L3: As lógicas e verdades alternativas - esboço

LÓGICAS

Existem lógicas alternativas que podem ser descritas como sistemas variantes da lógica clássica, além disso, segundo Haack (2002, p. 269, 309), os argumentos que tentam sustentar tais lógicas "foram, muito constantemente, bastante fracos". 

Penso ser claro que a tentativa mal-sucedida de formalizar a linguagem natural produziu todas estas lógicas, pois é evidente que elas utilizam-se de pares tipo "lógica+x" onde x é um conceito da linguagem natural:

- As lógicas modais inserem os conceitos de "necessariamente e possivelmente": Quine não apoiou estas lógicas (HAACK, 2002, p. 53, 87, 239, 240), para ele elas seriam uma extensão da lógica clássica que  baseiam-se em confusão e são desnecessárias. Ainda, segundo a autora, há muitos aspectos do discurso modal na linguagem cotidiana que as lógicas modais não abarcam, por exemplo: modificadores (como perfeitamente, remotamente etc.), o tempo e o modo verbal. Além disso, é fato que os filósofos são incapazes de concordar sobre o valor de verdade para fórmulas deste tipo de lógica (HAACK, 2002, p. 258, 259, 260);

- Lógicas temporais e lógicas de preferência;

- A lógica intuicionista;

- Lógicas de relevância: de acordo com Haack (2002, p. 263, 267), estas lógicas são numerosas assim como as modais, além disso possuem rivalidades entre si. Para os lógicos da relevância, B seria dedutível a partir de A apenas no caso desta dedução usar Be não apenas percorrer B. Segundo a autora isto precisa ser melhor explicado por parte destes teóricos.

- Lógicas deônticas consideram os conceitos de "dever e poder";

- Lógicas fuzzy (difusas)

- Lógica erotélica (lógica das questões)

- Lógicas da falta de significado: para Haack (2002, p. 2020) estas lógicas não são necessárias nem desejáveis;

- Lógica imperativa

- Lógica combinatória: Quine comentou de forma muito irônica a respeito desta lógica (HAACK, 2002, p. 81);

- As lógicas espistêmicas consideram o "saber" e o "acreditar", tais lógicas não seriam realmente lógicas de acordo com Haack (2002, p. 31, apud DUMMETT, 1973, p. 285-288 & KNEALE, 1962, p. 610), para eles as noções de crença e conhecimento seriam vagas;

- De acordo com Haack (2002, p. 274-278) a lógica trivalente foi apresentada por Lukasiewicz a partir de um argumento proveniente de Aristóteles: enunciados futuros não poderiam ser nem verdadeiros nem falsos, pois, neste caso, estaríamos comprometidos com a ideia de destino (fatalismo), desta forma a bivalência deveria ser abandonada. Particularmente, sou da opinião da autora que também acha este argumento inválido, para ela o fatalismo não surge da bivalência, porém creio que devemos antes responder à seguinte questão: "o que vai acontecer vai acontecer?". Reichenbach, assim como Lukasiewicz, entendia o 3º valor de verdade como o "indeterminado", para mim isto indica apenas o fato de desconhecermos o que será, é uma limitação humana inerente que não mudará o fato deste "indeterminado" ser obrigatoriamente verdadeiro ou falso. Esta postura parece ter surgido para atender às necessidades da mecânica quântica com seu "princípio de incerteza" (1927), no mundo quântico é impossível medir (e portanto saber) tanto a posição quanto o momento de uma partícula de forma simultânea, Bohr e Heisenberg propuseram que enunciados com estes dois dados careciam de sentido ou seriam malformados. Sinceramente, não vejo razão para propor um terceiro valor de verdade baseado no fato de sermos limitados para fazer medições, isto pode ser facilmente contornado com o uso do conectivo "ou", portanto o 3º valor de verdade pode ser substituído por V ou F. O mesmo pode ser dito para a lógica trivalente de Kleene cujo 3º valor representa "indecidível", esta palavra mostra uma incapacidade de decisão, o que não implica haver um 3º valor diferente de verdadeiro ou falso. As lógicas polivalentes são contrárias à teoria bivalente de Tarski, pois o esquema T é contrário às teoria de verdade não bivalentes, no entanto, as lógicas polivalentes possuem um cárater funcional-veritativo assim como a lógica clássica, pois o valor de suas fórmulas bem formadas dependem apenas dos valores de seus componentes. Além disso, a questão se torna mais problemática ao considerarmos o fato de que as tabelas-verdade das lógicas polivalentes não estarem totalmente resolvidas (HAACK, 2002, p. 118, 270).

