte de B é verdadeira, logo, não podemos afirmar que todo o conjunto AB é verdadeiro, o ⋀ lógico possui esta ideia intrínseca de todo verdadeiro ou de junção, união de conjuntos o que pode se confundir com o “ou”.

 Portanto temos as seguintes concepções para o ⋀:

1. Intersecção: A.(A∩B), B.(A∩B), (A.x, B.x)>(A∩B).x;
2. União: (A e B).(AB).(A e B), a soma também pode ser incluída aqui, pois 2 + 3 = 2 e 3 no sentido de união; (AB).B, (AB).A, ((AB).x, B°.x)>A.x, ((AB).x, A°.x)>B.x. Esta ideia de junção é muito interessante, pois pode formar quaisquer coisas mediante a junção de suas partes integrantes;
3. Validade simultânea de A e B, neste caso: (.A, .B)>.(AB), (.A, °.B)>°.(AB), (°.A, .B)>°.(AB), (°.A, °.B)>°.(AB). Note que abreviamos A.A “existe A ou A tem A” por .A “tem A”.

A TNL foi capaz de expressar qualquer uma das concepções como meras construções de sua sintaxe.

OU ⋁

O “ou” pode indicar uma interdependência entre termos, por exemplo: na frase “ela é rica ou feliz”, se ela é rica então não é feliz e, se é feliz, então não é rica; ambas as frases interferem uma na outra. Na TNL escreveríamos (x>°y, y>°x).

Se for interpretado como uma união de conjuntos “x pertence à união de A com B”, ele indica que um elemento x pertence ao conjunto A ou ao conjunto B, em TNL: ((A∪B).A, (A∪B).B), ((A∪B).x, A°.x)>B.x, ((A∪B).x, B°.x)>A.x (note que A∪B=AB). Neste caso, o “ou” cumpre uma função de junção assim como o ⋀ também pode fazer. Imagine um y que não possa ser decomposto em partes menores, então não existem w e z, diferentes de y, tais que y=w⋀z=wz ou, analogamente, y=w∪z=wz; y não teria partes próprias, em outras palavras: y.p>p.y. ou (y.(wz).y, °(w.z.w))>(°.w, °.z), se isto é possível não se sabe, mas a TNL pode expressar.

No contexto limitado da lógica de primeira ordem, o que importa é apenas o valor de cada variável, portando A⋁B possui as seguintes possibilidades:

V⋁V = V

V⋁F = V

F⋁V = V

F⋁F = F

Nota-se que A⋁B só poderá ser verdadeira se A ou B for verdade. Portanto a frase: “São Paulo fica no Brasil ou existem triângulos com quatro lados” seria verdadeira, o oposto do que ocorreria se o “ou” fosse substituído por “e”.

Portanto temos as seguintes concepções para o ⋁:

1. Exclusividade: (A⋁B).(°A>B, °B>A).(A⋁B);
2. Pertencimento a uma união de conjuntos: ((A∪B).A, (A∪B).B), ((A∪B).x, A°.x)>B.x, ((A∪B).x, B°.x)>A.x;
3. Validade de A ou B: (.A, .B)>.(A⋁B), (.A, °.B)>.(A⋁B), (°.A, .B)>.(A⋁B), (°.A, °.B)>°.(A⋁B). 

IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA

A equivalência pode ser descartada como um conectivo primitivo logo de início, pois (A↔B)=(A→B, B→A) ou A→B→A, nada mais é do que uma forma simplificada de se escrever duas implicações.

A implicação pode ser substituída pelo > o “fazer” da TNL, pois possui o mesma ideia de causa e efeito, exemplos:

1. x+1=2→ x=1, na TNL: (x+1=2)>(x=1), para mais detalhes sobre a fragmentação do processo de resolução de equações sugerimos a leitura do livro sobre TNL;
2. x∈N→x∈R, na TNL: (N.x)>(R.x);
3. Todo humano é mortal→Jesus é mortal, na TNL: (M.H, H.J)>M.J, onde M=conjunto dos mortais; H= conjunto dos homens e J=Jesus. Este caso será importante para desenvolvermos o quantificador ∀.

