7 #TEORIA DOS CONJUNTOS
Toda propriedade P determina um conjunto, tudo pode ser inserido num conjunto (SILVA, 2007, p.218, 221), um conjunto pode referir-se a qualquer coisa existente, inclusive podemos falar de conjuntos de coisas imateriais ou qualquer coisa que nossa mente possa conceber, para isto bastaria escrevermos M={x|x é uma imaginação}.
Segundo Mortari(2016, p.65, 67), não se exige que elementos de um conjunto tenham algo em comum, portanto, pode ser que a única relação que os elementos de um conjunto tenham em comum seja estarem no mesmo conjunto. Sant’anna (2007, p.XXIII, 1, 3, 9) afirma que a teoria dos conjuntos foi alvo de inúmeras críticas ao longo do tempo e que algumas persistem até hoje, aliás, nem haveria uma definição precisa, aceita por todos os matemáticos, do que é um conjunto. Este autor afirma que conjuntos são “amorfos” e podem ser atemporais e nos dá, como exemplo, o conjunto “dos leitores desta frase” – Cada leitor tem forma e localiza-se num determinado espaço e tempo, mas não o conjunto. - Vejo isto como algo que pode facilmente ser contornado, bastaria considerarmos a interpretação quadridimensional de Quine(1972, p. 49-50) que engloba espaço e tempo.
Vimos que a LPO depende de alguns conceitos da TC, portanto é necessário provarmos que ~TC para termos a confirmação de que ~matemática(LPO,TC). A TC não considera que os conjuntos A={a,e,i,o,u} e B={{a},{e},{i},{o},{u}} sejam iguais, os elementos de A são as vogais, e os elementos de B são os conjuntos unitários cujos elementos são vogais, em resumo, considera-se que {u} seja diferente de u. Aqui podemos dizer que X={a,e,i}⊂A, mas não que X∈A, esta diferença se baseia no fato de que o ∈ considera cada elemento de forma individualizada. As chaves são encaradas como uma espécie de invólucro que deve ser considerado, pois {u}∉u, mas u∈{u}. Isto pode ser questionado, pois podemos afirmar que as chaves não necessitam ser consideradas, assim os elementos de B seriam apenas as vogais. Vejamos outra possibilidade: seja C={1,2}, logo o conjunto das partes de C será P(C)={∅,{1},{2},{1,2}}, o {1} poderia ser encarado como uma cópia/representação de 1, ou seja, P(C) poderia ser visto como um tipo de conjunto de cópias de elementos ou partes de C, pois 1∉C, mas {1}∈C, Kant tinha um pensamento análogo (SILVA, 2007, p.96).
O termo “família de conjuntos” é redundante e nada mais significa do que um conjunto de conjuntos, na axiomática dos conjuntos tudo é conjunto. Segundo Fajardo (2017, p. 157), a axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF) da TC pode ser utilizada para formalizar toda a matemática inclusive os teoremas metamatemáticos. Essas formalizações apresentam algumas limitações, pois na LPO não podemos quantificar sobre conjuntos, funções e sequências de elementos do universo, apesar disto, a ZF é a teoria formal mais popular a respeito de conjuntos e admite inúmeras variações, porém, ainda hoje, não se sabe se a ZF é uma teoria consistente (SANT’ANNA, 2007, p.2, 9). A TC se apresenta como uma teoria unificadora que utiliza uma LPO, é aceito que a ZFC pode definir os conceitos matemáticos fundamentais como pares ordenados, produto cartesiano, funções, números naturais e reais. As outras teorias matemáticas surgiriam a partir destes conceitos, por exemplo, temos a geometria euclidiana que pode ser interpretada em R3.
7.1 ∈ E ⊂
O único símbolo de predicado específico da ZFC é o ∈ “pertence” (COSTA, 2008, p.100), ele faria parte do núcleo da TNL, pois representaria o conceito de “ter”, desta forma teríamos, de certo modo, que (∈=.). Este é um fato muito interessante, pois, considerando a ZFC como uma “teoria unificadora” da matemática, é de se admirar que esta possua apenas um símbolo primitivo, para o qual temos ~∈. Para esclarecer esta derivação é necessário considerar o aspecto da TC que já comentamos anteriormente: sejam D={0,1} e E={0,1,2}, então temos que D⊂E, mas D∉E. Na TNL escrevemos “E.D”, pois não costumamos considerar as chaves, a não ser que seja explicitado que elas fazem parte do conjunto, caso contrário, seus elementos serão apenas os do interior das chaves. Para a TC o ∈ carrega a ideia de indivíduo que se difere de conjunto por não estar dentro de outro invólucro (chaves) além das que cercam o conjunto ao qual pertence o elemento. Desta forma, para os conjuntos W={x} e Q={{x}}, temos que x∈W, mas x∉Q pois, em Q, x possui mais de um par de chaves ao seu redor, logo:
\x∈X=
X.x
X.{y}.X
x.{z}.x>°.z
Nota: Repare que z deve ter um par de parênteses a mais do que x no lado esquerdo da última fórmula.*
Ou seja, x é elemento de X se X tem x e existe y tal que X={y} (pois X deve ser um conjunto), além disso, se x={z}, então este z não existe.
