7
#TEORIA DOS CONJUNTOS
Toda
propriedade P determina um conjunto, tudo pode ser inserido num
conjunto (SILVA, 2007, p.218, 221), um conjunto pode referir-se a
qualquer coisa existente, inclusive podemos falar de conjuntos de
coisas imateriais ou qualquer coisa que nossa mente possa conceber,
para isto bastaria escrevermos M={x|x é uma imaginação}.
Segundo
Mortari(2016, p.65, 67), não se exige que elementos de um conjunto
tenham algo em comum, portanto, pode ser que a única relação que
os elementos de um conjunto tenham em comum seja estarem no mesmo
conjunto. Sant’anna (2007, p.XXIII, 1, 3, 9) afirma que a teoria
dos conjuntos foi alvo de inúmeras críticas ao longo do tempo e que
algumas persistem até hoje, aliás, nem haveria uma definição
precisa, aceita por todos os matemáticos, do que é um conjunto.
Este autor afirma que conjuntos são “amorfos” e podem ser
atemporais e nos dá, como exemplo, o conjunto “dos leitores desta
frase” – Cada leitor tem forma e localiza-se num determinado
espaço e tempo, mas não o conjunto. - Vejo isto como algo que pode
facilmente ser contornado, bastaria considerarmos a interpretação
quadridimensional de Quine(1972,
p. 49-50) que engloba espaço e tempo.
Vimos
que a LPO depende de alguns conceitos da TC, portanto é necessário
provarmos que ~TC para termos a confirmação de que
~matemática(LPO,TC). A TC não considera que os conjuntos
A={a,e,i,o,u} e B={{a},{e},{i},{o},{u}} sejam iguais, os elementos de
A são as vogais, e os elementos de B são os conjuntos unitários
cujos elementos são vogais, em resumo, considera-se que {u} seja
diferente de u. Aqui podemos dizer que X={a,e,i}⊂A, mas não que
X∈A, esta diferença se baseia no fato de que o ∈ considera cada
elemento de forma individualizada. As chaves são encaradas como uma
espécie de invólucro que deve ser considerado, pois {u}∉u, mas
u∈{u}. Isto pode ser questionado, pois podemos afirmar que as
chaves não necessitam ser consideradas, assim os elementos de B
seriam apenas as vogais. Vejamos outra possibilidade: seja C={1,2},
logo o conjunto das partes de C será P(C)={∅,{1},{2},{1,2}}, o {1}
poderia ser encarado como uma cópia/representação de 1, ou seja,
P(C) poderia ser visto como um tipo de conjunto de cópias de
elementos ou partes de C, pois 1∉C, mas {1}∈C, Kant tinha um
pensamento análogo (SILVA, 2007, p.96).
O
termo “família de conjuntos” é redundante e nada mais significa
do que um conjunto de conjuntos, na axiomática dos conjuntos tudo é
conjunto. Segundo Fajardo (2017, p. 157), a axiomática de
Zermelo-Fraenkel (ZF) da TC pode ser utilizada para formalizar toda a
matemática inclusive os teoremas metamatemáticos. Essas
formalizações apresentam algumas limitações, pois na LPO não
podemos quantificar sobre conjuntos, funções e sequências de
elementos do universo, apesar disto, a ZF é a teoria formal mais
popular a respeito de conjuntos e admite inúmeras variações,
porém, ainda hoje, não se sabe se a ZF é uma teoria consistente
(SANT’ANNA, 2007, p.2, 9). A TC se apresenta como uma teoria
unificadora que utiliza uma LPO, é aceito que a ZFC pode definir os
conceitos matemáticos fundamentais como pares ordenados, produto
cartesiano, funções, números naturais e reais. As outras teorias
matemáticas surgiriam a partir destes conceitos, por exemplo, temos
a geometria euclidiana que pode ser interpretada em R3.
7.1
∈ E ⊂
O
único símbolo de predicado específico da ZFC é o ∈ “pertence”
(COSTA, 2008, p.100), ele faria parte do núcleo da TNL, pois
representaria o conceito de “ter”, desta forma teríamos, de
certo modo, que (∈=.). Este é um fato muito interessante, pois,
considerando a ZFC como uma “teoria unificadora” da matemática,
é de se admirar que esta possua apenas um símbolo primitivo, para o
qual temos ~∈. Para esclarecer esta derivação é necessário
considerar o aspecto da TC que já comentamos anteriormente: sejam
D={0,1} e E={0,1,2}, então temos que D⊂E, mas D∉E. Na TNL
escrevemos “E.D”, pois não costumamos considerar as chaves, a
não ser que seja explicitado que elas fazem parte do conjunto, caso
contrário, seus elementos serão apenas os do interior das chaves.
Para a TC o ∈ carrega a ideia de indivíduo que se difere de
conjunto por não estar dentro de outro invólucro (chaves) além das
que cercam o conjunto ao qual pertence o elemento. Desta forma, para
os conjuntos W={x} e Q={{x}}, temos que x∈W, mas x∉Q pois, em Q,
x possui mais de um par de chaves ao seu redor, logo:
\x∈X=
X.x
X.{y}.X
x.{z}.x>°.z
Nota:
Repare que z deve ter um par de parênteses a mais do que x no lado
esquerdo da última fórmula.*
Ou
seja, x é elemento de X se X tem x e existe y tal que X={y} (pois X
deve ser um conjunto), além disso, se x={z}, então este z não
existe.