No caso limitado da lógica de primeira ordem, temos que nos ater apenas aos valores de A e B:

V→V = V

V→F = F

F→V = V

F→F = V

Os diagramas de Venn-Euler, quando indicam variáveis proposicionais, devem ter intersecção não vazia. Imaginar que A e B são independentes não é válido, portanto, podemos ver isto como uma forma de se dizer que, de algo existente (verdadeiro), só podem sair coisas existentes. A primeira, segunda e quarta linha da tabela aceitam esta interpretação, porém a terceira linha nos diz que de algo não existente sai algo existente, a única forma disto ser verdade é se entendermos P sendo parcialmente verdadeiro, desta forma dizer que de algo parcialmente verdadeiro (ou seja falso), pode sair algo verdadeiro justificaria a tabela. Nesta interpretação, teríamos:

(.x, .y)>((.x)>(.y))

(.x, °.y)>°((.x)>(.y))

(°.x, .y)>((°.x)>(.y))

(°.x, °.y)>((°.x)>(°.y))

O fato de que a TNL nos permite expressar esta tabela-verdade independe de sua existência ou viabilidade em situações reais. Conforme dissemos, esta tabela é melhor interpretada se for entendida como a possibilidade de algo verdadeiro ser gerado por outro conjunto, mesmo ele sendo verdadeiro em parte: o falso pode ser parcialmente verdadeiro, mas o verdadeiro é integralmente verdadeiro.

Vimos também que, para a lógica de primeira ordem, A→B=¬((A)⋀(¬B)), ou seja: não pode acontecer de A ocorrer sem a ocorrência de B, dizer que “A implica B” equivale a dizer que “é falso que A é verdadeiro e B é falso”.

Daniel não aparece no Alcorão

Antigravidade

Livro de Matemática

São apenas nomes que nomeastes

A Matemática parece cumprir a tarefa de ser a ciência mais fundamental, porém a TNL...
Notas sobre o livro "Lógica Matemática"

A teoria dos conjuntos e a lógica podem formalizar toda a matemática.

A lógica de primeira ordem se divide em 3 partes:

1. Linguagem: Símbolos e regras para escrevê-los (formação);
2. Semântica: Significação da linguagem (interpretação);
3. Axiomática: Provar teoremas a partir de outras afirmações.

A lógica é livre de contexto, portanto inferior à linguagem natural, possui sintaxe controlada. A linguagem da matemática é a lógica, mas qual seria a linguagem da lógica, em princípio seria a própria linguagem natural (de forma controlada).

Ele diz que é possível provar um teorema conhecendo apenas a sintaxe da lógica, mas se esquece que toda sintaxe possui o semântico atrelado.

Ele diz que discutir o sistema de axiomas faz parte da filosofia.

A lógica de primeira ordem, por meio da teoria dos conjuntos, é capaz de formalizar toda a matemática.

O uso da sintaxe controlada impede o surgimento de paradoxos.

O argumento de Gödel foi uma variação do paradoxo do mentiroso (eu não posso ser provada). Também demonstra que, se um sistema for consistente, ele não poderá provar sua própria consistência.

A lógica proposicional utiliza o seguinte alfabeto para sua linguagem:

• Variáveis (fórmulas atômicas): p, q, r, s... ou pi, onde i= 0, 1, 2...
• Conectivos: ↔ ¬ ⋀ ⋁ →
• Delimitadores: ) e (

Segundo o mesmo, a formação de fórmulas deve seguir as seguintes regras:

• Variáveis são fórmulas;
• Se A é uma fórmula, então (¬A) também é;
• Se A e B são fórmulas, então (A↔B),  (A⋀B),  (A⋁B) e (A→B) também são
• Não existem outras fórmulas além dessas.

É interessante notar que expressões com significado tais como  ¬ → e ↔ ⋀ → são ignoradas.

A partir dessas definições imprecisas, deduz-se regras sobre as fórmulas.  

Fórmulas atômicas possuem a característica de não terem os conectivos em sua formação, não podem ser objetos, mas apenas afirmações que são verdadeiras ou falsas, portanto a lógica não engloba toda a linguagem como a TNL faz. Sempre podemos quebrar algo físico por seus entes constituintes, pois p = q⋀r. A TNL quebra estes "átomos", pois fornece uma estrutura capaz de quebrar todas as expressões da linguagem que a lógica se limita a dizer que são fórmulas atômicas inquebráveis que podemos apenas dizer se são verdadeiras ou falsas. A TNL amplia toda esta concepção com o conceito universal de existência.
Valoração é uma função, e função é uma relação.

Diagramas de Venn-Euler devem ter intersecção não vazia para ter validade lógica.