Vejamos esta definição no caso dos conjuntos W e Q acima:
Para o caso de W={x}, na fórmula acima, teríamos W.x={x}.x, onde y=x, pois {x}.{y}.{x}>x=y. Se x.{z}.x, então a fórmula do ∈ não se aplicaria aqui, pois ela nos diz que tal z não existe para um x elemento de X;
Para Q={{x}}, fazendo as devidas adaptações na fórmula acima, teremos que Q.{x} com y={x}, pois {{x}}.{y}.{{x}}>y={x}. No caso anterior o elemento de W não era um conjunto, aqui temos que o elemento de Q é também um conjunto.
(*)Se {x}.{{z}}.{x}>°.{z} então, novamente, a fórmula do ∈ não se aplicaria aqui, pois ela nos diz que tal {z} não existe para um {x} elemento de X.
O ⊂ “contido”, segundo consta, não seria um símbolo primitivo assim como os demais que veremos diferentes do ∈. O ⊂ estabelece uma relação entre conjuntos, ou seja, o objeto à esquerda do símbolo não pode ser um elemento do conjunto, ele deve possuir invólucro:
\x⊂X=
a∈x>a∈X
Ou seja, x é subconjunto de X se todo elemento de x é um elemento de X. ∴~(∈,⊂).
As definições de chaves e parênteses são muito próximas, pois havíamos escrito a propriedade dos parênteses “(x).x°.(x)” que se assemelha muito da propriedade das chaves que nos diz “x∈{x}∉x”.
7.2 O VAZIO ∅
Segundo a TNL, o ∅ é sinônimo do que não existe, logo pode ser definido por ∅°.∅ ou Ω°.∅ o que equivale a dizer que ∄∅. Se o que possui fim tem o vazio após si, então, já que ∄∅, o finito não existiria na realidade (física)? Para a TC será necessário fazermos algumas considerações. Num exemplo anterior, vimos que o vazio é um elemento do conjunto das partes:
C={1,2}
P(C)={∅,{1},{2},{1,2}}
Mas como isto é possível dado que a TNL o define como algo inexistente? O vazio não pode ser elemento de nada, pois ele não está em Ω. Isto pode ser contornado se o substituirmos por um espaço o que é diferente do vazio da TNL, pois ele não possui nada, nem espaço, logo teríamos algo do tipo na TC: P(C)={ ,{1},{2},{1,2}}.
A TC afirma que o ∅ é subconjunto de qualquer conjunto, prova: suponha que exista um conjunto x qualquer para o qual isto não ocorra, logo ∅⊄x→(∃y∈∅:y∉x), absurdo pois o ∅ não possui elementos∎. Esta demonstração tem um problema que envolve Ω, pois se x existe, então Ω.x, já que x contém o vazio, então Ω.x.∅>Ω.∅>∅.∅, outro absurdo. Esta sutileza consiste na definição que a TC faz a respeito do vazio: ∅≝{}, as chaves já foram expressas pela TNL, ∴~∅. Desta forma, temos que o vazio é o formado apenas pelas chaves “invólucro”:
∴P(C)={{} ,{1},{2},{1,2}}
Escrevendo isto utilizando a LPO temos:
∀y((∅=y)↔∀z(¬z∈y))
Todos os símbolos desta expressão já foram expressos pela TNL, portanto temos mais um argumento que prova que ~∅. A partir desta definição de ∅, é possível demonstrar sua unicidade.
Prova. Seja x outro conjunto vazio da TC, suponha, por absurdo que x seja diferente de ∅. Então, por simplicidade, tomemos um y pertencente à x que não pertença a ∅, absurdo, pois x não tem elementos∎.
7.3 UNIÃO, INTERSECÇÃO E SUBTRAÇÃO
Podemos descrever a união dos elementos de uma família de conjuntos “F” por: ⋃F={x:∃X∈F,x∈X}. Todos os símbolos desta expressão já foram construídos pela TNL, a única observação a se fazer é que os dois pontos “tal que” podem ser substituídos pelo “e”, ∴~(⋃F). Vale relembrarmos que também descrevemos a união entre dois conjuntos anteriormente:
\((A⋃B).A,(A⋃B).B),((A⋃B).x,A°.x)>B.x,((A⋃B).x,B°.x)>A.x;
A expressão “A⋃B” pode ser entendida como AB, desta forma, sem as restrições da TC a respeito das chaves, poderíamos afirmar que ⋃F=F.
A intersecção dos elementos de uma família de conjuntos “F” pode ser expressa por: ⋂F={x∈F:∀X∈F,x∈X}. Todos os símbolos desta expressão já foram construídos pela TNL, ∴~(⋂F). Vale lembrarmos que descrevemos a intersecção entre dois conjuntos anteriormente:
\A.(A⋂B),B.(A⋂B),(A.x,B.x)>(A⋂B).x>
(A.x,B.x)
Apesar de dizermos que se trata de uma família de conjuntos, destacamos que para a TC tudo é conjunto (COSTA, 2008, p.103). A forma de se escrever a intersecção de acordo com a LPO é:
∀x(∃y(y∈x)→∃y(∀z((z∈y)↔
∀w((w∈x→(z∈w)))))
Aqui representamos y por ⋂x, todos os símbolos desta expressão já foram construídos pela TNL, ∴~⋂x. Novamente nos deparamos com uma sutileza, pois, já que para a TC uma família de conjuntos nada mais é do que um conjunto e o vazio é subconjunto de todo conjunto, então toda intersecção não deveria ser vazia? Como a intersecção indica os elementos que devem fazer parte de todos os conjuntos da família x, então (k∈⋂x,∅⊂x)→(k∈∅) absurdo, por isso a TC exclui o vazio de uma família ao realizar uma intersecção.
