3. #MATEMÁTICA
Na prática, os matemáticos se interessam mais pelas funções do que por questões que envolvam os fundamentos da Matemática (tal fato também seria observado na Física), admite-se que nem tudo pode ser formalizado (SANT’ANNA, 2007, p.XXI, 102), portanto, devemos considerar que o “Informal” tem grande participação nos fundamentos da matemática.
Dentre os matemáticos há quem acredite que os conceitos matemáticos não são abstratos, todos eles seriam representações de coisas concretas (ALMEIDA, 2017, p.34-35 - apud MANNO, 1985, p.232), isto nega a ideia de que a matemática possua uma existência independente da realidade. Há outros que pensam que os conceitos matemáticos abstratos existem, porém são frutos do pensamento (por exemplo, o construtivismo). E, por fim, temos os realistas (ou platônicos) que vêm a existência dos conceitos matemáticos como independentes do pensamento: podemos conhecê-los ou não e isto não influenciará em sua existência. Portanto, o matemático não teria o poder de inventar, mas apenas de descobrir conhecimentos (a priori) independentes das percepções e sentidos.
Segundo Silva (2007, p. 42-44, 56), Platão admitia que os objetos e verdades matemáticas têm existência que não depende de nós, Aristóteles pensava que tais objetos existem apenas como aspectos daquilo que é real, ou seja, os entes matemáticos dependem da existência de objetos reais. Aristóteles não duvida da existência dos objetos matemáticos, mas sim de sua desassociação com a realidade, diante deste raciocínio, seríamos levados a admitir que a matemática não difere muito das ciências empíricas. Barker (1976, p.95) critica a formulação de número como simples ideias da mente, ao que tudo indica, a tentativa de fuga da realidade (abstração) apenas esconde uma compreensão parcial dos conceitos.
A seguir, veremos, brevemente, as três principais escolas de pensamento da matemática.
O logicismo buscou gerar a Matemática a partir da lógica, mas não obteve sucesso. Vejamos o que relatou Bertrand Russell:
"(...) descobri que muitas demonstrações matemáticas, que os meus professores esperavam que eu aceitasse, estavam cheias de falácias (...) cheguei à conclusão de que não havia mais nada que eu pudesse fazer a fim de tornar o conhecimento matemático indubitável." (ALMEIDA, 2017, p. 62, apud RUSSELL)
A escola intuicionista também tem problemas, pois tornaria inviável grande parte da matemática. Para Barker (1976, p.104), esta corrente de pensamento apresenta deficiências.
De acordo com Almeida (2017, p.66-67, 94-95), o formalismo sustentou-se sobre o método axiomático e obteve muito sucesso. Costa (1992, p.49, 51) afirma que David Hilbert foi o criador e figura central do formalismo e a escola francesa, denominada com o pseudônimo de Nicholas Bourbaki, assume uma postura próxima desta concepção formalista e tem muita influência dentre os matemáticos brasileiros, o formalismo e aplica-se praticamente em toda matemática. Escolhem-se conceitos primitivos fundamentais que não podem ser definidos, a respeito destes conceitos fazem-se algumas proposições denominadas axiomas, as quais, grosso modo, são aceitas sem demonstração. As consequências lógicas desse conjunto de axiomas gera a teoria em questão: os teoremas passam a ter conteúdo significativo apenas se possuírem uma interpretação. O formalismo considera apenas a "forma" da estrutura das sentenças lógicas, ele desconsidera qualquer conteúdo subjacente dos símbolos, focando apenas nas estruturas formais. David Hilbert foi um grande defensor desta "escola" criando a metamatemática (teoria da demonstração) cujo propósito era mostrar a consistência da matemática e sua completude, no entanto, como dito anteriormente, as teses do formalismo foram questionadas por Kurt Gödel (1931). Poincaré também foi contrário a esta corrente de pensamento, ele afirmava que ela não explicava de onde surgiram os fundamentos nem sua essência, em particular, via a matemática como dependente da linguagem (SILVA, 2007, p.147), portanto, para ele (e Mill), os axiomas não seriam senão convenções não contraditórias.