Todos os conectivos podem ser reduzidos à apenas ¬ e ⋀, pois:
A↔B = (A→B)⋀(A→B)
A⋁B = ¬((¬A)⋀(¬B))
A→B = (¬A)⋁B ou seja: A→B = (¬A)⋁B = ¬((¬¬A)⋀(¬B)) = ¬((A)⋀(¬B))

Afirma que a lógica proposicional depende de noções intuitivas de aritmética, que o termo família de conjuntos é redundante e tem propósito didático e que na axiomática dos conjuntos tudo é conjunto.

Definição de AxB: É o conjunto dos pares ordenados (x,y) tais que x∈A e y∈B.
Em TNL: (A.a B.b)>(AxB).(a,b) quando não especifica, generaliza.
A tem um a e B tem um b, então AxB tem (a,b).

Definição de relação: (AxB).R, então R é uma relação. Portanto todo subconjunto do produto cartesiano é uma relação.

Definição de Função: É um tipo de relação específico.

Funções: f: A→B é uma função, se e somente se:

(A.x)>(.f(x),B.f(x)) ou B.(f(A))
(B.f(x), B.b, b.f(x) ) > f(x).b> b=f(x), ou seja, o valor de f(x) é único.

Novamente: Quando não se especifica, há uma generalização, assim como ocorre na língua. Interpretar a falta de especificação como uma indefinição não está correto, pois ao dizermos "uma mulher ganhou na loteria" estamos no especificando a uma mulher, não é uma generalização.

Definição de ordem: Também é um tipo específico de relação que obedece às seguintes propriedades:

∀a∈A : a≼a

a≼b e b≼a => a=b
a≼b e b≼c => a≼c

Em TNL:

A.a>a≼a
(A.(ab) a≼b b≼a)>a.b.a
(A.(abc) a≼b b≼c)>a≼c

O nome "parcial" significa que nem todo elemento de A precisa ser comparável. Quando se tem a propriedade adicional "∀a,b∈A => a≼b ou a≼c ou a=b", dizemos que A é totalmente ordenado.
Em TNL: A.(b c)>[b≼c ou c≼b ou b=c], lembrando que "ou" e "=" já foram reduzidos na TNL.


Se ∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado. Em outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento.
Em TNL: A.B>[(.b B.b) (B.x>b≼x)]


Confrontando estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼ pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o que implica em equivalência conceitual:

∀a∈A : a.a
a.b e b.a => a=b
a.b e b.c => a.c
No exemplo abaixo temos b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; b não se relaciona com c.


Este caso parece fugir da conceito de "ter", porém existe uma comparação estabelecida de forma visual pelos elementos que estão mais acima. Aqui não temos um conjunto totalmente ordenado, mas apenas uma relação genérica cuja definição já foi descrita na TNL.

Quanto aos números, a relação de ordem se resume à uma inclusão, por exemplo, dizer que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||

Definição de relação de equivalência: R é uma relação de equivalência em X se:

• xRx para todo x∈X
• xRy então yRx
• xRy e yRz então xRz

Em TNL:  

X.x>xRx

xRy>yRx

xRy, yRz > xRz

Segundo o livro, a lógica de primeira ordem é expressiva o suficiente para formalizar toda a matemática. Ela não é capaz de englobar toda a linguagem, ao nos referirmos a ela, é necessário estabelecer, limitar, a linguagem à qual estamos nos referindo. Ela é formada por:

• Variáveis: x, y, z... Também podem ser indexadas por números;
• Conectivos: ↔ ¬ ⋀ ⋁ →;
• Quantificadores: ∃∀
• Delimitadores: ), ( e ,;
• Igualdade: =
• Símbolos relacionais: Para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos relacionais n-ários, geralmente representados por letras maíusculas que podem ser indexadas por números naturais;
• Símbolos funcionais: Para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos funcionais n-ários, geralmente representados por letras maíusculas que podem ser indexadas por números naturais;
• Constantes: Uma lista que pode ser vazia de símbolos, geralmente letras minúsculas do início do alfabeto, eventualmente indexadas pelos naturais.

Críticas: Não se trata de uma linguagem forte, ela não é capaz de definir =↔¬⋀⋁→∃∀, o que é variável, relação, função, números e constante. Todos estes elementos podem ser esmiuçados pela TNL.