Vejamos
esta definição no caso dos conjuntos W e Q acima:
Para
o caso de W={x}, na fórmula acima, teríamos W.x={x}.x, onde y=x,
pois {x}.{y}.{x}>x=y. Se x.{z}.x, então a fórmula do ∈ não
se aplicaria aqui, pois ela nos diz que tal z não existe para um x
elemento de X;
Para
Q={{x}}, fazendo as devidas adaptações na fórmula acima, teremos
que Q.{x} com y={x}, pois {{x}}.{y}.{{x}}>y={x}. No caso anterior
o elemento de W não era um conjunto, aqui temos que o elemento de Q
é também um conjunto.
(*)Se
{x}.{{z}}.{x}>°.{z} então, novamente, a fórmula do ∈ não se
aplicaria aqui, pois ela nos diz que tal {z} não existe para um {x}
elemento de X.
O
⊂ “contido”, segundo consta, não seria um símbolo primitivo
assim como os demais que veremos diferentes do ∈. O ⊂ estabelece
uma relação entre conjuntos, ou seja, o objeto à esquerda do
símbolo não pode ser um elemento do conjunto, ele deve possuir
invólucro:
\x⊂X=
a∈x>a∈X
Ou
seja, x é subconjunto de X se todo elemento de x é um elemento de
X. ∴~(∈,⊂).
As
definições de chaves e parênteses são muito próximas, pois
havíamos escrito a propriedade dos parênteses “(x).x°.(x)” que
se assemelha muito da propriedade das chaves que nos diz “x∈{x}∉x”.
7.2
O VAZIO ∅
Segundo
a TNL, o ∅ é sinônimo do que não existe, logo pode ser definido
por ∅°.∅ ou Ω°.∅ o que equivale a dizer que ∄∅. Se o que
possui fim tem o vazio após si, então, já que ∄∅, o finito não
existiria na realidade (física)? Para a TC será necessário
fazermos algumas considerações. Num exemplo anterior, vimos que o
vazio é um elemento do conjunto das partes:
C={1,2}
P(C)={∅,{1},{2},{1,2}}
Mas
como isto é possível dado que a TNL o define como algo inexistente?
O vazio não pode ser elemento de nada, pois ele não está em Ω.
Isto pode ser contornado se o substituirmos por um espaço o que é
diferente do vazio da TNL, pois ele não possui nada, nem espaço,
logo teríamos algo do tipo na TC: P(C)={ ,{1},{2},{1,2}}.
A
TC afirma que o ∅ é subconjunto de qualquer conjunto, prova:
suponha que exista um conjunto x qualquer para o qual isto não
ocorra, logo ∅⊄x→(∃y∈∅:y∉x), absurdo pois o ∅ não
possui elementos∎. Esta demonstração tem um problema que envolve
Ω, pois se x existe, então Ω.x, já que x contém o vazio,
então Ω.x.∅>Ω.∅>∅.∅, outro absurdo. Esta sutileza
consiste na definição que a TC faz a respeito do vazio: ∅≝{},
as chaves já foram expressas pela TNL, ∴~∅. Desta forma, temos
que o vazio é o formado apenas pelas chaves “invólucro”:
∴P(C)={{}
,{1},{2},{1,2}}
Escrevendo
isto utilizando a LPO temos:
∀y((∅=y)↔∀z(¬z∈y))
Todos
os símbolos desta expressão já foram expressos pela TNL, portanto
temos mais um argumento que prova que ~∅. A partir desta definição
de ∅, é possível demonstrar sua unicidade.
Prova.
Seja x outro conjunto vazio da TC, suponha, por absurdo que x seja
diferente de ∅. Então, por simplicidade, tomemos um y pertencente
à x que não pertença a ∅, absurdo, pois x não tem elementos∎.
7.3
UNIÃO, INTERSECÇÃO E SUBTRAÇÃO
Podemos
descrever a união dos elementos de uma família de conjuntos “F”
por: ⋃F={x:∃X∈F,x∈X}. Todos os símbolos desta expressão já
foram construídos pela TNL, a única observação a se fazer é que
os dois pontos “tal que” podem ser substituídos pelo “e”,
∴~(⋃F). Vale relembrarmos que também descrevemos a união entre
dois conjuntos anteriormente:
\((A⋃B).A,(A⋃B).B),((A⋃B).x,A°.x)>B.x,((A⋃B).x,B°.x)>A.x;
A
expressão “A⋃B” pode ser entendida como AB, desta forma, sem
as restrições da TC a respeito das chaves, poderíamos afirmar que
⋃F=F.
A
intersecção dos elementos de uma família de conjuntos “F” pode
ser expressa por: ⋂F={x∈F:∀X∈F,x∈X}. Todos os símbolos
desta expressão já foram construídos pela TNL, ∴~(⋂F). Vale
lembrarmos que descrevemos a intersecção entre dois conjuntos
anteriormente:
\A.(A⋂B),B.(A⋂B),(A.x,B.x)>(A⋂B).x>
(A.x,B.x)
Apesar
de dizermos que se trata de uma família de conjuntos, destacamos que
para a TC tudo é conjunto (COSTA, 2008, p.103). A forma de se
escrever a intersecção de acordo com a LPO é:
∀x(∃y(y∈x)→∃y(∀z((z∈y)↔
∀w((w∈x→(z∈w)))))
Aqui
representamos y por ⋂x, todos os símbolos desta expressão já
foram construídos pela TNL, ∴~⋂x. Novamente nos deparamos com
uma sutileza, pois, já que para a TC uma família de conjuntos nada
mais é do que um conjunto e o vazio é subconjunto de todo conjunto,
então toda intersecção não deveria ser vazia? Como a intersecção
indica os elementos que devem fazer parte de todos os conjuntos da
família x, então (k∈⋂x,∅⊂x)→(k∈∅) absurdo, por isso a
TC exclui o vazio de uma família ao realizar uma intersecção.