VERDADES

O conceito de pós-verdade refere-se ao fenômeno cuja influência sobre a opinião das pessoas fala mais alto do que os fatos, a pós-verdade pode utilizar-se de fatores emocionais, crenças, sensacionalismos, status social de quem fala etc. Digo isto, por questionar justamente o o ambiente acadêmico contemporâneo, devemos levar isto em consideração ao analisarmos muitas teorias: parte delas podem ser apenas resultados sem fundamento deste ambiente?

Da mesma forma que houve uma proliferação de "lógicas" além da lógica clássica, naturalmente seguiu-se a formulação de teorias da verdade as quais consideraremos a partir de agora.

De acordo com Haack (2002, p. 127, 129, 133, 134, 162) temos:

- As teorias da correspondência, como já vimos, dizem que a verdade deve corresponder aos fatos, ora isto implica que o termo "verdade" deve sempre se referir a algo, não tem sentido dizê-lo sem haver um contexto com um fato implícito ou explícito. Críticos destas teorias afirmam que elas não são claras, pois não apresenta um isomorfismo entre a estrutura de uma proposição e os fatos. Discordo deste ponto, pois todo isomorfismo é uma função matemática e, para u ser uma função entre a realidade e a linguagem é preciso que cada fato seja descrito de forma única, o que não ocorre, por exemplo:

u(fato: está chovendo) = chove/ cai água do céu/ caem gotas do céu/ as nuvens estão jorrando água na terra etc. Desta forma, não existe função com domínio na realidade e contradomínio na linguagem, porém o contrário pode ser válido, existe uma função v tal que  v(chove/ cai água do céu/ caem gotas do céu/ as nuvens estão jorrando água na terra etc) = fato: está chovendo, ela levaria todas as representações de um fato ao fato em si, esta função não seria injetora. Enfim, vejo esta crítica como uma limitação dos filósofos e lógicos aos objetos definidos pela matemática, o fato de não haver um isomorfismo não tem importância alguma, pois não estamos tratando de álgebra abstrata. Ainda de acordo com a mesma autora (p. 165), Davidson acreditava que uma teoria adequada do significado deveria extrair os significados das sentenças a partir dos significados de cada palavra componente, segundo ele seria impossível seguir outro caminho;

- As teorias da coerência afirmam que a verdade depende de um conjunto de crenças, alguns sustentam que a realidade é coerente (é uma ambiguidade com a qual concordamos), Popper disse que a teoria da correspondência é superior à da coerência, pois esta confundiria consistência com verdade; 

- A teoria pragmatista (prática) nos diz que a verdade de uma crença provém de sua correspondência com a realidade, ressaltando que a crença deve resistir aos testes e experimentos de sua coerência com outras crenças. Penso que aqui há um reflexo da velha discussão entre o empírico e o "à priori" que discutiremos futuramente, mas já posso adiantar que ela carece de fundamento justamente por confundir nossa capacidade perceptiva experimental ou sensorial (ou elementos subjetivos) com aquilo que existe independente de nós, alguns chegaram a afirmar que as crenças verdadeiras são aquelas confirmadas com o tempo mediante a experiência, ora isto não considera que o tempo continua a passar e que novos experimentos podem se seguir, além disso, eleva tais procedimentos a procedimentos infalíveis. Popper também critica esta teoria, pois ela confundiria a utilidade com a verdade; 

- A teoria da redundância, formulada por Ramsey (1927), nos diz que "verdadeiro" é redundante, pois dizermos que "p é verdadeiro" equivale a dizer que "p", Mackie diz que esta teoria não possui nenhuma "carne epistemológica" sobre si. Na minha opinião, ela expressa um fato implícito durante uma fala declarativa.

