Lógica e suas confusões

 UM POUCO DE CONFUSÃO

Já consideramos a maior parte dos elementos que constituem a linguagem da lógica de primeira ordem, restam apenas dois:

• Símbolos relacionais: Para cada número natural há uma lista, vazia ou não, de símbolos relacionais n-ários, costumam ser representados por letras maíusculas que também podem ser indexadas por números naturais;

• Símbolos funcionais: Para cada número natural há uma lista, vazia ou não, de símbolos funcionais n-ários, costumam ser representados por letras maíusculas e podem ser indexadas por números naturais;

Estas definições são feitas de forma imprecisa e genérica, aqui, o que mais incomoda é que elas não fazem parte da Lógica, pois o conceito de relação é definido pela Teoria dos Conjuntos, onde toda função é um tipo específico de relação. Também cabe salientar, novamente, a dependência da lógica em relação aos naturais. Fragmentaremos estes conceitos com o uso da TNL no capítulo sobre a Teoria dos Conjuntos.

Após este problemático processo de definição da linguagem da lógica matemática, surgem outras definições artificiais tais como: termos, fórmulas(que dependem da definição de termo), grau de complexidade de termos e fórmulas, subtermos, subfórmulas, variáveis livres, substituição de variável por termo, substituição de variável por termo e etc. Isto causa uma grande prolixidade e névoa conceitual que impede uma visão clara das coisas, também permite o surgimento de falácias que costumam ser encaradas como verdades bem fundamentadas pela maioria dos matemáticos que, infelizmente, são treinados para seguirem as definições sem questionamentos, apenas atentando-se para a sintaxe e regras de inferência. Fajardo (2017) corrobora este pensamento ao escrever que discutir o sistema de axiomas faz parte da filosofia, ora isto impede que a matemática tenha um aprofundamento em suas raízes limitando-a um mero conjunto de consequências, úteis ou não, de regras cujas validades não são postas à prova.

Admite-se que lógica de primeira ordem, por meio da teoria dos conjuntos, é capaz de formalizar toda a matemática, porém a formalização destas duas bases carece de exatidão, encontra muitos problemas, é redundante, empírica, intuitiva, inexata e prolixa. Portanto, é de se esperar que suas combinações mútuas gerem definições que se aproximem de todas estas características, vejamos os casos específicos de termos e fórmulas:

Termos: São sequências finitas de símbolos do alfabeto que obedecem a estas regras:

• As variáveis são termos;

• As constantes são termos;

• Se t₁,...t_n são termos e F é um símbolo funcional n-ário, então F( t₁,...t_n) é um termo;

• Todos os termos têm uma das formas acima.

Podemos reparar que esta definição não se faz necessária, apenas causa mais poluição informacional e sintática dentro da lógica.

Fórmulas: São sequências finitas de símbolos do alfabeto que obedecem a estas regras:

• Se t e s sã termos, (t=s) é uma fórmula;

• Se t₁,...t_n são termos e R é um símbolo relacional n-ário, então R(t₁,...t_n) é uma fórmula;

• Se A e B são fórmulas, então (¬A), (A→B), (A⋀B), (A⋁B) e (A↔B) são fórmulas;

• Se A é fórmula e x é uma variável, então ∃xA e ∀xA são fórmulas;

• Todas as fórmulas têm uma das formas acima.

Aqui é interessante notar que expressões com significado tais como “¬ →” e “↔ ⋀ →” são ignoradas, isto impede um aprofundamento metamatemático e também denota uma poluição linguística desnecessária, pois toda a simbologia aqui já foi reduzida pela TNL.

IGUALDADE = E CONSTANTES

 IGUALDADE = E CONSTANTES

A igualdade também é fixada como um símbolo primitivo da linguagem de primeira ordem, porém isto se faz desnecessário pois “x=y” pode ser reescrito como “x.y.x”. No entanto, o igual também pode significar a equivalência entre quantidades ou características de dois objetos que podem não ser o mesmo, ao dizermos que todos os humanos são iguais, estamos nos referindo a seus direitos e deveres, ou seja: “direitos e deveres de Valéria”=“direitos e deveres de Márcia”, neste caso faz sentido dizermos que “Valéria=Márcia” apesar de serem pessoas diferentes. Isto também ocorre para as quantidades, os números desprezam a identidade das coisas e objetos, se número de homens “h” e o número “m” de mulheres num local é o mesmo, então escrevemos “m=h” apesar de que todas as pessoas são diferentes uma das outras ao considerarmos suas identidades e local que ocupam no espaço.

O livro sobre a TNL formaliza o conceito de número, por exemplo: quando se diz que “x=3”, isto significa que x.(|||).x. A utilização do = no alfabeto da lógica ajuda a termos uma escrita mais prática, porém seria bom ressaltar que este símbolo não é um conceito primitivo essencial para a construção da teoria.