3.1 O QUE É MATEMÁTICA? QUAIS SÃO SEUS FUNDAMENTOS?
A matemática é vista como a ciência mais rigorosa e precisa, pensamos que ela está no auge da exatidão e organização. De fato, os matemáticos costumam definir tudo, no entanto, infelizmente, não conseguem definir a própria matemática de forma precisa:
"Os matemáticos, por exemplo, quando não sabem algo, costumam encobri-lo sob o guarda chuva de 'conceito primitivo', ou 'axioma' aceito sem demonstração. Não só eles, mas os físicos empregam o mesmo ardil para conceitos como 'tempo, massa, força, gravidade, etc’." (ALMEIDA, 2017, p.34-35)
"(...) quando os filósofos nos atacam com seus paradoxos, corremos e nos escondemos atrás do formalismo e dizemos: 'A Matemática é apenas uma combinação de símbolos sem sentido' (...) o sentimento que cada matemático tem, de que está trabalhando em algo real (...) é provavelmente uma ilusão."(ALMEIDA, 2017, p.86, apud J.A. Diedonné, in D&H, op. cit., p. 362)
Admitiremos a postura acima e trataremos a matemática sob esta perspectiva formal que é predominante, mas questionaremos se os axiomas e “conceitos primitivos” apresentam, de fato, o caráter de serem os entes mais simples e fundamentais da matemática nos próximos capítulos. Então, neste momento, o que nos interessa é sabermos como se define a matemática sob a perspectiva formal e se há consenso ou clareza a respeito deste tema.
"A noção de conjunto, uma coleção de objetos distintos, era tão simples e fundamental que poderia ser o tijolo com o qual poderia ser construída toda a Matemática." (ALMEIDA, 2017, p.34-35, apud D&H, 1985, p.372)
"(...) Russel chegou a definir a Matemática pura como a classe de todas as proposições da forma (p implica q), onde p e q são proposições contendo uma ou mais variáveis, as mesmas nas duas proposições e nem p nem q contêm constantes exceto constantes lógicas." (ALMEIDA, 2017, p.34-35, apud RUSSELL)
Estas considerações nos dão um esboço de que os fundamentos da matemática estão envolvidos ou dependem da teoria dos conjuntos e da lógica, isto contrasta com o fato de ambas teorias não estarem tão próximas da realidade prática da matemática ou significativamente presentes nos currículos do ensino básico ao superior. Tomemos um exemplo mais próximo da prática matemática: Cantor, Dedekind e Weierstrass provaram que os números reais (o contínuo) podem ser construídos por meio dos naturais (o discreto), portanto, o conjunto dos números reais deve ser excluído daquilo que é fundamental, pois é mero fruto dos naturais. O mais interessante é que Frege mostrou que os números naturais podem ser originados a partir do nada, por meio do conjunto vazio e da teoria dos conjuntos (ALMEIDA, 2017, p.56-57). Portanto, em última instância, o “matematicamente fundamental” para a construção dos números é a teoria dos conjuntos, no entanto, mais tarde veremos que a teoria dos conjuntos apresenta muitos problemas e admite diversos elementos não fundamentais em sua constituição.
É
"amplamente aceito" que a teoria dos conjuntos, com a
axiomatização de Zermelo-Fraenkel, fundamenta grande parte da
matemática usual. Juntando-se a ela o axioma da escolha, é possível
alicerçar toda a matemática usual, mas há outros sistemas
axiomáticos que também poderiam realizar tal tarefa. (ALMEIDA,
2017, p.96-97, 100).
De
acordo com Ebbinghaus et al. (1994) e
Costa (2008, p.33, 103-104),
é um fato reconhecido que a Lógica
de Primeira Ordem(LPO), junto com a Teoria dos Conjuntos(TC),
podem gerar toda a Matemática usual,
além
disso,
que não seria
necessário
percorrer todas as axiomatizações alternativas a ZF já que todas
teriam
procedimentos são análogos.
É
claro
que a linguagem
natural (LN)
pode gerar a LPO e a TC, pois as discussões iniciais destas teorias
baseiam-se
na LN que
é
muito mais expressiva, a Matemática não tem o mesmo poder para
descrever a realidade
(GAMUT,
1991, p. 75).
Já
que, formalmente falando, a matemática surge da (LPO+TC) e, ambas,
surgem da LN, então a
Matemática também não passa de um produto ou
recorte da
linguagem natural
restrita
a determinados assuntos.
