A Relação de Ordem na Teoria dos Conjuntos x TNL

Já definimos precisamente o conceito de relação dentro da TNL, uma ordem parcial ≼, em A, é um tipo de relação que obedece às seguintes propriedades:

1. ∀a∈A : a≼a
2. a≼b e b≼a => a=b 
3. a≼b e b≼c => a≼c

Em TNL: 

1. A.a>a≼a
2. (A.(ab)   a≼b   b≼a)>a.b.a
3. (A.(abc)   a≼b   b≼c)>a≼c

O nome "parcial" significa que nem todo elemento de A precisa ser comparável. Quando se tem a propriedade adicional "∀a,b∈A => a≼b ou a≼c ou a=b", dizemos que A é totalmente ordenado.

Em TNL: A.(b   c)>[b≼c ou c≼b ou b=c], lembrando que "ou" e "=" já foram reduzidos na TNL.

Se ∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado. Em outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento.

Em TNL: A.B>[(.b   B.b) (B.x>b≼x)]

Confrontando estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼ pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o que implica em equivalência conceitual:

1. ∀a∈A : a.a
2. a.b e b.a => a=b 
3. a.b e b.c => a.c

No exemplo abaixo temos b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; b não se relaciona com c.

Este caso parece fugir da conceito de "ter", porém existe uma comparação estabelecida de forma visual pelos elementos que estão mais acima. Aqui não temos um conjunto totalmente ordenado, mas apenas uma relação genérica cuja definição já foi descrita na TNL.

Quanto aos números, a relação de ordem se resume à uma inclusão, por exemplo, dizer que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||