A
subtração entre conjuntos A-B é o conjunto dos elementos que
pertencem à A, mas não à B:
(A-B)={x∈A:x∉B}.
Todos os símbolos desta expressão já foram construídos pela TNL,
∴~(A-B):
\(A-B).x>(A.x,B°.x).
7.4
PAR ORDENADO E PRODUTO CARTESIANO
O
axioma do par (que veremos mais adiante) é utilizado para garantir a
existência do conjunto {x,y} que é um par não ordenado, aqui
podemos inverter a ordem dos elementos sem problema, ou seja:
{x,y}={y,x}, excluindo as peculiaridades da TC poderíamos inclusive
dizer que {x,y}=xy=⋃{x,y}.
Ao
se definir um par ordenado, as chaves são trocadas por parênteses e
a igualdade (x,y)=(y,x) só poderá ser válida se os respectivos
elementos forem iguais:
\((a,b)=(c,d))>(a=c,b=d)
Portanto,
não podemos dizer que (a,b)={a,b}. Formalmente, a TC define o par
ordenado (a,b) como sendo o conjunto {{a},{a,b}}, ∴~(a,b). Com a
LPO temos:
∀x(x∈(a,b)↔∀y(y∈x↔y=a)∨
∀y(y∈x↔y=a∨y=b))))
Todos
estes símbolos já foram construídos pela TNL o que reforça o
nosso argumento.
Produto
cartesiano A⨉B ≝
É
o conjunto dos pares ordenados (a,b) tais que a∈A e b∈B:
\(A.a,B.b)>(A⨉B).”(a,b)”
Com
a LPO temos:
(x∈(A⨉B))↔∃a∃b(a∈A∧b∈B∧x=(a,b))
Todos
estes símbolos já foram construídos pela TNL, ∴ ~(A⨉B).
7.5
RELAÇÕES
Já
definimos o conceito de relação no início deste livro, neste
capítulo aprofundaremos um pouco mais esta questão.
Uma
relação é definida como sendo qualquer subconjunto de um produto
cartesiano: (A⨉B).R, ∴~(relação), o mesmo vale para um produto
cartesiano n-ário. Se a e b estão relacionados, podemos escrever
que (a,b)∈R ou aRb:
\aRb>(A.a,B.b)
Note
que a definição de relação é bem genérica, pois não especifica
como devemos saber que dois elementos estão relacionados, ela pode
indicar qualquer relação inclusive grau de parentesco: JesusFMaria
“Jesus filho de Maria”, a relação “F” aqui significa “ser
filho”. Note que, em princípio, não podemos inverter a ordem da
expressão acima “(A.a,B.b)>aRb”, pois estaríamos dizendo que
todos os elementos de A se relacionam com elementos de B o que pode
não ser verdadeiro. Também devemos destacar que se “aRb” é
verdadeiro, então “bRa” pode não ser válido. No exemplo acima
teríamos MariaFJesus “Maria filha de Jesus” o que é falso, pois
Jesus não é pai de Maria, apesar de muitos afirmarem que ele é
filho e pai ao mesmo tempo.
Uma
relação
de equivalência
em
um conjunto X é um subconjunto de X⨉X que obedece às seguintes
propriedades:
∀x∈X,
xRx
xRy→yRx
(xRy∧yRz)→xRz
\X.x>xRx
xRy>yRx
(xRy,yRz)>xRz
A
igualdade é um tipo de relação de equivalência, pois satisfaz
todas as propriedades acima. Podemos generalizar isto e dizer que
toda relação de equivalência expressa uma igualdade entre a
característica considerada dos elementos em questão, portanto
podemos representar isto com a TNL por meio dessa característica
indexada: (xRy↔xc.yc.xc). Desta forma satisfazemos a definição de
relação de equivalência:
X.x>xRx<>xc.xc.xc;
xRy>yRx<>(xc.yc.xc,yc.xc.yc);
(xRy,yRz)>xRz>(xc.yc.xc
,yc.zc.yc)>
zc.yc.xc.yc.zc>xc.zc.xc.
Portanto,
toda equivalência é uma igualdade de “valência”
(característica). Um fato interessante é que cada relação de
equivalência pode particionar um conjunto em partes disjuntas.
Podemos escrever que P é uma partição
de
X da seguinte forma:
\⋃P.X,(P.(x,y),°(x.y.x),x.z,y.z)>(z°.z)
Todos
os símbolos acima já foram construídos pela TNL, ∴~(relação de
equivalência) e ~(partição).
7.5.1
FUNÇÕES
Uma
função de A em B é um tipo de relação específico que costuma
ser representada por f:A→B ou f⊂A⨉B, este conceito pode ser
escrito formalmente das seguintes maneiras:
∀x∈A
∃!y∈B:(x,y)∈f. Em vez de escrevermos (x,y)∈f podemos
simplesmente dizer que f(x)=y;
\(A.x)>(.f(x),B.f(x))
(B.f(x),B.b,b.f(x))>f(x).b>b=f(x),
ou seja, o valor de f(x) é único;
Na
LPO tem-se que f é uma função de A em B se, e somente se:
f⊂A⨉B∧∀x(x∈A→∃!y,(x,y)∈f). Temos que ~(função),
pois todos os símbolos acima já foram construídos pela TNL.