A subtração entre conjuntos A-B é o conjunto dos elementos que pertencem à A, mas não à B:
(A-B)={x∈A:x∉B}. Todos os símbolos desta expressão já foram construídos pela TNL, ∴~(A-B):
\(A-B).x>(A.x,B°.x).
7.4 PAR ORDENADO E PRODUTO CARTESIANO
O axioma do par (que veremos mais adiante) é utilizado para garantir a existência do conjunto {x,y} que é um par não ordenado, aqui podemos inverter a ordem dos elementos sem problema, ou seja: {x,y}={y,x}, excluindo as peculiaridades da TC poderíamos inclusive dizer que {x,y}=xy=⋃{x,y}.
Ao se definir um par ordenado, as chaves são trocadas por parênteses e a igualdade (x,y)=(y,x) só poderá ser válida se os respectivos elementos forem iguais:
\((a,b)=(c,d))>(a=c,b=d)
Portanto, não podemos dizer que (a,b)={a,b}. Formalmente, a TC define o par ordenado (a,b) como sendo o conjunto {{a},{a,b}}, ∴~(a,b). Com a LPO temos:
∀x(x∈(a,b)↔∀y(y∈x↔y=a)∨
∀y(y∈x↔y=a∨y=b))))
Todos estes símbolos já foram construídos pela TNL o que reforça o nosso argumento.
Produto cartesiano A⨉B ≝ É o conjunto dos pares ordenados (a,b) tais que a∈A e b∈B:
\(A.a,B.b)>(A⨉B).”(a,b)”
Com a LPO temos:
(x∈(A⨉B))↔∃a∃b(a∈A∧b∈B∧x=(a,b))
Todos estes símbolos já foram construídos pela TNL, ∴ ~(A⨉B).
7.5 RELAÇÕES
Já definimos o conceito de relação no início deste livro, neste capítulo aprofundaremos um pouco mais esta questão.
Uma relação é definida como sendo qualquer subconjunto de um produto cartesiano: (A⨉B).R, ∴~(relação), o mesmo vale para um produto cartesiano n-ário. Se a e b estão relacionados, podemos escrever que (a,b)∈R ou aRb:
\aRb>(A.a,B.b)
Note que a definição de relação é bem genérica, pois não especifica como devemos saber que dois elementos estão relacionados, ela pode indicar qualquer relação inclusive grau de parentesco: JesusFMaria “Jesus filho de Maria”, a relação “F” aqui significa “ser filho”. Note que, em princípio, não podemos inverter a ordem da expressão acima “(A.a,B.b)>aRb”, pois estaríamos dizendo que todos os elementos de A se relacionam com elementos de B o que pode não ser verdadeiro. Também devemos destacar que se “aRb” é verdadeiro, então “bRa” pode não ser válido. No exemplo acima teríamos MariaFJesus “Maria filha de Jesus” o que é falso, pois Jesus não é pai de Maria, apesar de muitos afirmarem que ele é filho e pai ao mesmo tempo.
Uma relação de equivalência em um conjunto X é um subconjunto de X⨉X que obedece às seguintes propriedades:
∀x∈X, xRx
xRy→yRx
(xRy∧yRz)→xRz
\X.x>xRx
xRy>yRx
(xRy,yRz)>xRz
A igualdade é um tipo de relação de equivalência, pois satisfaz todas as propriedades acima. Podemos generalizar isto e dizer que toda relação de equivalência expressa uma igualdade entre a característica considerada dos elementos em questão, portanto podemos representar isto com a TNL por meio dessa característica indexada: (xRy↔xc.yc.xc). Desta forma satisfazemos a definição de relação de equivalência:
X.x>xRx<>xc.xc.xc;
xRy>yRx<>(xc.yc.xc,yc.xc.yc);
(xRy,yRz)>xRz>(xc.yc.xc ,yc.zc.yc)>
zc.yc.xc.yc.zc>xc.zc.xc.
Portanto, toda equivalência é uma igualdade de “valência” (característica). Um fato interessante é que cada relação de equivalência pode particionar um conjunto em partes disjuntas. Podemos escrever que P é uma partição de X da seguinte forma:
\⋃P.X,(P.(x,y),°(x.y.x),x.z,y.z)>(z°.z)
Todos os símbolos acima já foram construídos pela TNL, ∴~(relação de equivalência) e ~(partição).
7.5.1 FUNÇÕES
Uma função de A em B é um tipo de relação específico que costuma ser representada por f:A→B ou f⊂A⨉B, este conceito pode ser escrito formalmente das seguintes maneiras:
∀x∈A ∃!y∈B:(x,y)∈f. Em vez de escrevermos (x,y)∈f podemos simplesmente dizer que f(x)=y;
\(A.x)>(.f(x),B.f(x))
(B.f(x),B.b,b.f(x))>f(x).b>b=f(x), ou seja, o valor de f(x) é único;Na LPO tem-se que f é uma função de A em B se, e somente se: f⊂A⨉B∧∀x(x∈A→∃!y,(x,y)∈f). Temos que ~(função), pois todos os símbolos acima já foram construídos pela TNL.
