Lógica, Lógicas, Lógicos, Verdades e Paradoxos têm fundamento?

 2. #LÓGICA

Segundo Costa (2008, p.36, 38, 78), a lógica deve servir de fundamento para todas as outras ciências, no entanto, em última instância, as leis lógicas dependem da linguagem. Esta dependência e inferioridade evidencia-se pelo fato de que lógica clássica negligencia padrões de inferência não dedutivos tais como o analógico, indutivo, probabilístico, etc. (MORTARI, 2016, p.482).

Por mais estranho que possa parecer, a questão que nomeia o presente capítulo não possui uma resposta consensual, acredito que isto se deve, em grande parte, à questão que tratarei mais adiante que coloca o problema da falta de uma compreensão completa da linguagem natural como um fato gerador de diversos problemas. Podemos dizer, inicialmente, que a lógica não se trata de uma disciplina completamente ordenada, organizada, clara ou inquestionavelmente concisa – Seria até mesmo aceitável perguntarmos: “a lógica tem lógica?” - Diante dos problemas e questões que apresentaremos, espero que isto fique evidenciado neste livro, apesar das dificuldades que provavelmente enfrentaremos, por não percorrermos um caminho pavimentado.

Para respondermos a questão "o que é lógica" (do grego logos - palavra, fala, razão etc.), devemos abordá-la historicamente e tentar dar um motivo que tenha levado as pessoas a desenvolverem esta disciplina. Os seres humanos estão inseridos num grande conjunto de coisas existentes "reais" que denominaremos "realidade", para se comunicarem é preciso haver uma linguagem que cumpra o papel de representar essa realidade, ela pode ser composta por sons, imagens, grafias, objetos físicos etc., porém deve-se destacar que expressões tais como "gelo quente", "água seca", "círculo quadrado", “vento parado”, etc., não encontram paralelos dentro da realidade, desta forma, descreveremos a lógica como algo que se interpõe entre a realidade e a linguagem, apesar disso, a lógica não pretende ser uma ciência de tudo (MORTARI, 2016, p. 40). A lógica excluiria estas expressões absurdas por elas não estarem de acordo com o conjunto das coisas existentes. Assim, podemos definir a lógica como um filtro entre a realidade e a linguagem, ela contém regras gramaticais (sintaxe) e verifica se as coisas têm sentido (semântica). Esta concepção vai na contramão de que a lógica deva estar restrita ao conhecimento “a priori” (independente da experiência) (BARKER, 1976, p.16), creio que o mesmo possa ser dito para a matemática.

Sentença é uma sequência gramaticalmente correta e significativa de expressões de uma linguagem natural, de acordo com Mortari (2016, p. 26), a gramática de uma língua determina quais sequências de palavras constituem sentenças dessa língua. Portanto, nossa definição baseia-se no fato de que, quando as pessoas formulam uma expressão, consideram a realidade (ou o conhecimento obtido por meio dela) e compõem representações linguísticas a fim de retratar algo fiel aquilo que existe de fato, o conjunto de regras e convenções que utilizamos para isto é chamado de "lógica". No que se refere à questão da modelagem lógica, é preciso sempre ter em mente que não devemos confundir modelos com realidades (ALMEIDA, 2017, p. 113, apud COSTA), modelos são sempre aproximações ou idealizações da realidade (MORTARI, 2016, p. 163), a artificialização pode nos afastar da realidade.

Não devemos esperar que haja algum tipo de consenso ou bom senso por parte da maioria dos lógicos, por exemplo, para Castrucci (1984, p. 9-10, apud COURANT&ROBBINS, 1955), não existiria uma definição satisfatória para o que é a lógica e a matemática, mesmo se lêssemos a obra "Que es la matemática?" inteira, não encontraríamos uma resposta para seu título. De fato, observando o comportamento humano em diversas esferas, é difícil acreditar que sejamos capazes de entrar num acordo sobre qualquer tema que envolva ou aplique a linguagem. 