Para
terminarmos devemos citar alguns tipos específicos de funções e
definições que decorrem de algumas particularidades que também
podem ser construídas pela TNL:
Injetora:
f(x)=f(y)>x=y;
Sobrejetora:
B.y>(A.x,f(x)=y) ou seja: f(A)=B, onde B é denominado
contradomínio
de f e f(A) é a imagem
de f. Temos que f(A)={y∈B:∃x∈A,f(x)=y};
Se
uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dizermos que
ela é bijetora.
Toda função bijetora f possui uma função inversa
f-1 que “desfaz” o trabalho feito por ela, ou seja: se f(x)=y,
então f-1(y)=x. Quando existe uma bijeção entre dois conjuntos A
e B, dizemos que A e B são equipotentes;
Um
conjunto é dito ser enumerável
se é equipotente a um subconjunto de N. Um conjunto é dito ser
finito
se é enumerável, mas não é equipotente a N;
Uma
sequência é uma função cujo domínio é N ou um subconjunto de
N, uma operação n-ária é uma função de An em A.
7.5.2
ORDEM
Uma
ordem (≼), em um conjunto A, também é um tipo específico de
relação binária que obedece às seguintes propriedades:
∀a∈A:a≼a;
a≼b
e b≼a→a=b;
a≼b
e b≼c→a≼c.
Pode
acontecer de haver dois elementos de A que não possam ser
comparados, neste caso temos uma ordem
parcial:
\A.a>a≼a
(A.(ab),a≼b,b≼a)>a.b.a
(A.(abc),a≼b,b≼c)>a≼c
∴~≼
Quando
se tem a propriedade adicional "∀a,b∈A→(a≼b ∨ b≼a ∨
a=b)", dizemos que A é totalmente
ordenado:
\A.(a,b)>[a≼b ∨ b≼a ∨ a=b], lembrando que "∨"
e "=" já foram reduzidos na TNL.
Se
∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado.
Em outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento:
\A.B>((.b,B.b),(B.x>b≼x)).
Confrontando
estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem
depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do
conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼
pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o
que reforça o argumento favorável à ideia de dependência
conceitual:
∀a∈A:a.a
(a.b,b.a)>a=b
(a.b,b.c)>a.c
Podemos
ter casos nos quais não é possível relacionar todos os elementos,
por exemplo: b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; aqui temos que o b
não se relaciona com c, portanto o conjunto {a,b,c,d,e} não é
totalmente ordenado:
a
/\
b
c
\/
d
|
e
Quanto
aos números, a relação de ordem se resume a uma inclusão, dizer
que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||. A palavra “ordem”
exprime sua origem em relação aos números naturais, pois carrega
consigo a ideia de sequência, este exemplo mostra que isto pode ser
expresso pelo “ter”. Portanto, uma relação de ordem é apenas
uma definição não primitiva que surgiu a partir do estudo dos
conjuntos numéricos.
7.6
ZF – OS AXIOMAS DE ZERMELO FRAENKEL
A
axiomática de Zermelo-Fraenkel é a teoria de conjuntos mais popular
na Matemática (SANT’ANNA, 2003, p.76), alguns autores afirmam que
discutir o sistema de axiomas faz parte da Filosofia, ora isto impede
que o estudo da Matemática se aprofunde em suas raízes, limitando-o
a um conjunto de consequências úteis ou não.
“Em
particular, Gödel e Paul Cohen mostraram que a teoria dos conjuntos
formal aceita de sua e de nossa época não podia decidir uma velha
conjectura de Georg Cantor.”
(BOOLOS
et al., 2012, p. 304)
Esta
frase, que se refere à hipótese do continuum, pode ser comparada ao
caso geométrico do 5° postulado de Euclides cujas tentativas de
demonstração (como teorema) não obtiveram sucesso (BARKER, 1976,
p.48). Este postulado pode ser admitido como verdadeiro ou não
dentro de um conjunto de axiomas para a geometria. Quando ele não é
aceito, observa-se o desenvolvimento das geometrias não-euclidianas
(restrita às retas e planos) nas quais temos propriedades diferentes
como, por exemplo, o fato de que a soma dos ângulos internos de um
triângulo não é igual a 180°, isto permite tratar, por exemplo,
dos espaços curvos. Penso que há indícios suficientes para crermos
que a geometria euclidiana, enriquecida com o conceito de curvatura e
liberta de algumas restrições, poderia substituir toda geometria
“não euclidiana”. Em outras palavras: é óbvio que a geometria
euclidiana difere daquelas geometrias alternativas, pois
restringe-se, basicamente às retas. Cremos que a geometria deva ser
única, pois o espaço é único:
“Não
sendo uma busca da verdade, acerca do espaço, que significado tem a
geometria?” (BARKER, 1976, p.12)
Kant
dizia que há apenas uma geometria (a euclidiana), pois há apenas um
espaço, portanto, tais geometrias alternativas poderiam ter uma
origem semelhante daquela que observamos nas diferentes lógicas. Os
axiomas das geometrias não-euclidianas têm-se demonstrado
consistentes, logo, podemos compará-los a um conjunto de regras
maleável que foi construído arbitrariamente com um pouco de
observação da realidade, porém o que mais chama a atenção é que
algumas afirmações feitas em uma geometria podem contradizer outras
geometrias como, por exemplo, a soma dos ângulos internos de um
triângulo ser 180° ou não. Seria esta uma forma de haver duas
verdades incompatíveis? Ao que tudo indica não, pois os
“triângulos” das geometrias alternativas podem ter lados curvos.