Na lógica de primeira ordem, as constantes são definidas como uma lista, vazia ou não, de símbolos que normalmente são letras minúsculas do início do alfabeto que podem ser indexadas pelos naturais. Esta definição faz referência aos números naturais de forma intuitiva sem construí-los, esta dependência contrasta com a alegação de que a Lógica e a Teoria dos Conjuntos podem gerar toda a Matemática. Como isto se daria para a construção dos números naturais, sendo que estes são inseridos de forma “indireta” dentro da linguagem da lógica de primeira ordem? Seria como construir algo que já está inserido implicitamente na teoria. Uma constante individual se refere a um substantivo, por exemplo: Cléber, casa, a vizinha da minha avó. Uma constante de predicado se refere aos atributos que podem ser aplicados às constantes individuais, por exemplo: “A casa é bonita”, neste caso a constante individual é “A casa” e a constante de predicado “é bonita”, poderíamos escrever isto simbolicamente com “B(c)”. A TNL descreve as constantes individuais como substantivos que podem ser abstratos ou concretos, os casos de constantes de predicado também são gerados pela TNL, o caso específico B(c) seria representado por c.b “a casa tem beleza”. Além dessas possibilidades, talvez a mais natural de todas seria dizer que uma constante é algo que não muda, não possui alguém que o modifique e não possui a modificação, isto pode ser escrito na TNL:

x é constante

x°.>

(y>x.)>°.y

Delimitadores

DELIMITADORES ), ( e ,

Os delimitadores podem ser utilizados para indicar a junção de elementos, escrever (xy) faz com que estejamos nos referindo à união de x com y, portanto “xy.z” deve ser lido como “x e y tem z” enquanto que “(xy).z” significa que xy tem z. Muitas vezes o contexto é claro e a aplicação dos parênteses é negligenciada, o mesmo ocorre para as vírgulas, mas, dependendo da situação, elas são úteis para a organização de expressões mais complexas, “xy” indica “x e y” da mesma forma que “x,y”.

A expressão (x, °.y) “x, não tem y” significa “x e não tem y”, sem a vírgula ficaria (x°.y) “x não tem y” o que mudaria completamente o significado da expressão. A TNL não impõe nenhuma limitação para a organização dos delimitadores, pois entende que isto amplia a expressividade da linguagem e impede o cerceamento de questões que podem surgir. A linguagem da lógica de primeira ordem não admite que escrevamos (x.,) “x tem vírgula” ou )( “parênteses direito e parênteses esquerdo”, isto limita um aprofundamento na metalinguagem e consequente superficialidade no domínio dos fundamentos metamatemáticos.

O livro sobre a TNL discute, com detalhes, as possíveis combinações e interpretações dos elementos do núcleo da linguagem, por exemplo: “x..” pode ser lido como “x tem o ter” ou “x tem ter”, no segundo caso temos a posse de uma posse o que poderia ser entendido que x tem algo, logo “x..= x.”, ele tem o ter algo equivale a dizer que ele tem este algo. Outra possibilidade de entendimento seria dizer que o próprio conceito fundamental de pertinência pertence à x, a TNL aborda estas questões que são negligenciadas pela lógica.

De qualquer forma, os delimitadores não devem ser vistos como elementos primitivos da linguagem, a vírgula pode ser substituída por uma combinação de parênteses ou pela menção dos elementos lado a lado:

x, y e wz = x, y, wz = (x)(y)(wz)

Até os próprios parênteses podem ser fragmentados pela TNL, a lógica os utiliza de forma indiscriminada sem compreender totalmente sua natureza, de fato, temos visto até aqui que todo o embasamento da lógica e da matemática pode ser diluído pelo poder expressivo da TNL, vejamos o caso dos parênteses:

(xy).x

(xy).y

>(xy)°.x

>(xy)°.y

>(xy)°.(xy)

QUANTIFICADORES ∃ EXISTE E ∀ PARA TODO

QUANTIFICADORES ∃ EXISTE E ∀ PARA TODO

Existem frases que não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas sem termos mais informações, por exemplo: “x fez mais de 1000 gols”. Esta frase depende da variável x, portanto dizemos que se trata de uma função proposicional. Escrevemos p(x) para representar uma proposição aberta que depende da variável x∈U, onde U é denominado “o universo de discurso”, se x=Pelé, então teremos que p(x) será verdadeira.

O quantificadores permitem transformarmos uma proposição aberta em uma proposição fechada:

• ∃x∈N; x+3=4;
• ∀x∈N; x+0=x;

Estas expressões podem ser reescritas das seguintes formas:

• Existe x∈U tal que p(x) é verdadeira;
• Para todo x∈U temos p(x) verdadeira.

Admitindo estas formas genéricas de ocorrência, podemos dizer que o quantificador existencial ∃ sempre ocorre na forma ∃x∈U:p(x) “existe x pertencente a U tal que p(x) é verdadeira”, na TNL teríamos (.x, U.x, .p(x)). Repare que as únicas especificações de x são que ele existe e que está contido em U, em princípio, não se sabe se ele é o único que faz com que p(x) seja verdadeira ou mais detalhes a seu respeito.