 

É interessante notarmos que  "coerência" entre crenças (informações ou convenções) pressupõe que elas devem ser coerentes entre si, o que significa que elas não podem ser contraditórias, ora isto recai no princípio de não-contradição da lógica clássica. O caso da teoria pragmatista também parece ser uma extensão desnecessária da lógica clássica, dado que seu empirismo sustenta-se no correspondencialismo. 

PARADOXOS

Defino paradoxo simplesmente como uma contradição, ou seja, quando temos x e não x ao mesmo tempo. O paradoxo do mentiroso pode ser resumido da seguinte forma: esta frase é falsa, se ela é falsa, então seu conteúdo é verdadeiro, mas, neste caso, ela é falsa. Se a frase é x, então x V -> x F ->x V.

Cabe ressaltar que tanto o trabalho de Tarski quanto estas definições de verdades foram, em grande parte, também motivadas pela necessidade de evitar o paradoxo do mentiroso, ele de fato contornou a questão, mas não disponibilizou uma solução para o problema. O mesmo pode ser dito de Russell que formulou a teoria dos tipos também com este propósito, ele acreditava (assim como Poincaré) que os paradoxos eram fruto de violações do princípio do círculo vicioso PCV cuja ideia básica é a de que um conjunto não pode ser elemento de si mesmo, Haack (2002, p. 194) afirma que ele não chegou a ser formulado com a precisão necessária. O que importa neste ponto é destacarmos que os lógicos jamais solucionaram esta problema, ao menos os mais famosos dentre eles, apenas evitaram a questão limitando seu escopo.

, além disso, o que dizer dos fundamentos da matemática os quais se fundamentam basicamente sobre a lógica de primeira ordem e a teoria dos conjuntos?

Aristóteles 384 a.C.-322 a.C.

De acordo com Haack (2002, p. 306, 309), Kant confiava na lógica aristotélica porque esta abarcaria as "formas de pensamento" e que só podemos pensar de acordo com estes princípios.

Para Kant, desde Aristóteles, a lógica não avançou nenhum passo significativo, ela estaria pronta e seria perfeita. Ele faz uma dura crítica aos filósofos que tentaram aumentá-la com capítulos psicológicos etc. com ignorantes a respeito da natureza peculiar da ciência lógica. Kant apresenta a seguinte tabela para a organização dos juízos:

I                            II                       III                    IV

Quantidade        Qualidade        Relação        Modalidade

Universal            Afirmativo        Categórico    Problemático

Particular            Negativo        Hipotético        Assertótico

Singular               Infinito         Disjuntivo        Apodítico

 "(...) somos incapazes de formular qualquer sentença composta sem usar conectivos sentenciais ou outros termos lógicos definidos com seu auxílio. Felizmente, a situação não é tão ruim." (TARSKI, 2007, p.182)

Frege 1848-1925

Tarski 1901-1983

Gödel 1906-1978

Desenvolvimento

Estrutura

Os conectivos (e, ou, não e implica) já haviam sido identificados por Crisipo (século III A.C.)(DOXIADIS & PAPADIMITRIOU, 2010, p. 322)

A lei do 3º excluído p ou não p e a bivalência para todo p p é V ou p é F devem ser equivalentes na minha opinião

Eu: Houve, a partir de Gödel, um tipo de concílio que delimitou o que seria canônico... 

se tivesse outra origem haveria muitas discrepâncias

A CARTILHA DA LÓGICA - MARIA DO CARMO NICOLETTI - 3ªEDIÇÃO - RIO DE JANEIRO - LTC, 2017.

FILOSOFIAS DA MATEMÁTICA - JAIRO JOSÉ DA SILVA - EDITORA UNESP - 2007 - SÃO PAULO.

CRÍTICA DA RAZÃO PURA - IMMANUEL KANT - NOVA CULTURAL -1996 - SÃO PAULO  - TRADUÇÃO VALÉRIO ROHDEN E UDO BALDUR MOOSBURGER

L3: O que é lógica?