Ao tratar da geometria euclidiana, Hilbert admitiu 6 entes primitivos
(ponto, reta, plano, incidência, entre e congruente – não há
curvas). Mais tarde Oswald Veblen apresentou outra axiomatização,
na qual havia apenas o “ponto”, “entre” e “congruente” e,
posteriormente, E. V. Huntington simplificou ainda mais as coisas ao
sugerir uma axiomatização com apenas dois entes primitivos:
“esfera” e “inclui” (BARKER, 1976, p.38) que nos lembra muito
a TNL. claro que a simplicidade, falta de redundâncias e não
prolixidade são sempre preferíveis no que concerne à elegância
matemática.
Diante
de regras que são impostas, observa-se suas consequências assim
como num jogo de xadrez que reflete a realidade de forma fantasiosa,
ao modificarmos as regras ou o tabuleiro, surge um novo jogo, uma
variante que pode ser bem diferente da original como, por exemplo, o
xadrez hexagonal. O seguinte trecho descreve o formalismo:
“Assim
considerado, o sistema formalizado, assemelha-se a um jogo em que as
peças são os sinais. Para jogar, dispomos de certas combinações
iniciais de sinais (os axiomas) e estamos autorizados a empregar
certas transformações; jogamos com o fito de obter outras
combinações de sinais (os teoremas).” (BARKER, 1976, p.124)
Já
dissemos que o desenvolvimento matemático da lógica de primeira
ordem (metamatemática) pode ser desenvolvido pela ZFC. Se tivermos
~ZFC, então ~metamatemática, porém, diante de algumas
inconsistências presentes na ZFC, é de se esperar que os teoremas
metamatemáticos apresentem falhas e limitações, mas isto não
significa que eles não possam ter alguma utilidade em algum campo
restrito como na computabilidade ou na filosofia.
Normalmente
utilizamos a sigla ZFC quando nos referimos a este conjunto de
axiomas capaz de formalizar a Teoria dos Conjuntos. A letra C se
refere ao axioma da escolha (AE), ela vem da palavra “choice” em
inglês, o AE será visto em um capítulo separado devido suas
conexões com outros conceitos. Analisaremos este conjunto de
sentenças que fundamenta a TC com o objetivo de provar que ~ZFC,
desta forma teremos que ~TC. Isto já foi feito no livro sobre a TNL,
aqui veremos este processo, mas daremos uma atenção maior para a
forma como isto é escrito com uma LPO.
Vimos
que, para a TNL, todo elemento de Ω é um conjunto, portanto um
conjunto é qualquer coisa que existe, este conceito é simples, mas
também é essencial para a Matemática:
“Toda
Matemática pode ser construída a partir de dois conceitos
indefinidos: conjunto e elemento.” (ROBBIN, 2006, p. 171)
7.6.1
AXIOMA DA EXTENSÃO
Dois
conjuntos são iguais se eles possuem os mesmos elementos. - Temos
aqui uma obviedade que pode ser resumida da seguinte forma como um
resultado da TNL: x=y↔x.y.x, isto é discutido com maiores detalhes
na seção 2.1.9. Numa LPO este axioma pode ser representado por:
∀x∀y(x=y↔(∀z(z∈x↔z∈y)))
Todos
os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL,
∴~(axioma da extensão). O símbolo ⊂ também pode ser descrito
pela LPO da seguinte forma:
x⊂y↔∀z(z∈x→z∈y),
∴~⊂
Um
urelemento
(ou
átomo)
u é
um objeto (≠∅) que pode ser considerado elemento, porém jamais
pode ser entendido como um conjunto (SANT’ANNA,
2007, p.59).
De acordo com a TNL, isto implica em sua não-existência, pois
u.x>x°.x, mas u.u, logo u°.u. Este tipo de objeto mostra que nem
tudo é conjunto para a TC, o que pode afetar a ZFC (vide 3.6.7).
Mas, segundo Ebbinghaus et al. (1994, p. 107), a experiência mostra
que podemos substituir os urelementos por conjuntos adequados.
Fraenkel
atesta
esta opinião, pois
acreditava ser possível fundamentar a Matemática sem átomos,
substituindo-os por conjuntos (COSTA,
2008, p.103).
7.6.2
AXIOMA DO VAZIO
Este
axioma nos diz que existe um conjunto vazio. Aqui temos uma sutileza,
pois vimos que o vazio significa ausência de elementos, sua
definição equivale a dizer que ele não existe: (∅°.∅)↔∄∅.
Portanto, este axioma representa uma falha conceitual da ZFC, pois
não define o vazio de forma adequada, sua expressão utilizando uma
LPO é:
∃x∀y¬(y∈x)
Todos
os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL,
∴~(axioma do vazio). Ainda devemos mostrar que há uma contradição
aqui, pois a expressão ∃x∀y¬(y∈x) diz que x existe quando, na
verdade, não existe. O ∀ deve se referir a elementos existentes
dentro do universo U em questão, portanto já temos que “.y”; x
não possui nenhum elemento do universo:
\((x.x,U.y)>x°.y)
Podemos
simplesmente imaginar que x não possui elementos em comum com U,
porém, neste caso, poderíamos estender o universo incluindo o
elemento x o que faria o axioma perder sua validade. Na verdade o
conjunto universo ideal é o conjunto de todos os conjuntos Ω, assim
teríamos ((x.x,Ω.y)>x°.y), mas x.x implica que Ω.x,
portanto, tomando y=x, temos ((x.x,Ω.x)>x°.x) ou seja x.x e
x°.x, absurdo.
