NÃO ¬ E O QUE É PRIMITIVO
Vimos que os conectivos podem ser gerados pela TNL, portanto não devem ser encarados como entes primitivos, além disso, também pudemos observar que eles podem ser reduzidos apenas a ¬ e ⋀.
O caso do “não” já foi discutido por nós anteriormente, neste capítulo iremos ampliar nossa visão sobre o que de fato é primitivo segundo a TNL. Seriam o “ter” e o “fazer” os únicos elementos primitivos de fato? Ou seriam somente uma representação de algo mais primitivo? O seguinte teorema afirma que não pode existir um conjunto de todas as coisas:
Teorema (Paradoxo de Russell): Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou seja ∀x∃y tal que y∉x.
Demonstracão: Suponha, por absurdo, que exista um conjunto y tal que, para todo x, x∈y. Utilizando o axioma da separação para a fórmula x∉x, existe z tal que, para todo x, x∈z↔(x∈y e x∉x). Já que x∈y é verdadeiro para todo x temos que x∈z↔x∉x. Tomando z no lugar de x, temos z∈z↔z∉z, absurdo.▄
Aqui vemos a utilização do axioma do esquema de separação de Zermelo-Fraenkel para uma fórmula "x∉x" que toma um x inexistente e o admite como se fosse existente, porém, isto faz com que as hipóteses do teorema não sejam válidas, pois deve-se pressupor que ∀x refira-se a todo x existente, portanto os argumentos que tomam "x∉x", admitindo-o como algo existente, contrariam a definição de existência descoberta pela TNL.
Teorema: O Conjunto Ω de todas as coisas existe e é único.
Prova: Pela definição de Ω, temos que ∃x ↔ x ∈ Ω, o que equivale a dizer que ∄x ↔ x ∉ Ω. Suponha, por absurdo, que ∃y e y ∉ Ω ↔ ∄y, temos, então, um absurdo, pois ∃y => ∄y. Seja T outro conjunto de todas as coisas, se ∃T, então T ∈ Ω, já que Ω existe, então Ω ∈ T, logo Ω = T. ▄
Já que Ω existe, quando utilizamos o “ter” e o “fazer”, o fazemos para coisas que pertencem a Ω, isto nos leva a admitir que este conjunto é o ente primitivo de fato. O “núcleo” da TNL serve para a representação da característica “estática(ter)” enquanto que o “fazer” expressa qualquer modificação, portanto o “não” é uma forma simplificada de se dizer que algo não está em Ω, isto pode indicar inclusive um recorte não estático deste conjunto universal.