Para terminarmos devemos citar alguns tipos específicos de funções e definições que decorrem de algumas particularidades que também podem ser construídas pela TNL:
Injetora: f(x)=f(y)>x=y;
Sobrejetora: B.y>(A.x,f(x)=y) ou seja: f(A)=B, onde B é denominado contradomínio de f e f(A) é a imagem de f. Temos que f(A)={y∈B:∃x∈A,f(x)=y};
Se uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dizermos que ela é bijetora. Toda função bijetora f possui uma função inversa f-1 que “desfaz” o trabalho feito por ela, ou seja: se f(x)=y, então f-1(y)=x. Quando existe uma bijeção entre dois conjuntos A e B, dizemos que A e B são equipotentes;
Um conjunto é dito ser enumerável se é equipotente a um subconjunto de N. Um conjunto é dito ser finito se é enumerável, mas não é equipotente a N;
Uma sequência é uma função cujo domínio é N ou um subconjunto de N, uma operação n-ária é uma função de An em A.
7.5.2 ORDEM
Uma ordem (≼), em um conjunto A, também é um tipo específico de relação binária que obedece às seguintes propriedades:
∀a∈A:a≼a;
a≼b e b≼a→a=b;
a≼b e b≼c→a≼c.
Pode acontecer de haver dois elementos de A que não possam ser comparados, neste caso temos uma ordem parcial:
\A.a>a≼a
(A.(ab),a≼b,b≼a)>a.b.a
(A.(abc),a≼b,b≼c)>a≼c
∴~≼
Quando se tem a propriedade adicional "∀a,b∈A→(a≼b ∨ b≼a ∨ a=b)", dizemos que A é totalmente ordenado: \A.(a,b)>[a≼b ∨ b≼a ∨ a=b], lembrando que "∨" e "=" já foram reduzidos na TNL.
Se ∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado. Em outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento:
\A.B>((.b,B.b),(B.x>b≼x)).
Confrontando estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼ pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o que reforça o argumento favorável à ideia de dependência conceitual:
∀a∈A:a.a
(a.b,b.a)>a=b
(a.b,b.c)>a.c
Podemos ter casos nos quais não é possível relacionar todos os elementos, por exemplo: b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; aqui temos que o b não se relaciona com c, portanto o conjunto {a,b,c,d,e} não é totalmente ordenado:
a
/\
b c
\/
d
|
e
Quanto aos números, a relação de ordem se resume a uma inclusão, dizer que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||. A palavra “ordem” exprime sua origem em relação aos números naturais, pois carrega consigo a ideia de sequência, este exemplo mostra que isto pode ser expresso pelo “ter”. Portanto, uma relação de ordem é apenas uma definição não primitiva que surgiu a partir do estudo dos conjuntos numéricos.
7.6 ZF – OS AXIOMAS DE ZERMELO FRAENKEL
A axiomática de Zermelo-Fraenkel é a teoria de conjuntos mais popular na Matemática (SANT’ANNA, 2003, p.76), alguns autores afirmam que discutir o sistema de axiomas faz parte da Filosofia, ora isto impede que o estudo da Matemática se aprofunde em suas raízes, limitando-o a um conjunto de consequências úteis ou não.
“Em particular, Gödel e Paul Cohen mostraram que a teoria dos conjuntos formal aceita de sua e de nossa época não podia decidir uma velha conjectura de Georg Cantor.” (BOOLOS et al., 2012, p. 304)
Esta frase, que se refere à hipótese do continuum, pode ser comparada ao caso geométrico do 5° postulado de Euclides cujas tentativas de demonstração (como teorema) não obtiveram sucesso (BARKER, 1976, p.48). Este postulado pode ser admitido como verdadeiro ou não dentro de um conjunto de axiomas para a geometria. Quando ele não é aceito, observa-se o desenvolvimento das geometrias não-euclidianas (restrita às retas e planos) nas quais temos propriedades diferentes como, por exemplo, o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo não é igual a 180°, isto permite tratar, por exemplo, dos espaços curvos. Penso que há indícios suficientes para crermos que a geometria euclidiana, enriquecida com o conceito de curvatura e liberta de algumas restrições, poderia substituir toda geometria “não euclidiana”. Em outras palavras: é óbvio que a geometria euclidiana difere daquelas geometrias alternativas, pois restringe-se, basicamente às retas. Cremos que a geometria deva ser única, pois o espaço é único:
“Não sendo uma busca da verdade, acerca do espaço, que significado tem a geometria?” (BARKER, 1976, p.12)
Kant dizia que há apenas uma geometria (a euclidiana), pois há apenas um espaço, portanto, tais geometrias alternativas poderiam ter uma origem semelhante daquela que observamos nas diferentes lógicas. Os axiomas das geometrias não-euclidianas têm-se demonstrado consistentes, logo, podemos compará-los a um conjunto de regras maleável que foi construído arbitrariamente com um pouco de observação da realidade, porém o que mais chama a atenção é que algumas afirmações feitas em uma geometria podem contradizer outras geometrias como, por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo ser 180° ou não. Seria esta uma forma de haver duas verdades incompatíveis? Ao que tudo indica não, pois os “triângulos” das geometrias alternativas podem ter lados curvos.