3.2 Os ramos da matemática
A American Mathematical Society disponibiliza o Mathematics Subject Classification em seu site, trata-se de uma organização dos assuntos da matemática:
MSC2020-Mathematics Subject Classification System Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH
00 General and overarching topics; collections
01 History and biography
03 Mathematical logic and foundations
05 Combinatorics
06 Order, lattices, ordered algebraic structures
08 General algebraic systems
11 Number theory
12 Field theory and polynomials
13 Commutative algebra
14 Algebraic geometry
15 Linear and multilinear algebra; matrix theory
16 Associative rings and algebras
17 Nonassociative rings and algebras
18 Category theory; homological algebra
19 K-theory
20 Group theory and generalizations
22 Topological groups, Lie groups
26 Real functions
28 Measure and integration
30 Functions of a complex variable
31 Potential theory
32 Several complex variables and analytic spaces
33 Special functions
34 Ordinary differential equations
35 Partial differential equations
37 Dynamical systems and ergodic theory
39 Difference and functional equations
40 Sequences, series, summability
41 Approximations and expansions
42 Harmonic analysis on Euclidean spaces
43 Abstract harmonic analysis
44 Integral transforms, operational calculus
45 Integral equations
46 Functional analysis
47 Operator theory
49 Calculus of variations and optimal control; optimization
51 Geometry
52 Convex and discrete geometry
53 Differential geometry
54 General topology
55 Algebraic topology
57 Manifolds and cell complexes
58 Global analysis, analysis on manifolds
60 Probability theory and stochastic processes
62 Statistics
65 Numerical analysis
68 Computer science
70 Mechanics of particles and systems
74 Mechanics of deformable solids
76 Fluid mechanics
78 Optics, electromagnetic theory
80 Classical thermodynamics, heat transfer
81 Quantum theory
82 Statistical mechanics, structure of matter
83 Relativity and gravitational theory
85 Astronomy and astrophysics
86 Geophysics
90 Operations research, mathematical programming
91 Game theory, economics, social and behavioral sciences
92 Biology and other natural sciences
93 Systems theory; control
94 Information and communication, circuits
97 Mathematics education
Cada uma destas áreas possui um grande conjunto de subáreas, a que mais nos interessa é lógica matemática e fundamentos, que está organizada conforme segue:
03-XX Mathematical logic and foundations
03-00 General reference works (handbooks, dictionaries, bibliographies, etc.) pertaining to mathematical logic and foundations
03-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to mathematical logic and foundations
03-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to mathematical logic and foundations
03-03 History of mathematical logic and foundations [Consider also classification numbers pertaining to Section 01]
03-04 Software, source code, etc. for problems pertaining to mathematical logic and foundations
03-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to mathematical logic and foundations
03-08 Computational methods for problems pertaining to mathematical logic and foundations
03-11 Research data for problems pertaining to mathematical logic and foundations
03Axx Philosophical aspects of logic and foundations
03A05 Philosophical and critical aspects of logic and foundations {For philosophy of mathematics, see also 00A30}
03A10 Logic in the philosophy of science
03A99 None of the above, but in this section 5
03Bxx General logic
03B05 Classical propositional logic
03B10 Classical first-order logic
03B16 Higher-order logic
03B20 Subsystems of classical logic (including intuitionistic logic)
03B22 Abstract deductive systems
03B25 Decidability of theories and sets of sentences [See also 11U05, 12L05, 20F10]
03B30 Foundations of classical theories (including reverse mathematics) [See also 03F35] 03B35 Mechanization of proofs and logical operations [See also 68V15]
03B38 Type theory
03B40 Combinatory logic and lambda calculus [See also 68N18]
03B42 Logics of knowledge and belief (including belief change)
03B44 Temporal logic
03B45 Modal logic (including the logic of norms) {For knowledge and belief, see 03B42; for temporal logic, see 03B44; for provability logic, see also 03F45}
03B47 Substructural logics (including relevance, entailment, linear logic, Lambek calculus, BCK and BCI logics) {For proof-theoretic aspects, see 03F52}
03B48 Probability and inductive logic [See also 60A05]
03B50 Many-valued logic
03B52 Fuzzy logic; logic of vagueness [See also 68T27, 68T37, 94D05]
03B53 Paraconsistent logics
03B55 Intermediate logics
03B60 Other nonclassical logic
03B62 Combined logics
03B65 Logic of natural languages [See also 68T50, 91F20]
03B70 Logic in computer science [See also 68-XX]
03B80 Other applications of logic
03B99 None of the above, but in this section
03Cxx Model theory
03C05 Equational classes, universal algebra in model theory [See also 08Axx, 08Bxx, 18C05]
03C07 Basic properties of first-order languages and structures
03C10 Quantifier elimination, model completeness and related topics
03C13 Model theory of finite structures [See also 68Q15, 68Q19]
03C15 Model theory of denumerable and separable structures
03C20 Ultraproducts and related constructions
03C25 Model-theoretic forcing
03C30 Other model constructions
03C35 Categoricity and completeness of theories
03C40 Interpolation, preservation, definability
03C45 Classification theory, stability and related concepts in model theory [See also 03C48]
03C48 Abstract elementary classes and related topics [See also 03C45]
03C50 Models with special properties (saturated, rigid, etc.)