A partir desta lista vulgar, definem-se outros conceitos artificiais fundados sobre elas e interdependentes: Termos, fórmulas(que dependem da definição de termo), grau de complexidade de termos e fórmulas, subtermos e subfórmulas, variáveis livres, substituição de variável por termo, substituição de variável por termo.

Vejamos os casos específicos de Fórmulas e termos:

Termos: São sequências finitas de símbolos do alfabeto que obedecem a estas regras:

• As variáveis são termos;
• As constantes são termos;
• Se t1,...tn são termos e F é um símbolo funcional n-ário, então F(t1,...,tn) é um termo;
• Todos os termos têm uma das formas acima.

Fórmulas: São sequências finitas de símbolos do alfabeto que obedecem a estas regras:

• Se t e s sã termos, (t=s) é uma fórmula;
• Se t1,...tn são termos e R é um símbolo relacional n-ário, então R(t1,...,tn) é uma fórmula;
• Se A e B são fórmulas, então (¬A), (A→B), (A⋀B), (A⋁B) e (A↔B) são fórmulas;
• Se A é fórmula e x é uma variável, então ∃xA e ∀xA são fórmulas;
• Todas as fórmulas têm uma das formas acima.

Ele reduz os conectivos a apenas ¬ ⋀ ∀:

A↔B = (A→B)⋀(A→B)

A⋁B = ¬((¬A)⋀(¬B))
A→B = (¬A)⋁B ou seja: A→B = (¬A)⋁B = ¬((¬¬A)⋀(¬B)) = ¬((A)⋀(¬B))
∃xA = ¬∀x¬A


Paradoxos: Representações de coisas inexistentes ou contradições.

Em semântica temos que o Modelo é construído à partir de uma linguagem de primeira ordem, constantes, um conjunto não vazio, símbolos relacionais e funcionais.

Interpretação: Se dá por meio de uma função (valoração), depende de variáveis modelo, domínio.

Verdade: Depende da valoração, modelo, fórmula

↔¬∈⋀⋁→∃∀
Fim

E

O "e" não implica necessariamente em interdependência entre os termos. Interpretado como uma intersecção, ele indica que x pertence a dois conjuntos A e B ao mesmo tempo em TNL:
A.x B.x

Ele também pode significar outras simultaneidades, AB indica que estamos nos referindo a A e a B como um conjunto único, neste caso temos uma união dos conjuntos.

A negação do para todo é existe um que não, pode ser expressa por dois conjuntos com intersecção não vazia.

A ZFC pode ser utilizado para formalizar toda a matemática, inclusive os teoremas metamatemáticos. Nessas formalizações temos algumas limitações, pois não podemos, na lógica de primeira ordem, quantificar sobre conjuntos, funções e sequências de elementos do universo.
A teoria dos conjuntos surge como uma teoria unificadora, utilizando uma linguagem de primeira ordem. O livro defende que a ZFC cumpre bem o papel de sistema unificador, sendo possível definir dentro dele os objetos matemáticos básicos como pares ordenados, produto cartesiano, funções, naturais e reais. Outras teorias matemáticas podem ser definidas a partir destes como a geometria euclidiana que pode ser interpretada em R3.

Afirma que: "Deixamos como tarefa ao leitor de suma paciência e disposto de bastante tempo livre formalizar essas demonstrações integralmente na lógica de primeira ordem. Sendo essa uma tarefa virtualmente impossível, o leitor poderá indagar qual é a utilidade da lógica para fundamentar a matemática, se, na prática, essa é inviável."

Afirma que o único símbolo específico da ZFC é o pertence.

OU

O "ou exclusivo" indica que existe uma interdependência entre as proposições, uma exclui a possibilidade da outra:

x>°y
y>°x

Em Teoria dos Conjuntos o "ou" costuma ser interpretado como a união, ou seja: x pertence à união de A e B quer dizer que x pertence à um ou ao outro:

(AB).x

Fazer mapa de dependência conceitual.

O x pode ser um recorte qualquer do espaço-tempo, por exemplo, o conceito de mãe indica uma concepção uma ação, um conjunto de momentos no espaço-tempo.

Realidade => linguagem => Matemática => Física

x.dx>(x.y.dx   y°.x) Definição de dx


O paradoxo do mentiroso é um tipo de afirmação simultânea de duas coisas excludentes. Ou se algo que não existe.


Ordem: 2<3 =>3.2

O Lema de Zorn é equivalente ao axioma da escolha em ZF