O
∅ é único? Bem esta pergunta não faz muito sentido, pois o vazio
não possui elementos, assim sendo, outro possível vazio ∅´
também não possui elementos para dizermos que são iguais mediante
o axioma da extensão. Novamente, por absurdo:
∅°.∅´°.∅>(.x,.y,∅.x,∅´.y,∅°.y,∅´°.x)
absurdo.
Na
seção 3.2 vimos que ∅={}, esta seria a forma mais natural de se
expressar o vazio na TC, pois ela atende a definição que o
estabelece como um conjunto (invólucro) sem elementos, apesar que um
invólucro é um elemento.
7.6.3
AXIOMA DO PAR
Este
axioma nos diz que se A e B são conjuntos, então A⋃B (a união
dos dois conjuntos) é um conjunto. Podemos resumir este fato da
seguinte forma:
\((A⋃B).A,(A⋃B).B),((A⋃B).x,A°.x)>B.x,((A⋃B).x,B°.x)>A.x
Sua
expressão utilizando uma LPO é:
∀x∀y∃z∀w((w∈z)↔((w=x)∨(w=y)))
Todos
os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL,
portanto ~(axioma do par). Outra possibilidade dentro da TNL seria
(A.x,B.y)>((AB).x, (AB).y). Aqui também pode-se definir o que é
um par não ordenado:
z={x,y}↔∀w((w∈z)↔((w=x)∨(w=z)))
Temos
que ~z, pois todos os símbolos acima foram reduzidos pela TNL.
7.6.4
ESQUEMA DE AXIOMAS DA SEPARAÇÃO
Para
toda fórmula P em que z não ocorre livre, a seguinte fórmula é um
axioma:
∀y∃z∀x((x∈z)↔((x∈y)∧P))
Temos
que ~(esquema de axiomas da separação), pois todos os símbolos e
conceitos acima foram reduzidos pela TNL. Temos também que
~z={x∈y:P(x)}, repare que este esquema de axiomas foi utilizado
para “demonstrar” que não existe conjunto de todos os conjuntos
(SANT’ANNA, 2007, p.60), algo que refutamos anteriormente. Ele
também costuma ser utilizado para se definir a intersecção:
x⋂y={z∈x:z∈y},
∴~(x⋂y)
Repare
que, para a TC, P pode ser qualquer fórmula que não produza uma
contradição, por isto a restrição inicial que exige z não
ocorrendo livre.
7.6.5
AXIOMA DA UNIÃO
Para
todo conjunto A existe um conjunto B de todos os conjuntos que
pertencem a algum elemento de A. Esta sentença nos leva a concluir
que B.A, vejamos: A.x.z>B.z>B.x>B.A (basta tomarmos z=x e
depois x=A). A existência do conjunto de todas as coisas também
implica neste fato, basta tomar Ω=B. Sua expressão utilizando uma
LPO é:
∀x∃y∀z((z∈y)↔∃w((z∈w)∧(w∈x)))
Todos
os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL,
∴~(axioma da união).
Pode-se
definir ⋃x como sendo o conjunto formado por todos os elementos dos
elementos de x, isto soa estranho, pois nos leva a concluir que ⋃x=x,
mas devemos lembrar que estamos andando pelos caminhos da LPO que
possui as peculiaridades já discutidas:
(y=⋃x)↔∀z((z∈y)↔∃w((y∈w)∧(w∈x)))
∴~(⋃x).
7.6.6
AXIOMA DA POTÊNCIA (OU DAS PARTES)
Para
todo conjunto A existe um conjunto B que tem como elementos os
subconjuntos de A. Aqui também poderíamos tomar B= Ω. Novamente
temos aqui algo que parece ser incoerente, pois que decorre da
“diferenciação” feita entre elemento e conjunto, isto nos
levará à conclusão de que B.A. Sua expressão utilizando uma LPO
é:
∀x∃y∀z((z∈y)↔(z⊂x))
Todos
os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL,
∴~(axioma da potência), este axioma define o conjunto das partes
de x “P(x)” visto anteriormente e que depende das chaves. Também
podemos expressar este axioma da seguinte forma:
a∈A↔{a}⊂A↔{a}∈B
\A.a>B.({a})
7.6.7
AXIOMA DA REGULARIDADE
Todo
conjunto não-vazio x contém um elemento y tal que x e y são
disjuntos (não possuem elementos em comum). Este axioma produz a
seguinte contradição:
°(x.Ø.x)>(.y,x.y,y.z>x°.z,
x.w>y°.w)
(x.y.z>x.z)
absurdo.
Sua
representação pela LPO é:
∀x(x≠∅→∃y((y∈x)∧(x⋂y=∅))
Todos
os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL,
∴~(axioma da regularidade). Podemos exemplificar isto tomando x={a}
e y=a, pois y∈x, mas y⋂x=∅. Isto decorre da diferença que a TC
faz entre elemento e conjunto, este fato pode ser comprovado a partir
definição de intersecção entre dois conjuntos:
x⋂y={z∈x:z∈y}→{z∈x:z∈a}=∅
(Pois
“a” não teria elementos “urelemento”).