03C52 Properties of classes of models
03C55 Set-theoretic model theory
03C57 Computable structure theory, computable model theory [See also 03D45]
03C60 Model-theoretic algebra [See also 08C10, 12Lxx, 13L05]
03C62 Models of arithmetic and set theory [See also 03Hxx]
03C64 Model theory of ordered structures; o-minimality
03C65 Models of other mathematical theories
03C66 Continuous model theory, model theory of metric structures
03C68 Other classical first-order model theory
03C70 Logic on admissible sets
03C75 Other infinitary logic
03C80 Logic with extra quantifiers and operators [See also 03B42, 03B44, 03B45, 03B48] 6
03C85 Second- and higher-order model theory
03C90 Nonclassical models (Boolean-valued, sheaf, etc.)
03C95 Abstract model theory
03C98 Applications of model theory [See also 03C60]
03C99 None of the above, but in this section
03Dxx Computability and recursion theory
03D03 Thue and Post systems, etc.
03D05 Automata and formal grammars in connection with logical questions [See also 68Q45, 68Q70, 68R15]
03D10 Turing machines and related notions [See also 68Q04]
03D15 Complexity of computation (including implicit computational complexity) [See also 68Q15, 68Q17]
03D20 Recursive functions and relations, subrecursive hierarchies
03D25 Recursively (computably) enumerable sets and degrees
03D28 Other Turing degree structures
03D30 Other degrees and reducibilities in computability and recursion theory
03D32 Algorithmic randomness and dimension [See also 68Q30]
03D35 Undecidability and degrees of sets of sentences
03D40 Word problems, etc. in computability and recursion theory [See also 06B25, 08A50, 20F10, 68R15]
03D45 Theory of numerations, effectively presented structures [See also 03C57] {For intuitionistic and similar approaches, see 03F55}
03D50 Recursive equivalence types of sets and structures, isols
03D55 Hierarchies of computability and definability
03D60 Computability and recursion theory on ordinals, admissible sets, etc.
03D65 Higher-type and set recursion theory
03D70 Inductive definability
03D75 Abstract and axiomatic computability and recursion theory
03D78 Computation over the reals, computable analysis {For constructive aspects, see 03F60}
03D80 Applications of computability and recursion theory
03D99 None of the above, but in this section
03Exx Set theory
03E02 Partition relations
03E04 Ordered sets and their cofinalities; pcf theory
03E05 Other combinatorial set theory
03E10 Ordinal and cardinal numbers
03E15 Descriptive set theory [See also 28A05, 54H05]
03E17 Cardinal characteristics of the continuum
03E20 Other classical set theory (including functions, relations, and set algebra)
03E25 Axiom of choice and related propositions
03E30 Axiomatics of classical set theory and its fragments
03E35 Consistency and independence results
03E40 Other aspects of forcing and Boolean-valued models
03E45 Inner models, including constructibility, ordinal definability, and core models
03E47 Other notions of set-theoretic definability
03E50 Continuum hypothesis and Martin’s axiom [See also 03E57]
03E55 Large cardinals
03E57 Generic absoluteness and forcing axioms [See also 03E50]
03E60 Determinacy principles
03E65 Other set-theoretic hypotheses and axioms
03E70 Nonclassical and second-order set theories
03E72 Theory of fuzzy sets, etc.