Ao tratar da geometria euclidiana, Hilbert admitiu 6 entes primitivos (ponto, reta, plano, incidência, entre e congruente – não há curvas). Mais tarde Oswald Veblen apresentou outra axiomatização, na qual havia apenas o “ponto”, “entre” e “congruente” e, posteriormente, E. V. Huntington simplificou ainda mais as coisas ao sugerir uma axiomatização com apenas dois entes primitivos: “esfera” e “inclui” (BARKER, 1976, p.38) que nos lembra muito a TNL. claro que a simplicidade, falta de redundâncias e não prolixidade são sempre preferíveis no que concerne à elegância matemática.
Diante de regras que são impostas, observa-se suas consequências assim como num jogo de xadrez que reflete a realidade de forma fantasiosa, ao modificarmos as regras ou o tabuleiro, surge um novo jogo, uma variante que pode ser bem diferente da original como, por exemplo, o xadrez hexagonal. O seguinte trecho descreve o formalismo:
“Assim considerado, o sistema formalizado, assemelha-se a um jogo em que as peças são os sinais. Para jogar, dispomos de certas combinações iniciais de sinais (os axiomas) e estamos autorizados a empregar certas transformações; jogamos com o fito de obter outras combinações de sinais (os teoremas).” (BARKER, 1976, p.124)
Já dissemos que o desenvolvimento matemático da lógica de primeira ordem (metamatemática) pode ser desenvolvido pela ZFC. Se tivermos ~ZFC, então ~metamatemática, porém, diante de algumas inconsistências presentes na ZFC, é de se esperar que os teoremas metamatemáticos apresentem falhas e limitações, mas isto não significa que eles não possam ter alguma utilidade em algum campo restrito como na computabilidade ou na filosofia.
Normalmente utilizamos a sigla ZFC quando nos referimos a este conjunto de axiomas capaz de formalizar a Teoria dos Conjuntos. A letra C se refere ao axioma da escolha (AE), ela vem da palavra “choice” em inglês, o AE será visto em um capítulo separado devido suas conexões com outros conceitos. Analisaremos este conjunto de sentenças que fundamenta a TC com o objetivo de provar que ~ZFC, desta forma teremos que ~TC. Isto já foi feito no livro sobre a TNL, aqui veremos este processo, mas daremos uma atenção maior para a forma como isto é escrito com uma LPO.
Vimos que, para a TNL, todo elemento de Ω é um conjunto, portanto um conjunto é qualquer coisa que existe, este conceito é simples, mas também é essencial para a Matemática:
“Toda Matemática pode ser construída a partir de dois conceitos indefinidos: conjunto e elemento.” (ROBBIN, 2006, p. 171)
7.6.1 AXIOMA DA EXTENSÃO
Dois conjuntos são iguais se eles possuem os mesmos elementos. - Temos aqui uma obviedade que pode ser resumida da seguinte forma como um resultado da TNL: x=y↔x.y.x, isto é discutido com maiores detalhes na seção 2.1.9. Numa LPO este axioma pode ser representado por:
∀x∀y(x=y↔(∀z(z∈x↔z∈y)))
Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, ∴~(axioma da extensão). O símbolo ⊂ também pode ser descrito pela LPO da seguinte forma:
x⊂y↔∀z(z∈x→z∈y), ∴~⊂
Um urelemento (ou átomo) u é um objeto (≠∅) que pode ser considerado elemento, porém jamais pode ser entendido como um conjunto (SANT’ANNA, 2007, p.59). De acordo com a TNL, isto implica em sua não-existência, pois u.x>x°.x, mas u.u, logo u°.u. Este tipo de objeto mostra que nem tudo é conjunto para a TC, o que pode afetar a ZFC (vide 3.6.7). Mas, segundo Ebbinghaus et al. (1994, p. 107), a experiência mostra que podemos substituir os urelementos por conjuntos adequados. Fraenkel atesta esta opinião, pois acreditava ser possível fundamentar a Matemática sem átomos, substituindo-os por conjuntos (COSTA, 2008, p.103).
7.6.2 AXIOMA DO VAZIO
Este axioma nos diz que existe um conjunto vazio. Aqui temos uma sutileza, pois vimos que o vazio significa ausência de elementos, sua definição equivale a dizer que ele não existe: (∅°.∅)↔∄∅. Portanto, este axioma representa uma falha conceitual da ZFC, pois não define o vazio de forma adequada, sua expressão utilizando uma LPO é:
∃x∀y¬(y∈x)
Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, ∴~(axioma do vazio). Ainda devemos mostrar que há uma contradição aqui, pois a expressão ∃x∀y¬(y∈x) diz que x existe quando, na verdade, não existe. O ∀ deve se referir a elementos existentes dentro do universo U em questão, portanto já temos que “.y”; x não possui nenhum elemento do universo:
\((x.x,U.y)>x°.y)
Podemos simplesmente imaginar que x não possui elementos em comum com U, porém, neste caso, poderíamos estender o universo incluindo o elemento x o que faria o axioma perder sua validade. Na verdade o conjunto universo ideal é o conjunto de todos os conjuntos Ω, assim teríamos ((x.x,Ω.y)>x°.y), mas x.x implica que Ω.x, portanto, tomando y=x, temos ((x.x,Ω.x)>x°.x) ou seja x.x e x°.x, absurdo.