Para respondermos a questão "o que é lógica" (do grego logos - palavra, fala, razão etc.), devemos abordá-la historicamente e tentar dar um motivo que levou as pessoas a desenvolverem esta disciplina. Os seres humanos estão inseridos num grande conjunto de coisas existentes "reais" que denominaremos "realidade", para se comunicarem é preciso haver uma linguagem que cumpre o papel de representar essa realidade, ela pode ser composta por sons, imagens, grafias, objetos físicos etc., porém deve-se destacar que expressões tais como "a cadeira pensou", "água de ferro", "círculo quadrado" não encontram paralelos dentro da realidade, desta forma, descreveremos a lógica como algo que se interpõe entre a realidade e a linguagem: 

Realidade---Lógica---Linguagem 

Portanto, a lógica excluiria estas expressões por elas não estarem de acordo com o conjunto das coisas existentes. Assim, podemos definir a lógica como um filtro entre a realidade e a linguagem, ela contém regras gramaticais (sintaxe) e verifica se as coisas têm sentido (semântica), porém não devemos esperar que haja algum tipo de consenso ou ou senso por parte da maioria dos lógicos, por exemplo, para Castrucci (1984, p. 9, 10, apud COURANT & ROBBINS, 1955), não existiria uma definição satisfatória para o que é a lógica e a matemática, mesmo se lêssemos a obra "Que es la matemática?" inteira, não encontraríamos uma resposta para o título desta obra.

As pessoas fazem isto automaticamente antes de formular uma expressão, elas observam a realidade e compõem representações linguísticas a fim de retratarem algo fiel àquilo que existe de fato, o conjunto de regras e convenções que utilizamos para isto é chamado de "lógica".  Segundo Silva (2007, p. 42, 43, 44, 56), Platão admitia que os objetos e verdades matemáticas têm existência que não depende de nós, Aristóteles pensava que tais objetos existem apenas como aspectos daquilo que é real, ou seja, os entes matemáticos dependem da existência de objetos reais. Aristóteles não duvida da existência dos objetos matemáticos, mas sim de sua desassociação com a realidade, diante deste raciocínio, seríamos levados a admitir que a matemática não difere muito das ciências empíricas. Ela não teria objetivo em estudar a substância em si, mas apenas aspectos formais. Aquilo que Platão idealizava, Aristóteles via apenas como aspectos ou abstrações de objetos reais.

De acordo com Haack, 2002, não deve existir uma natureza essencial na lógica, esta visão comum entre os lógicos contemporâneos, nem sempre foi assim. Segundo Castrucci (1984, p. 13), Leibniz (1646-1716 ) foi o precursor da lógica moderna cuja tese central era justamente fornecer uma estrutura fundamental da lógica, ele teve uma ideia chamada "cálculo raciotinator" que seria uma redução (sistema de abreviações) da linguagem à lógica que forneceria um sistema livre de ambiguidades, mas não obteve êxito. George Boole (1815-1864) foi quem de fato lançou os alicerces da lógica moderna com sua obra "Investigation of the laws of thought" que fornecia um cálculo lógico simbólico, Frege (1848-1925), o maior lógico de todos os tempos, segundo Alonzo Church, tentou desenvolver esta ideia com uma redução da aritmética à lógica, mas também desistiu ao não conseguir superar o paradoxo enviado em uma carta de Russell em 1902, este também não conseguiu desenvolver a tese logicista (SILVA, 2007, p. 67, 133, 136). Russell e Wittgenstein desejaram, por um tempo, conceber uma linguagem única cuja forma lógica fosse perfeitamente exibida, mas, infelizmente, também falharam nesta busca inicialmente proposta por Leibniz.

A saída desta situação incômoda foi a passagem da atenção direcionada à validade de argumentos para a verdade lógica das "fórmulas bem formadas" de acordo com Haack (2OO2, p. 48, apud KNEALE). Passamos para linguagens que são compostas artificialmente, elas se importam apenas com a forma e não com o conteúdo das expressões segundo Silva (2OO7, p. 51). A lógica moderna não considera sequer o tempo (HAACK, 2OO2, p. 65), isto nos faz refletir a respeito da implicação, pois, em princípio, ela pode significar uma modificação a qual acarreta a existência de tempo.