03E75 Applications of set theory
03E99 None of the above, but in this section 7
03Fxx Proof theory and constructive mathematics
03F03 Proof theory, general (including proof-theoretic semantics)
03F05 Cut-elimination and normal-form theorems
03F07 Structure of proofs
03F10 Functionals in proof theory
03F15 Recursive ordinals and ordinal notations
03F20 Complexity of proofs
03F25 Relative consistency and interpretations
03F30 First-order arithmetic and fragments
03F35 Second- and higher-order arithmetic and fragments [See also 03B30]
03F40 Gödel numberings and issues of incompleteness
03F45 Provability logics and related algebras (e.g., diagonalizable algebras) [See also 03B45, 03G25, 06E25]
03F50 Metamathematics of constructive systems
03F52 Proof-theoretic aspects of linear logic and other substructural logics [See also 03B47]
03F55 Intuitionistic mathematics
03F60 Constructive and recursive analysis [See also 03B30, 03D45, 03D78, 26E40, 46S30, 47S30]
03F65 Other constructive mathematics [See also 03D45]
03F99 None of the above, but in this section
03Gxx Algebraic logic
03G05 Logical aspects of Boolean algebras [See also 06Exx]
03G10 Logical aspects of lattices and related structures [See also 06Bxx]
03G12 Quantum logic [See also 06C15, 81P10]
03G15 Cylindric and polyadic algebras; relation algebras
03G20 Logical aspects of Lukasiewicz and Post algebras [See also 06D25, 06D30]
03G25 Other algebras related to logic [See also 03F45, 06D20, 06E25, 06F35]
03G27 Abstract algebraic logic
03G30 Categorical logic, topoi [See also 18B25, 18C05, 18C10]
03G99 None of the above, but in this section
03Hxx Nonstandard models [See also 03C62]
03H05 Nonstandard models in mathematics [See also 26E35, 28E05, 30G06, 46S20, 47S20, 54J05] 03H10 Other applications of nonstandard models (economics, physics, etc.)
03H15 Nonstandard models of arithmetic [See also 11U10, 12L15, 13L05]
03H99 None of the above, but in this section
(www.ams.org – 14/10/21 – 14:00)
É claro que não concordamos com esta classificação, pois, conforme vimos, boa parte da lógica está mal embasada e surge de uma má compreensão da linguagem natural. Fizemos esta exposição apenas para fins de ilustração.
O site “math-atlas” utiliza um gráfico para nos dar uma dimensão do número de pesquisas em cada uma das áreas da matemática:
https://math-atlas.org/index/tour_div.html – 14/10/21 16:35 - figura
O
bs:
03 = Lógica matemática
04 = Teoria dos conjuntos
08 = Sistemas algébricos gerais
18 = Teoria das categorias
3.3 Um ensino básico coerente com os fundamentos da matemática
O currículo da cidade de São Paulo (2019, p.65, 74), destaca algumas das ideias fundamentais da Matemática que são citadas na BNCC (p.266-268): proporcionalidade, equivalência ou igualdade, ordem, aproximação, variação, interdependência, representação. Estes fundamentos ocorrem nas cinco unidades temáticas: números, álgebra, geometria, grandezas e medidas, probabilidade e estatística.
Diante do objetivo principal do Ensino Fundamental, que é priorizar o desenvolvimento do letramento matemático, devemos destacar estes fundamentos em detrimento de conteúdos restritos e não contextualizados que acabam não sendo significativos para o aluno. Façamos uma breve análise sobre esta organização vigente:
A proporcionalidade pode ser resumida como uma relação entre variáveis na qual se mantém uma regularidade, se A e B são duas grandezas variáveis, então podemos ter:
A diretamente proporcional a B -> A/B = constante;
A inversamente proporcional a B -> A.B = constante;
Portanto, a proporcionalidade depende dos conceitos de divisão, multiplicação, igualdade e constante. Utilizando nossa notação temos: proporcionalidade(/,.,=, variável, constante);
Uma variável pode ser entendida como uma “não constante”, portanto variável(não, constante). Logo, podemos simplificar a expressão do caso anterior para proporcionalidade(/,.,=, não, constante);
A interdependência deve se dar entre duas ou mais variáveis, por exemplo: se A e B são interdependentes, então uma variação de A causará uma variação de B e vice-versa. O caso da proporcionalidade é um exemplo disso. Logo: (A varia ↔ B varia), em outras palavras: interdependência(variável,↔);
O conceito de representação indica que algo pode ser expresso por um símbolo, podemos representar qualquer coisa, seja ela uma ideia, um objeto, um local etc. Qualquer coisa C pode ser expressa por meio de um símbolo S, para isso basta assumirmos que S = ‘C’;
Prova: Suponha, por absurdo, que exista um x não expressável. Como acabamos de expressar o inexpressável com x, tem-se um absurdo. ▄
Portanto, temos representação(escrita,=);
Duas coisas são equivalentes se possuem o mesmo valor ou se uma implica a outra, ou seja: A=B ou A↔B. Portanto, equivalência(↔, =).