Quando queremos dizer que existe um único x tal que p(x) é verdadeira, utilizamos o símbolo ∃!, para expressarmos ∃!x∈U:p(x) na TNL basta escrevermos .(p(y))>x.y.x, neste caso a única especificação de y é que p(y) é verdadeira, podemos entender isto como um tipo de generalização já que não se sabe mais nada a respeito de y, mas, em termos gerais, quando não generalizamos com o uso do quantificador universal ∀, estamos especificando. Interpretar a indefinição como a falta de especificação também pode não estar correto, pois ao dizermos "uma mulher ganhou na loteria" estamos nos referindo a uma mulher específica.

Cabe relembrar que a TNL define o conceito de existência de forma mais fundamental do que esta aplicação restrita da lógica de primeira ordem.

O quantificador existencial também pode ser descartado pela lógica como um símbolo primitivo, pois pode ser escrito em termos de outros símbolos: ∃xA = ¬∀x¬A “existe x tal que A é verdadeira é igual a dizer que não é verdade que para todo x A é falso”.

O quantificador universal ∀ também pode ser fragmentado pela TNL. Dizer que para todo x∈U temos p(x) verdadeira “∀x∈U:p(x)” equivale a (U.x)>.(p(x)) “U ter x faz ter p(x)”. Observando esta última fórmula, podemos concluir que o quantificador universal pode ser resumido a uma implicação lógica, por exemplo: “∀ homem ∃ uma morte” equivale a dizer que os homens estão contidos no conjunto dos mortais o que é o mesmo que dizer que se x é homem, então x é mortal. Dizer “para todo x real temos y” equivale a dizer que “se x é real, então existe y”, em resumo temos que a implicação lógica, a relação de pertinência da teoria dos conjuntos e o ∀ são conceitos equivalentes. Pode parecer estranho afirmar que isto vale para a implicação, o exemplo que demos no capítulo 6 diz que x+1=2→ x=1, poderíamos afirmar que a equação x+1=2 está no conjunto C das equações que possuem o 1 como solução, logo C.(x+1=2)>(x=1). Aqui temos algo que é intrínseco ao conjunto Ω de todas as coisas: se Ω.x, então x terá as características determinadas pela intersecção dos conjuntos que o contém com todas as suas implicações.

Afinal, o que é primitivo?

NÃO ¬ E O QUE É PRIMITIVO

Vimos que os conectivos podem ser gerados pela TNL, portanto não devem ser encarados como entes primitivos, além disso, também pudemos observar que eles podem ser reduzidos apenas a ¬ e ⋀.

O caso do “não” já foi discutido por nós anteriormente, neste capítulo iremos ampliar nossa visão sobre o que de fato é primitivo segundo a TNL. Seriam o “ter” e o “fazer” os únicos elementos primitivos de fato? Ou seriam somente uma representação de algo mais primitivo? O seguinte teorema afirma que não pode existir um conjunto de todas as coisas:

Teorema (Paradoxo de Russell): Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou seja ∀x∃y tal que y∉x.

Demonstracão: Suponha, por absurdo, que exista um conjunto y tal que, para todo x, x∈y. Utilizando o axioma da separação para a fórmula x∉x, existe z tal que, para todo x, x∈z↔(x∈y e x∉x). Já que x∈y é verdadeiro para todo x temos que x∈z↔x∉x. Tomando z no lugar de x, temos z∈z↔z∉z, absurdo.▄

Aqui vemos a utilização do axioma do esquema de separação de Zermelo-Fraenkel para uma fórmula "x∉x" que toma um x inexistente e o admite como se fosse existente, porém, isto faz com que as hipóteses do teorema não sejam válidas, pois deve-se pressupor que ∀x refira-se a todo x existente, portanto os argumentos que tomam "x∉x", admitindo-o como algo existente, contrariam a definição de existência descoberta pela TNL.

Teorema: O Conjunto Ω de todas as coisas existe e é único.

Prova: Pela definição de Ω, temos que ∃x ↔ x ∈ Ω, o que equivale a dizer que ∄x ↔ x ∉ Ω. Suponha, por absurdo, que ∃y e y ∉ Ω ↔ ∄y, temos, então, um absurdo, pois ∃y => ∄y. Seja T outro conjunto de todas as coisas, se ∃T, então T ∈ Ω, já que Ω existe, então Ω ∈ T, logo Ω = T. ▄

Já que Ω existe, quando utilizamos o “ter” e o “fazer”, o fazemos para coisas que pertencem a Ω, isto nos leva a admitir que este conjunto é o ente primitivo de fato. O “núcleo” da TNL serve para a representação da característica “estática(ter)” enquanto que o “fazer” expressa qualquer modificação, portanto o “não” é uma forma simplificada de se dizer que algo não está em Ω, isto pode indicar inclusive um recorte não estático deste conjunto universal.