O ∅ é único? Bem esta pergunta não faz muito sentido, pois o vazio não possui elementos, assim sendo, outro possível vazio ∅´ também não possui elementos para dizermos que são iguais mediante o axioma da extensão. Novamente, por absurdo:
∅°.∅´°.∅>(.x,.y,∅.x,∅´.y,∅°.y,∅´°.x) absurdo.
Na seção 3.2 vimos que ∅={}, esta seria a forma mais natural de se expressar o vazio na TC, pois ela atende a definição que o estabelece como um conjunto (invólucro) sem elementos, apesar que um invólucro é um elemento.
7.6.3 AXIOMA DO PAR
Este axioma nos diz que se A e B são conjuntos, então A⋃B (a união dos dois conjuntos) é um conjunto. Podemos resumir este fato da seguinte forma:
\((A⋃B).A,(A⋃B).B),((A⋃B).x,A°.x)>B.x,((A⋃B).x,B°.x)>A.x
Sua expressão utilizando uma LPO é:
∀x∀y∃z∀w((w∈z)↔((w=x)∨(w=y)))
Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, portanto ~(axioma do par). Outra possibilidade dentro da TNL seria (A.x,B.y)>((AB).x, (AB).y). Aqui também pode-se definir o que é um par não ordenado:
z={x,y}↔∀w((w∈z)↔((w=x)∨(w=z)))
Temos que ~z, pois todos os símbolos acima foram reduzidos pela TNL.
7.6.4 ESQUEMA DE AXIOMAS DA SEPARAÇÃO
Para toda fórmula P em que z não ocorre livre, a seguinte fórmula é um axioma:
∀y∃z∀x((x∈z)↔((x∈y)∧P))
Temos que ~(esquema de axiomas da separação), pois todos os símbolos e conceitos acima foram reduzidos pela TNL. Temos também que ~z={x∈y:P(x)}, repare que este esquema de axiomas foi utilizado para “demonstrar” que não existe conjunto de todos os conjuntos (SANT’ANNA, 2007, p.60), algo que refutamos anteriormente. Ele também costuma ser utilizado para se definir a intersecção:
x⋂y={z∈x:z∈y}, ∴~(x⋂y)
Repare que, para a TC, P pode ser qualquer fórmula que não produza uma contradição, por isto a restrição inicial que exige z não ocorrendo livre.
7.6.5 AXIOMA DA UNIÃO
Para todo conjunto A existe um conjunto B de todos os conjuntos que pertencem a algum elemento de A. Esta sentença nos leva a concluir que B.A, vejamos: A.x.z>B.z>B.x>B.A (basta tomarmos z=x e depois x=A). A existência do conjunto de todas as coisas também implica neste fato, basta tomar Ω=B. Sua expressão utilizando uma LPO é:
∀x∃y∀z((z∈y)↔∃w((z∈w)∧(w∈x)))
Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, ∴~(axioma da união).
Pode-se definir ⋃x como sendo o conjunto formado por todos os elementos dos elementos de x, isto soa estranho, pois nos leva a concluir que ⋃x=x, mas devemos lembrar que estamos andando pelos caminhos da LPO que possui as peculiaridades já discutidas:
(y=⋃x)↔∀z((z∈y)↔∃w((y∈w)∧(w∈x)))
∴~(⋃x).
7.6.6 AXIOMA DA POTÊNCIA (OU DAS PARTES)
Para todo conjunto A existe um conjunto B que tem como elementos os subconjuntos de A. Aqui também poderíamos tomar B= Ω. Novamente temos aqui algo que parece ser incoerente, pois que decorre da “diferenciação” feita entre elemento e conjunto, isto nos levará à conclusão de que B.A. Sua expressão utilizando uma LPO é:
∀x∃y∀z((z∈y)↔(z⊂x))
Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, ∴~(axioma da potência), este axioma define o conjunto das partes de x “P(x)” visto anteriormente e que depende das chaves. Também podemos expressar este axioma da seguinte forma:
a∈A↔{a}⊂A↔{a}∈B
\A.a>B.({a})
7.6.7 AXIOMA DA REGULARIDADE
Todo conjunto não-vazio x contém um elemento y tal que x e y são disjuntos (não possuem elementos em comum). Este axioma produz a seguinte contradição:
°(x.Ø.x)>(.y,x.y,y.z>x°.z, x.w>y°.w)
(x.y.z>x.z) absurdo.
Sua representação pela LPO é:
∀x(x≠∅→∃y((y∈x)∧(x⋂y=∅))
Todos os símbolos desta expressão já foram construídos por meio da TNL, ∴~(axioma da regularidade). Podemos exemplificar isto tomando x={a} e y=a, pois y∈x, mas y⋂x=∅. Isto decorre da diferença que a TC faz entre elemento e conjunto, este fato pode ser comprovado a partir definição de intersecção entre dois conjuntos:
x⋂y={z∈x:z∈y}→{z∈x:z∈a}=∅
(Pois “a” não teria elementos “urelemento”).
Repare que y∈x, se tivermos y∈y, então y∈x⋂y=∅, absurdo. Desta forma, fica comprovado que a ZFC assume a existência de urelementos, ou seja y∉y. Costa (2008, p.103), nos diz que o postulado da regularidade, de certo modo, afirma que todos os conjuntos derivam-se a partir do conjunto vazio, como se fosse possível o nada gerar o todo consigo mesmo.