A ideia de ordem pode ser derivada a partir dos números que, por meio de indexação, podem formar uma sequência (números ordinais). Para se decidir se um número A é maior do que um número B, basta fazer uma subtração, se o resultado for positivo, então teremos A maior do que B e vice versa: (A maior do que B)↔(A-B maior do que zero). Portanto, ordem(número,-,↔,maior);
O conceito de aproximação relaciona-se com cálculos arredondados e depende de um parâmetro que varia de pessoa para pessoa. Por exemplo, para calcular 2,11 x 5,78, alguém poderia fazer 2 x 6, mas outra pessoa poderia fazer 2,1 x 5,8. Os números A e B são próximos ↔ (A-B ou B-A) menor do que p, logo aproximação(-,p,↔, menor, ou), onde p é um parâmetro/convenção tomado de forma pessoal ou coletiva;
Então temos a seguinte configuração para as ideias fundamentais proposta pelo currículo da cidade de São Paulo:
proporcionalidade(/,.,=, não, constante);
ordem(número, -,↔,maior);
aproximação(-,p,↔, menor, ou);
variável(não, constante);
interdependência(variável,↔);
representação(escrita,=);
equivalência(↔, =).
Diante deste esquema de dependências, evidencia-se um conjunto de ideias mais fundamentais do que aquelas pensadas inicialmente: as quatro operações matemáticas (aritmética), igualdade, constante, maior/menor, equivalência, número, parâmetro, “não”, “ou” e escrita. Também pode-se excluir os números não naturais desta lista, pois, todos os tipos de número (racional, real, inteiro, complexo etc.) e suas operações são derivados dos números naturais (BARKER, 1976, p.86). Isto não está completamente de acordo com o alfabeto da LPO que, junto a TC, pode gerar a matemática usual. Podemos entender este fato como um indício de que o currículo não pretende ser um guia muito rigoroso no que concerne aos fundamentos da matemática.
Os eixos nos quais estas ideias ocorrem também podem ser simplificados, acredito que grandezas e medidas possam ser vistas como um subconjunto da geometria aplicada. Toda probabilidade é expressa por meio de uma razão (divisão), portanto a probabilidade é apenas uma aplicação dos números. O mesmo pode ser dito da estatística, devemos apenas acrescentar que esta trabalha com grandezas e medidas (que dependem da geometria aplicada). A álgebra utiliza símbolos e letras em fórmulas, no entanto, estes ainda se referem ou representam números. Estes símbolos (variáveis e incógnitas), que ocorrem em equações (expressões com igualdade), fazem com que a álgebra não passe de uma generalização da aritmética (que trata de casos particulares), ou seja: a álgebra não constitui um eixo fundamental para o ensino básico, pois seria resultado de uma mescla entre o eixo números junto com as ideias fundamentais de variável, representação, igualdade e interdependência (ocorre em funções). Portanto, restariam apenas os números e a geometria como eixos fundamentais no ensino básico, todo restante seria incluso em suas aplicações. Barker (1976) nos traz um fato que favorece esta posição, ao afirmar que os problemas matemáticos estudados por filósofos costumam se dividir apenas entre geometria e número. Frege, o pai da lógica moderna, ao fim de sua vida, foi mais radical no sentido de reduzir estes ramos:
“Quanto mais eu reflito, mais convencido me torno de que a aritmética e geometria se desenvolveram a partir do mesmo fundamento, na verdade do geométrico, e assim sendo toda a matemática é finalmente geometria.”(FREGE, 2009, p.38)
Concordo que os números surgiram da observação da realidade concreta e, portanto, podemos desenvolver uma estratégia de ensino construtiva baseada na geometria cuja escrita acabaria por abarcar os diagramas, figuras, gráficos e números. Creio que esta estratégia atenderia o propósito do ensino fundamental que é o letramento matemático.