Repare
que y∈x, se tivermos y∈y, então y∈x⋂y=∅, absurdo. Desta
forma, fica comprovado que a ZFC assume a existência de urelementos,
ou seja y∉y. Costa (2008, p.103), nos diz que o postulado da
regularidade, de certo modo, afirma que todos os conjuntos derivam-se
a partir do conjunto vazio, como se fosse possível o nada gerar o
todo consigo mesmo.
De
acordo com Ebbinghaus et al. (1994, p. 111), pelo 2° teorema da
incompletude de Gödel, uma prova de consistência para ZFC não é
possível, além disso, o fato de que a ZFC tem sido investigada e
usada por décadas sem nenhuma inconsistência ter sido descoberta,
atestaria a consistência de ZFC. Esta é a crença geral, mas, de
acordo com o aqui exposto, creio que tal “crença” deva ser
revista, pois não constitui um argumento matemático de fato.
7.6.8
AXIOMA DA INFINIDADE
Este
axioma afirma que existe um conjunto indutivo. Definição: dado um
conjunto x, definimos x+=x⋃{x}, isto é: ∀y(y∈x+↔(y∈x∨y=x)),
∴~x+, note que as chaves fazem o papel de “cópias” de um
elemento.
Um
conjunto x é indutivo se, e somente se, ∅∈x e, para todo y, se
y∈x então y+∈x,
∴~(indutivo). Na LPO tal axioma seria:
∃x(∅∈x∧∀y(y∈x→y+∈x)
Todos
os símbolos desta expressão e definições já foram construídos
por meio da TNL, ∴~(axioma da infinidade).
A
expressão x.y>(x.z,°(y.z.y)) é interessante, pois possui um
caráter de infinidade, ela afirma que: “se x tem um y qualquer,
então x tem um z diferente de y”, como x tem y e z, então x terá
outro elemento diferente da união destes dois, tal argumento pode
ser estendido de forma análoga ao que foi discutido acima.
7.6.9
ESQUEMA DE AXIOMAS DA SUBSTITUIÇÃO
Este
axioma pode provar o axioma da separação que foi mantido para dar
maior abrangência ao estudo. Seja P(x,y) uma fórmula, e suponha que
∀x, y e z temos que P(x,y) e P(x,z) implicam y=z. Então, ∀
conjunto X, existe o conjunto {y:∃x(x∈X∧P(x,y))}. De modo mais
rigoroso, dada uma fórmula P tal que w não ocorre livre em P, a
seguinte fórmula é um axioma:
(∀x∃!y[P]yx)→∀z∃w∀y(y∈w↔∃x(x∈z∧[P]yx))
Todos
os símbolos desta expressão e definições já foram construídos
por meio da TNL, ∴~(esquema de axiomas da substituição).
7.7
O AXIOMA DA ESCOLHA
Neste
livro não faremos uma abordagem do Lema de Zorn, pois ele é
equivalente ao axioma da escolha, intuitivamente, este axioma nos diz
que se você tiver uma coleção de cestas, cada qual contendo pelo
menos um objeto, então é possível afirmar a existência de um
conjunto, o conjunto de escolha, que contém exatamente um objeto de
cada cesta. Isto é garantido mesmo que haja um número infinito de
cestas e não haja nenhuma regra que estabeleça qual objeto de cada
cesta deva ser escolhido para formar parte desse conjunto.
\(A.A,A.x)>(x.x´,E.x´)
O
x´ é uma escolha dentro de A, esta escolha é algo que se relaciona
com os conceitos de vontade e poder já delimitados pela TNL, pois
~LN. Utilizando uma LLPO, temos que: ∀ conjunto x de conjuntos não
vazios, ∃ uma função f:x→⋃x tal que ∀y∈x:f(y)∈y. Ou
seja:
∀x((¬(∅∈x))→∃f∃w((f∈wx)
∧∀y∀z((y,z)∈f→(z∈y))))
Aqui
wx é o conjunto das funções de x em w. Uma função f de domínio
X tal que f(x)∈x ∀x∈X é denominada função de escolha do
conjunto (família de conjuntos) X.
Todos
os símbolos destas expressões e definições já foram construídos
por meio da TNL, ∴~(axioma da escolha).
Suponha
que C seja uma coleção (conjunto) de conjuntos não vazios. Então,
C.a>(.ã,a.ã,ãFa), pois “a” não é vazio. Neste caso F
significa justamente a relação de pertinência que é genérica por
natureza assim como o AE, este fato nos permite estabelecer o AE como
uma função genérica não especificada que se encaixe na expressão
acima (fixando F como uma função). Este axioma nos faz escolher
“um” elemento de cada conjunto, assim como o conceito de função
que impõe que a imagem de um elemento seja sempre única, desta
forma, a imagem de cada conjunto do domínio será única. O AE
sofreu muitas críticas por não oferecer um critério para a
escolha, hoje sabemos que ele não depende dos demais axiomas de ZF(o
mesmo pode ser dito a respeito do axioma da regularidade) ou seja: o
AE não pode ser provado a partir deles (SANT’ANNA, 2007, p.3). A
decisão de inseri-lo ou não no conjunto dos axiomas é algo que o
matemático deve fazer tendo em vista suas intenções e
necessidades. Cabe ressaltar que o conceito de variável também se
relaciona aqui, pois seu valor depende de uma escolha.