Tarski não acreditava que sua teoria pudesse ser aplicada para linguagens naturais para as quais não haveria uma esperança de se obter uma definição adequada de verdade, apesar disso, de seu seguidor Davidson buscou uma teoria do significado aplicável para elas, mas não forneceu nenhuma resposta satisfatória para o problema. Haack questionou a utilidade de um trabalho cujo conceito de verdade fosse inteiramente distinto do utilizado nas linguagens cotidianas. Schiller e Strawson consideraram os métodos formais extremamente inadequados para tratar a linguagem natural (HAACK, 2002, p. 111, 168, 169, 172, 176).

Davidson contraria Tarski ao pensar que a linguagen natural não possui caráter universal, para ele a tarefa de uma teoria do significado seria analisar a estrutura de sentenças sem dar importância ao significado das palavras individualmente chega até a afirmar que: "permanece uma abaladora lista de dificuldades e enigmas", ele chega a considerar enunciados de probabilidade, causais, advérbios, adjetivos atributivos, substância/material, verbos de crença, percepção, intenção e ação, não sendo capaz de explicá-los formalmente. (HAACK, 2002, p. 169, apud DAVIDSON, 1967, p. 171) e (TARSKI, 2007, p.32, 35, 217).

Pelo que temos observado até aqui, o grande motivo que impulsionou o desenvolvimento da lógica como disciplina formal foi a busca por uma estrutura da linguagem natural, algo no qual os lógicos não foram bem sucedidos. Isto pode ser provado para os mais proeminentes nomes da lógica que tentaram encarar esta questão, por exemplo:

"(...)abandono agora a tentativa de resolver nosso problema para a linguagem cotidiana e restrinjo-me, daqui em diante, inteiramente às linguagens formalizadas. Estas podem ser aproximadamente caracterizadas como linguagens artificialmente construídas nas quais o sentido de toda expressão é univocamente determinado por sua forma."(TARSKI, 2007, p.33).

Aqui vemos Tarski (considerado um dos quatro maiores lógicos de todos os tempos) simplesmente abandonando esta questão e reforçando nossa tese de que a lógica moderna nada mais é do que uma limitação que surgiu devido a uma incompreensão da linguagem natural. De fato, segundo Nicoletti (2017, p. 2, 3, 135) a lógica proposicional considera somente expressões declarativas chamadas de proposições, desconsidera expressões exclamativas, imperativas e interrogativas, enquanto que a lógica de primeira ordem é o conjunto de todas as fórmulas bem-formadas que podem ser geradas a partir de um alfabeto. Russell e Frege simplesmente alegaram que a linguagem natural tinha a vaguidade como um defeito (HAACK, 2002, p. 219, 221), creio que isto não passa de uma forma de desprestigiar algo com o qual você não teve a capacidade de lidar, além do mais, eles não apresentaram nenhum argumento convincente a respeito.  

Os lógicos tiveram que recorrer a estas limitações, criando linguagens artificiais que lhes permitissem andar sobre um terreno no qual tinham alguma segurança, basicamente evitaram a questão da formalização da linguagem cotidiana e abandonaram a ideia de uma lógica ou linguagem universal como inicialmente proposta por Leibniz. De acordo com Haack (2002, p. 212-214, apud QUINE & PRIOR), estes autores defenderam que o tempo deveria ser considerado dentro da lógica, para Quine as variáveis da lógica de primeira ordem não deveriam ser sobre indivíduos, mas sim sobre indivíduos espaço-temporais, Prior defendia a utilização de operadores temporais. Para mim faz todo sentido pensar desta forma, pois eu mesmo não posso ser definido como um ser estático no espaço, sendo, portanto, um conjunto que varia dentro do espaço conforme o tempo varia. Quine define uma época como um corte do mundo material de 4 dimensões (3 dimensões temporais e 1 dimensão é o tempo) porque isto estaria em conformidade com a física moderna.