De acordo com Haack (2002, p. 29), não deve existir uma natureza essencial na lógica. Esta visão é comum entre os lógicos contemporâneos, mas nem sempre foi assim, segundo Castrucci (1984, p. 13), Leibniz (1646-1716) foi o precursor da lógica moderna cuja tese central era justamente fornecer uma estrutura fundamental da lógica, ele teve uma ideia chamada "cálculo raciotinator" que seria uma redução (sistema de abreviações) da linguagem à lógica, isto forneceria um sistema livre de ambiguidades, infelizmente Leibniz não obteve êxito.

“(...) se pudermos encontrar caracteres ou signos próprios para exprimir todos os nossos pensamentos, tão nítida e exatamente como a aritmética exprime os números, ou a análise geométrica exprime as linhas, poderemos fazer em todas as matérias, enquanto estão sujeitas ao raciocínio, tudo o que pode ser alcançado em Aritmética e em Geometria. [...] Ora os caracteres que exprimem todos os nossos pensamentos, comporiam uma língua nova, que poderia ser escrita e pronunciada: esta língua será muito difícil de ser criada, mas muito fácil de aprender. Será rapidamente aceita em toda parte em virtude da sua grande utilidade e da sua surpreendente facilidade e servirá maravilhosamente à comunicação de diversos povos o que contribuirá para a sua aceitação. (...) Essa língua será o maior órgão da razão. Ouso dizer que este é o último esforço da mente humana e quando o projeto estiver implementado, não restará aos homens senão serem felizes, pois terão um instrumento que não servirá menos para exaltar a razão, do que o telescópio serve para aperfeiçoar a vista.” (LEIBNIZ, 1677).

O trecho acima faz parte do prefácio do texto “Science Générale” (Ciência Geral) escrito por Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) em 1677 (artigo “Leibniz e seu primeiro ensaio sobre linguagem universal”).

“Nos anos posteriores à publicação do ‘De Arte Combinatoria’, Leibniz é impelido a esclarecer e aperfeiçoar seu projeto relativo ao estabelecimento da língua universal. Leibniz ao longo de sua vida, se refere a este trabalho em diversas oportunidades, asseverando que nele estavam contidas as ideias primordiais acerca da característica universal. Verificamos que até o fim de sua vida, Leibniz mantém sua proposta de inventar um simbolismo completo e definitivo, no entanto ele reconhece a grandiosidade deste projeto e que as dificuldades intrínsecas a ele o impedem de obter sucesso em sua busca. (...) Em carta de março de 1706, à Eleitora Sophie, sua grande amiga, demonstra sua desilusão ao comentar que, ‘[...] não estou nem estarei jamais em estado de executar tal projeto em que é necessário mais do que uma mão; e parece mesmo que o gênero humano não está suficientemente amadurecido para reivindicar os benefícios que esse método poderá proporcionar-lhe’.” (LEIBNIZ, 1706)https://www.15snhct.sbhc.org.br/resources/anais/12/1471182362_ARQUIVO_LeibnizeseuprimeiroensaiodaLinguagemUniversal.pdf - 25/06/21 -15:00 Leibniz e seu primeiro ensaio sobre linguagem universal 

Devemos citar algumas linguagens recentes que apresentam o mesmo desejo de simplificar as coisas: Toki Pona é uma língua minimalista formada por apenas 14 fonemas e 125 palavras, ela foi criada pela linguista e tradutora canadense Sonja Elen Kisa (2001). Outro trabalho que segue uma lógica semelhante foi desenvolvido por Charles Kay Ogden (1930) que reduziu a língua inglesa no chamado “inglês básico”, seu vocabulário é composto por 850 palavras descritas no livro “Basic english: a general introduction with rules and grammar”, publicado em 1930. Nesta compilação, temos o seguinte número de palavras de acordo com as definições feitas por ele: 100 operadores, 400 substantivos gerais, 200 substantivos concretos, 50 adjetivos gerais e 50 antônimos irregulares. Estas criações refletem a possibilidade de redução da linguagem pelo processo de eliminação de repetições, derivações e redundâncias.