De acordo com Ebbinghaus et al. (1994, p. 111), pelo 2° teorema da incompletude de Gödel, uma prova de consistência para ZFC não é possível, além disso, o fato de que a ZFC tem sido investigada e usada por décadas sem nenhuma inconsistência ter sido descoberta, atestaria a consistência de ZFC. Esta é a crença geral, mas, de acordo com o aqui exposto, creio que tal “crença” deva ser revista, pois não constitui um argumento matemático de fato.
7.6.8 AXIOMA DA INFINIDADE
Este axioma afirma que existe um conjunto indutivo. Definição: dado um conjunto x, definimos x+=x⋃{x}, isto é: ∀y(y∈x+↔(y∈x∨y=x)), ∴~x+, note que as chaves fazem o papel de “cópias” de um elemento.
Um conjunto x é indutivo se, e somente se, ∅∈x e, para todo y, se y∈x então y+∈x, ∴~(indutivo). Na LPO tal axioma seria:
∃x(∅∈x∧∀y(y∈x→y+∈x)
Todos os símbolos desta expressão e definições já foram construídos por meio da TNL, ∴~(axioma da infinidade).
A expressão x.y>(x.z,°(y.z.y)) é interessante, pois possui um caráter de infinidade, ela afirma que: “se x tem um y qualquer, então x tem um z diferente de y”, como x tem y e z, então x terá outro elemento diferente da união destes dois, tal argumento pode ser estendido de forma análoga ao que foi discutido acima.
7.6.9 ESQUEMA DE AXIOMAS DA SUBSTITUIÇÃO
Este axioma pode provar o axioma da separação que foi mantido para dar maior abrangência ao estudo. Seja P(x,y) uma fórmula, e suponha que ∀x, y e z temos que P(x,y) e P(x,z) implicam y=z. Então, ∀ conjunto X, existe o conjunto {y:∃x(x∈X∧P(x,y))}. De modo mais rigoroso, dada uma fórmula P tal que w não ocorre livre em P, a seguinte fórmula é um axioma:
(∀x∃!y[P]yx)→∀z∃w∀y(y∈w↔∃x(x∈z∧[P]yx))
Todos os símbolos desta expressão e definições já foram construídos por meio da TNL, ∴~(esquema de axiomas da substituição).
7.7 O AXIOMA DA ESCOLHA
Neste livro não faremos uma abordagem do Lema de Zorn, pois ele é equivalente ao axioma da escolha, intuitivamente, este axioma nos diz que se você tiver uma coleção de cestas, cada qual contendo pelo menos um objeto, então é possível afirmar a existência de um conjunto, o conjunto de escolha, que contém exatamente um objeto de cada cesta. Isto é garantido mesmo que haja um número infinito de cestas e não haja nenhuma regra que estabeleça qual objeto de cada cesta deva ser escolhido para formar parte desse conjunto.
\(A.A,A.x)>(x.x´,E.x´)
O x´ é uma escolha dentro de A, esta escolha é algo que se relaciona com os conceitos de vontade e poder já delimitados pela TNL, pois ~LN. Utilizando uma LLPO, temos que: ∀ conjunto x de conjuntos não vazios, ∃ uma função f:x→⋃x tal que ∀y∈x:f(y)∈y. Ou seja:
∀x((¬(∅∈x))→∃f∃w((f∈wx)
∧∀y∀z((y,z)∈f→(z∈y))))
Aqui wx é o conjunto das funções de x em w. Uma função f de domínio X tal que f(x)∈x ∀x∈X é denominada função de escolha do conjunto (família de conjuntos) X.
Todos os símbolos destas expressões e definições já foram construídos por meio da TNL, ∴~(axioma da escolha).
Suponha que C seja uma coleção (conjunto) de conjuntos não vazios. Então, C.a>(.ã,a.ã,ãFa), pois “a” não é vazio. Neste caso F significa justamente a relação de pertinência que é genérica por natureza assim como o AE, este fato nos permite estabelecer o AE como uma função genérica não especificada que se encaixe na expressão acima (fixando F como uma função). Este axioma nos faz escolher “um” elemento de cada conjunto, assim como o conceito de função que impõe que a imagem de um elemento seja sempre única, desta forma, a imagem de cada conjunto do domínio será única. O AE sofreu muitas críticas por não oferecer um critério para a escolha, hoje sabemos que ele não depende dos demais axiomas de ZF(o mesmo pode ser dito a respeito do axioma da regularidade) ou seja: o AE não pode ser provado a partir deles (SANT’ANNA, 2007, p.3). A decisão de inseri-lo ou não no conjunto dos axiomas é algo que o matemático deve fazer tendo em vista suas intenções e necessidades. Cabe ressaltar que o conceito de variável também se relaciona aqui, pois seu valor depende de uma escolha.
7.8 A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS COM A TC
John von Neumann estabelece que um número natural é composto pelo conjunto de números naturais menores do que ele, portanto temos:
0=∅
1={0}={∅}
2={0,1}={∅,{∅}}
3={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
…
É notável como as chaves serviram de artifício para esta construção, elas fazem o papel da unidade “|” que vimos nos capítulos iniciais, pois, ao fazermos |+|, consideramos que eles são diferentes, senão teríamos |+|=| (ele mais ele mesmo é igual a ele). O sucessor de um número natural n pode ser expresso por n+1 ou por n⋃{n}, então:
1+1=1⋃{1}={∅}⋃{{∅}}={∅,{∅}}=2.