L3: Russell

Bertrand Russell 1872-1970

Para falar de Russell, farei uma resenha crítica da obra "Logicomix- Uma jornada épica em busca da verdade" de APOSTOLOS DOXIADIS E CHRISTOS H. PAPADIMITRIOU que trata basicamente da vida de Russel em forma de quadrinhos.

Russel procurava a essência da verdade quando começou a estudar matemática, mas se decepcionou ao deparar-se com "truques baratos" e falhas nas definições, isto o fez ter uma experiência pessoal negativa com a "rainha das ciências" (p. 80, 81). Após esta decepção, Russel entra em contato com a filosofia, mas também não obtém sucesso, pois vê que todos os filósofos estão em discordância e isto não atende seu desejo de adquirir um conhecimento incontestável (p. 91, 94). Mais tarde, ele tem contato com a ideia (mal sucedida) de Leibniz, o "calculus ratiocinator", isto o fez assumir-se como um lógico, com dedicação exclusiva, e ter por objetivo transformar a lógica em uma ciência exata (p. 95, 96, 101).

Em sua época, a matemática estaria uma bagunça completa, infestada de hipóteses não demonstradas e definições circulares, estaria fundamentada sobre bases instáveis (p. 112). Frege entra em cena, para ele o objetivo da lógica não é fazer cálculos (como na lógica booleana), mas sim representar a realidade, ele partilhou da ideia de Leibniz/Russell da necessidade de criar uma linguagem totalmente lógica (p. 119, 121, 122).

O livro cita um episódio no qual Cantor, o matemático que fundamentou a teoria dos conjuntos, está internado num hospício escrevendo teorias bíblicas (p. 136), Russell está com seu interesse voltado para uma única direção: uma nova linguagem lógica que proporcione fundamentos sólidos para a matemática e achava a teoria dos conjuntos vital para isso (p. 145), a definição de Bolzano de que "um conjunto é formado por elementos que partilham de uma propriedade em comum" o admirou, pois a teoria dos conjuntos seria uma teoria inteira feita para lidar com esses objetos tão simplesmente definidos (p. 146).

No congresso internacional de matemáticos de 1900, em Paris, o autor relata um episódio de violência envolvendo matemáticos num bar (p. 148) - Deste tipo de ambiente poderíamos esperar algo bom? - Em seguida, David Hilbert diz não haver espaço para a intuição nas demonstrações, os axiomas devem ser o ponto de partida e devem ser logicamente compatíveis (p. 150), para ele o número desempenharia o papel central em todos os ramos da matemática, desta forma, a aritmética seria a pedra fundamental que deveria sustentar todas as verdades matemáticas. Portanto, seria necessário fazer da aritmética algo acima de qualquer suspeita - não há espaço para o "não saberemos" (p. 151, 152). Esta visão de Hilbert demonstra-se falha, pois os axiomas de Peano podem ser gerados ou demonstrados a partir de um conjunto mais fundamental de conceitos (MOTA, 2020, p.20-24).

Russell propõe escrever os "Principia Mathematica", juntamente com Whitehead, com o intuito de resolver todos os problemas fundamentais (p. 157). Em seguida, ele afirma que o número 3 é o conjunto de todos os conjuntos com 3 elementos sendo que o fato de serem 3 seria a propriedade em comum que atenderia a definição de Bolzano (p. 162). Penso que esta ideia não está de acordo com o uso corrente do número 3, pois, quando a pessoas se referem a este número, elas estão se dirigindo a um conjunto e situação específicos e não ao conjunto imaginado por Russell. Mais tarde ele também questiona esta ideia ao propor um exemplo: o conjunto de todos os pássaros não é um pássaro, logo, não pode conter a si mesmo (p.163), esta ideia o levou a elaborar o paradoxo de Russell (que, por questões éticas, deveria se chamar paradoxo de Eubulides - veremos isso mais adiante). Para mim há uma sutileza neste exemplo, pois o conjunto "P", de todos os pássaros, não pode ser um pássaro, dado que sua cardinalidade (número de elementos) deve ser maior do que 1, portanto ele não pode ser um pássaro: Russell armou uma armadilha na qual ele mesmo caiu. 