7.8
A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS COM A TC
John
von Neumann estabelece que um número natural é composto pelo
conjunto de números naturais menores do que ele, portanto temos:
0=∅
1={0}={∅}
2={0,1}={∅,{∅}}
3={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
…
É
notável como as chaves serviram de artifício para esta construção,
elas fazem o papel da unidade “|” que vimos nos capítulos
iniciais, pois, ao fazermos |+|, consideramos que eles são
diferentes, senão teríamos |+|=| (ele mais ele mesmo é igual
a ele). O sucessor de um número natural n pode ser expresso por n+1
ou por n⋃{n}, então:
1+1=1⋃{1}={∅}⋃{{∅}}={∅,{∅}}=2.
Um
conjunto indutivo contém todos os naturais. Resumindo tudo isto
citando as dependências relativas aos naturais, temos:
N(~conjunto,~indutivo,~⊂)
∴~N
O
princípio da indução finita pode ser provado como um teorema, a
construção dos inteiros, racionais e reais pode ser formalizada com
a TC e a LPO. Dentro deste tema ainda há duas definições
importantes a se fazer:
n°cardinal(~conjunto,~equipotente,)
∴~n°cardinal
n°
ordinal(~conjunto,
~bem
ordenado,~∀,~∈,~menor)
∴n°
ordinal
7.9
A CONSTRUÇÃO
DOS AXIOMAS
DE PEANO USANDO A TNL
Quando
estudamos os números estamos
tentando entender uma das ideias mais primordiais de nossa espécie,
pois
os
primeiros símbolos escritos
pelo homem não foram as letras, mas sim os números (BARKER, 1976).
O
fato da
TNL nos permitir
construir os números naturais (axiomas
de Peano)
e operações aritméticas está
em concordância com
Kant
que
não
aceitava nenhum dos axiomas da aritmética (SILVA, 2007, p.108). A
LPO utiliza
números em algumas
de suas definições, isto
contrasta com o fato dela alegar poder construí-los (junto
com a TC).
Mostraremos
como construir
os números
de forma independente utilizando apenas a TNL.
|
= Unidade identificada por um traço;
||.2.||
= ||.2 e 2.|| (|| = | e |);
|||.3.|||
(||| tem 3 e 3 tem |||);
(...)
(|.x)>x.|,
(Por definição a unidade é indivisível para os números
naturais).
A
soma, por exemplo, pode se derivar a partir da TNL da seguinte forma:
a+b = °(0.b.0)>(a.|,b°.|) (Se “b” não é zero, então faça
“a” ter | e “b” não ter |).
A
construção dos números naturais se dá pelos axiomas de Peano que
demonstraremos a seguir:
1)
0 é um número natural: aqui temos uma afirmação resultante da
construção dos naturais e não algo proveniente de uma
demonstração, tal fato poderia ser indicado por (0°.|,N.0) (o zero
não tem a unidade e os naturais têm zero). Logo o zero é um
símbolo que indica a ausência de unidade, sua presença em
determinada casa decimal representa que o número não possui valor
nesta casa, o número 2037, por exemplo, não possui valor na casa
das centenas.▄
2)
Todo número natural n possui um sucessor s(n): novamente temos um
resultado proveniente da construção dos naturais que pode ser
escrito pela fórmula .|>.|| (ter | faz ter outro | ao lado dele).
Esta fórmula recursiva gera todos os naturais:
.|>.||>(.|)|>(.||)|>.|||=1>2>3…
\N.n>N.(n|)
▄
3)
0 não é sucessor de nenhum número: este fato pode ser demonstrado
se considerarmos os aspectos da construção dos números naturais.
Suponha, por absurdo, que exista um n natural tal que s(n)=0, então
n|=0 o que implica que (n|).0.(n|), mas, por definição, zero não
possui a unidade, absurdo.▄
4)
Se s(n)=s(m), então n=m: suponha, por absurdo, que n é diferente de
m, por simplicidade tomaremos um x pertencente à m que não seja
elemento de n, logo m.x e n°.x. Portanto m|.n|.m|.x>n|.x>(n.x
ou |.x), mas n°.x o que implica que |.x, já que | é indivisível,
isto indica que x não existe ou que x=|, neste último caso teríamos
n°.m>n|°.m|, absurdo, pois n|.m|.▄
5)
Seja S um subconjunto dos números naturais que possui as seguintes
propriedades:
a)
0 pertence à S;
b)
Se n pertence à S, então s(n) pertence à S.
Então,
S é o conjunto de todos os números naturais.
Temos
um axioma recursivo, a demonstração é semelhante ao axioma 2. Das
propriedades "a" e "b", temos que
S.s(0)>S.s(s(0))>S.s(s(s(0)))… Isto equivale a escrevermos
S.0>S.|>S.||>S.|||... Logo, S pode ter um n tão grande
quanto se queira. Para demonstrarmos a infinitude de N, devemos
considerar a expressão N.n>N.(n|). Suponha, por absurdo, que m
seja um máximo de N, então N.m>N.(m|), como m é máximo, temos
que m.(m|).m>(m=m|)>0=| absurdo.▄ Este último fato é
suficiente para se definir o conceito de infinito.
Portanto,
temos que ~(números naturais), pois N pode ser construído a partir
das fórmulas:
N.|:
N possui a unidade;
(0°.|,N.n>n.(n0).n,N.0):
N possui o elemento neutro zero, 0+n=n para todo n natural;
N.n>N.(n|):
N possui o sucessor de qualquer um de seus elementos;
|.x>x.|:
a unidade é indivisível;
.|>.||:
existir a unidade faz existir o sucessor.
A
LPO alega poder construir os naturais e toda a Matemática por meio
da TC, portanto, ao provarmos que ~LPO, novamente teremos mostrado
que ~(números naturais) indiretamente.
#
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Acesso
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