Um conjunto indutivo contém todos os naturais. Resumindo tudo isto citando as dependências relativas aos naturais, temos:
N(~conjunto,~indutivo,~⊂)
∴~N
O princípio da indução finita pode ser provado como um teorema, a construção dos inteiros, racionais e reais pode ser formalizada com a TC e a LPO. Dentro deste tema ainda há duas definições importantes a se fazer:
Cardinais ≝ Dois conjuntos possuem o mesmo número cardinal se, e somente se, eles são equipotentes (existe uma bijeção entre eles):
n°cardinal(~conjunto,~equipotente,)
∴~n°cardinal
Ordinais ≝ Dado um conjunto bem ordenado A, ∀x∈A, dizemos que {y∈A:y<x} é um ordinal de A, logo:
n° ordinal(~conjunto,
~bem ordenado,~∀,~∈,~menor)
∴n° ordinal
7.9 A CONSTRUÇÃO DOS AXIOMAS DE PEANO USANDO A TNL
Quando estudamos os números estamos tentando entender uma das ideias mais primordiais de nossa espécie, pois os primeiros símbolos escritos pelo homem não foram as letras, mas sim os números (BARKER, 1976). O fato da TNL nos permitir construir os números naturais (axiomas de Peano) e operações aritméticas está em concordância com Kant que não aceitava nenhum dos axiomas da aritmética (SILVA, 2007, p.108). A LPO utiliza números em algumas de suas definições, isto contrasta com o fato dela alegar poder construí-los (junto com a TC). Mostraremos como construir os números de forma independente utilizando apenas a TNL.
| = Unidade identificada por um traço;
||.2.|| = ||.2 e 2.|| (|| = | e |);
|||.3.||| (||| tem 3 e 3 tem |||);
(...)
(|.x)>x.|, (Por definição a unidade é indivisível para os números naturais).
A soma, por exemplo, pode se derivar a partir da TNL da seguinte forma: a+b = °(0.b.0)>(a.|,b°.|) (Se “b” não é zero, então faça “a” ter | e “b” não ter |).
A construção dos números naturais se dá pelos axiomas de Peano que demonstraremos a seguir:
1) 0 é um número natural: aqui temos uma afirmação resultante da construção dos naturais e não algo proveniente de uma demonstração, tal fato poderia ser indicado por (0°.|,N.0) (o zero não tem a unidade e os naturais têm zero). Logo o zero é um símbolo que indica a ausência de unidade, sua presença em determinada casa decimal representa que o número não possui valor nesta casa, o número 2037, por exemplo, não possui valor na casa das centenas.▄
2) Todo número natural n possui um sucessor s(n): novamente temos um resultado proveniente da construção dos naturais que pode ser escrito pela fórmula .|>.|| (ter | faz ter outro | ao lado dele). Esta fórmula recursiva gera todos os naturais:
.|>.||>(.|)|>(.||)|>.|||=1>2>3…
\N.n>N.(n|) ▄
3) 0 não é sucessor de nenhum número: este fato pode ser demonstrado se considerarmos os aspectos da construção dos números naturais. Suponha, por absurdo, que exista um n natural tal que s(n)=0, então n|=0 o que implica que (n|).0.(n|), mas, por definição, zero não possui a unidade, absurdo.▄
4) Se s(n)=s(m), então n=m: suponha, por absurdo, que n é diferente de m, por simplicidade tomaremos um x pertencente à m que não seja elemento de n, logo m.x e n°.x. Portanto m|.n|.m|.x>n|.x>(n.x ou |.x), mas n°.x o que implica que |.x, já que | é indivisível, isto indica que x não existe ou que x=|, neste último caso teríamos n°.m>n|°.m|, absurdo, pois n|.m|.▄
5) Seja S um subconjunto dos números naturais que possui as seguintes propriedades:
a) 0 pertence à S;
b) Se n pertence à S, então s(n) pertence à S.
Então, S é o conjunto de todos os números naturais.
Temos um axioma recursivo, a demonstração é semelhante ao axioma 2. Das propriedades "a" e "b", temos que S.s(0)>S.s(s(0))>S.s(s(s(0)))… Isto equivale a escrevermos S.0>S.|>S.||>S.|||... Logo, S pode ter um n tão grande quanto se queira. Para demonstrarmos a infinitude de N, devemos considerar a expressão N.n>N.(n|). Suponha, por absurdo, que m seja um máximo de N, então N.m>N.(m|), como m é máximo, temos que m.(m|).m>(m=m|)>0=| absurdo.▄ Este último fato é suficiente para se definir o conceito de infinito.
Portanto, temos que ~(números naturais), pois N pode ser construído a partir das fórmulas:
N.|: N possui a unidade;
(0°.|,N.n>n.(n0).n,N.0): N possui o elemento neutro zero, 0+n=n para todo n natural;
N.n>N.(n|): N possui o sucessor de qualquer um de seus elementos;
|.x>x.|: a unidade é indivisível;
.|>.||: existir a unidade faz existir o sucessor.
A LPO alega poder construir os naturais e toda a Matemática por meio da TC, portanto, ao provarmos que ~LPO, novamente teremos mostrado que ~(números naturais) indiretamente.
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