O intuicionista Poincaré gostou do paradoxo de Russell, pois era algo que ia contra o formalismo. Giuseppe Peano e Hilberte não ficaram muito felizes, porque eram pró-conjuntos e este paradoxo teria feito com que a teoria de Cantor não passasse de uma "teoria ingênua", dado que geraria uma contradição (o paradoxo de Russell) (p. 168, 169). Outro que não ficou nada feliz com o paradoxo foi Frege, o pai da lógica moderna (p. 327), ele foi surpreendido na véspera de lançamento de sua obra e nela escreveu o seguinte:

"O paradoxo do Dr. Russell parece levar ao colapso não só os fundamentos da minha aritmética, como também os únicos fundamentos possíveis da aritmética como tal" (p. 170).

Russell tenta contornar o paradoxo propondo um exemplo sobre as castas da Índia: um membro da casta 4 pode ser barbeado por um membro da casta 3 e este por um da casta 2, e este pela casta 1 (e este teria que se barbear? Ou ficaria sem se barbear?). Estas reflexões fizeram com que ele desenvolvesse a "teoria dos tipos" que segue a mesma lógica do exemplo citado: um conjunto de determinado tipo só pode ter conjuntos de um tipo inferior (sem auto inclusão) sendo que alguns conjuntos não podem conter conjuntos (como a casta nº1) (p. 174, 175). Devo ressaltar que os conjuntos que não possuem conjuntos (urelementos) são algo que não existe (MOTA, 2020, p. 124, 125).

As deficiências citadas foram constatadas por Russell que desejou desistir da empreitada do "principia mathematica", pois a teoria dos tipos estava se desintegrando (p. 177), por exemplo, Russell teve que escrever 362 páginas para provar que 1+1=2 (p. 184, 185, 245). Em resumo, temos a seguinte sequência até aqui:

1- A matemática deve se basear na lógica;

2- Frege criou uma lógica formal com base na teoria dos conjuntos;

3- Russell "descobre" o paradoxo;

4- Russell e Whitehead tentam consertar isso;

O desfecho da sequência de fatos acima é desastrosa: Russell admite que o que fez não passa de uma "torre de tartarugas" em alusão à mitologia hindu (p. 189, 190), o equivalente grego seria representado por Atlas, o homem que sustenta o mundo em suas costas, mas sobre o que ele estaria sustentado? Sobre outro Atlas? Daí a expressão "torre de tartarugas" de Russell, eu utilizaria a expressão "cachorro querendo morder o próprio rabo", pois há um claro aspecto de círculo vicioso.

O desfecho foi trágico e lançou sua obra em total descrédito: a própria editora se recusou a publicar os "principia" e disse que só o faria se os autores arcassem com os custos de impressão e editoração (p. 195). Russell admite que a teria dos tipos é fraca e que eles não conseguiram tornar os fundamentos nem um pouco mais sólidos (p. 225). 

Wittgenstein aparece como um entusiasta das ideias de Russell, para ele a linguagem não passa e um modelo, uma representação da realidade (um tipo de mapa), apresentando uma visão correspondencial, (p. 242, 258), nesta fase o filósofo ficou conhecido como o 1º Wittgenstein, ele afirma que seu livro delimitaria a linguagem e, portanto, o pensamento (p. 261). Concordo em parte com ele, pois o pensamento e a filosofia podem ser expressos pela linguagem, mas sua tentativa de explicar quais os fundamentos básicos da linguagem fracassou (veja o capítulo específico sobre Wittgenstein).

Para os autores de Logicomix, a busca de Russell por uma certeza absoluta implicava numa profunda descrença na linguagem cotidiana, acompanhando Frege, ele a via como uma deturpação do pensamento racional puro, desta forma ele a substituiu por uma versão artificial. (p. 256), mas ele acaba reconhecendo seu fracasso com a lógica (p. 272).

Mais tarde Russell se encontra com Gödel que afirma que os "principia" não definem o conceito de demonstração, Russell lhe diz que algo é demonstrável, se e somente se, for verdadeiro. Fica claro que Gödel formula suas ideias a partir da obra de Russell (p. 273, 274, 335), isto nos faz questionarmos os resultados por ele obtidos dado a quantidade de problemas expostos com os trabalhos do aristocrata inglês (p. 336). Isto fica evidente ao observarmos que Gödel demonstrou seu teorema da incompletude criando uma afirmação análoga a de Eubulides/Russell, enquanto este dizia "esta afirmação é falsa", aquele adaptou sua variante para "esta afirmação é indemonstrável" (p. 321).

O livro continua relatando alguns episódios do lado "humano" dos personagens: Frege, o pai da lógica moderna, escrevendo ideias nazistas, Wittgenstein batendo em crianças durante suas aulas, David Hilbert internando seu filho num manicômio sem jamais ir visitá-lo (p. 275, 277, 278, 282, 331).

Até o grande matemático Von Neumann acaba concordando com os resultados apresentados por Gödel (p. 287, 341) -o clima era de unanimidade- Russell lamenta, pois partilhava do sonho de Leibniz de encontrar um método de cálculo para a solução de todos os problemas tanto da lógica quanto da vida, mas, para ele, não existe um caminho real para a verdade (p. 295, 296).  

O livro termina citando alguns fatos: 

Os conectivos (e, ou, não e implica) já haviam sido identificados por Crisipo (século III A.C.) (p. 322); 

O cálculo de predicados (lógica de primeira ordem) é a extensão criada por Frege da lógica proposicional desenvolvida por Boole (p. 322);

Gödel sofreu de "melancolia profunda" e foi internado ao final da década de 1930, em 1978 ele pensava que queriam envenená-lo, ficou desnutrido e acabou falecendo (p. 329);

O calculus raciotinator de Leibniz deveria ser tão rigoroso e racional que acabaria com qualquer desentendimento entre as pessoas, ele não conseguiu desenvolvê-lo (p. 332);

Peano tentou criar uma língua natural auxiliar internacional baseada no latim, o que se mostrou apenas um sonho distante como outras tentativas neste sentido, por exemplo: esperanto, volapük e ido (p. 334, 335); 

Poincaré via a teoria dos conjuntos como uma doença, para ele a lógica seria estéril sem a intuição, ele foi um opositor do formalismo (p. 335);

Russell recebeu críticas por ter inserido o axioma da redutibilidade em seu "principia", pois seria "um método forçado e artificial para varrer para debaixo do tapete um problema que o livro estava tentando resolver" (p. 335);

Russell acreditava que o 2º Wittgenstein havia descambado para o misticismo (p. 344) e Wittgenstein considerou que a obra de Russell estava repleta de "interpretações equivocadas e erros filosóficos" (p. 339);

Quando dizemos "o 2º Wittgenstein", estamos nos referindo a um momento posterior de sua vida, no qual ele abandona sua fase de "atomista lógico". Nesta segunda fase, ele renega seu trabalho anterior dando espaço para "conceitos nebulosos" tais como semelhança de família e jogos de linguagem. Ele era filho de um dos homens mais ricos da Áustria e, para muitos, foi o maior filósofo do século XX (p. 343);

Wittgenstein afirma, ao final de sua proposição nº7, a brilhante conclusão: "sobre aquilo que não podemos falar, é melhor ficarmos em silêncio" (p. 340), Alan Turing também discordava de Wittgenstein (p. 344);

FILOSOFIAS DAS LÓGICAS - SUSAN HAACK - TRADUÇÃO CÉZAR AUGUSTO MORTARI/LUIZ HENRIQUE DE ARAÚJO DUTRA - EDITORA UNESP, 2002, SÃO PAULO

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - CARL BENAMIN BOYER - 1974 - ED UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - EDGARD BLÜCHER - TRADUÇÃO ELSA F. GOMIDE

LOGICOMIX - UMA JORNADA ÉPICA EM BUSCA DA VERDADE- APOSTOLOS DOXIADIS E CHRISTOS H. PAPADIMITRIOU - WMF MARTINS FONTES - SÃO PAULO - 2010

GÊNESIS MATEMÁTICO - LEONARDO CORREIA MOTA - 2020 - AMAZON - SÃO PAULO