O Vocabulário Básico do Português Brasileiro (composto por 2.857 palavras) surgiu a partir do vocabulário fundamental do Português lusitano composto por 2.217 vocábulos compilados em pesquisas de campo realizadas pela Universidade de Lisboa (1984), a Prof.ª. Dr.ª Maria Tereza Camargo Biderman realizou esta transição do português lusitano para o brasileiro. Temos também o “Sranan” que possui apenas 1029 verbetes, o "Learning English" (também conhecido como "Special English") com um vocabulário de 1510 palavras, adotado nas transmissões da rádio Voice of America, satisfaz, desde a década de 1950, às necessidades de uma transmissão voltada para ouvintes do mundo todo, estes exemplos demonstram que boa parte do léxico completo das linguagens orais pode ser, apenas, um imenso conjunto redundante.

George Boole (1815-1864) foi quem de fato lançou os alicerces da lógica moderna com sua obra "Investigation of the laws of thought" que fornecia um cálculo lógico simbólico, antes dele, outros haviam tentado “algebrizar” a lógica (por ex.: Plouquet, Lambert e Leibniz) (ALMEIDA, 2017, p.57). Frege (1848-1925), o maior lógico de todos os tempos para Alonzo Church, que também era chamado por alguns de “o pai da lógica moderna” (DOXIADIS & PAPADIMITRIOU, 2010, p.327), tentou desenvolver esta ideia com uma redução da aritmética à lógica, mas também desistiu ao não conseguir superar o paradoxo enviado em uma carta de Russell em 1902. É interessante notarmos o aspecto personalista que esta ciência tomou no século XX, “o pai”, “o maior”, “aquele que alicerçou”, “o precursor” etc., são epítetos que fazem com que as pessoas sigam os mesmos pensamentos sem questionar, o simples fato de alguém ser “o pai” de alguma coisa não implica que esta coisa não possa agir de forma independente.

Russell também não conseguiu desenvolver a tese logicista que apregoava que as verdades da aritmética eram redutíveis à lógica (SILVA, 2007, p.67, 133, 136). Russell e Wittgenstein desejaram, por um tempo, conceber uma linguagem única cuja forma lógica fosse perfeitamente exibida, mas, infelizmente, também falharam nesta busca inicialmente proposta por Leibniz o qual acabou por se notabilizar mais com o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

Diante do fracasso destes notáveis (o pai, o maior, o precursor etc.), a saída desta situação incômoda foi evitá-la, houve uma passagem da atenção direcionada à validade de argumentos para a verdade lógica das "fórmulas bem formadas" (HAACK, 2OO2, p.48, apud KNEALE). Passamos para linguagens que são compostas artificialmente, elas se importam apenas com a forma e não com o conteúdo (algo próprio da linguagem natural) das expressões segundo Silva (2OO7, p. 51), esta é a razão pela qual ela costuma ser chamada de lógica formal, mas até se discute se realmente há algo que possa ser uma “forma lógica” (MORTARI, 2016, p. 40, 436). Também podemos questionar se a forma lógica independe do contexto (BARKER, 1976, p.17-18, 58), por exemplo: se x é mais alto do que y e y é mais alto do que z, então x é mais alto do que z, este raciocínio lógico está correto, apesar de a lógica não descrever o que significa “maior”. O mesmo poderia ser pensado sobre os entes primitivos da geometria.

A lógica moderna não considera sequer o tempo (HAACK, 2OO2, p. 65), isto nos faz refletir a respeito da implicação, pois muitas frases nas quais ela ocorre dependem do tempo (por exemplo: “se x é homem, então x é mortal”) se x não está morto no presente, então isto significa que ele morrerá no futuro. Realmente, já que a lógica moderna não é ao menos capaz de considerar o tempo, não será apta nem para tratar de casos clássicos como o exemplo dado.

Tarski não acreditava que sua teoria pudesse ser aplicada para linguagens naturais para as quais não haveria sequer uma esperança de se obter uma definição adequada de verdade, apesar disso, seu seguidor Davidson buscou uma teoria do significado aplicável para elas, mas não forneceu nenhuma resposta satisfatória para o problema. Haack questionou a utilidade de um trabalho cujo conceito de verdade fosse inteiramente distinto do utilizado nas linguagens cotidianas. Schiller e Strawson consideraram os métodos formais extremamente inadequados para tratar a linguagem natural (HAACK, 2002, p. 111, 168-176). 

Davidson contrariou Tarski ao ter pensado que a linguagem natural não possui caráter universal, para ele a tarefa de uma teoria do significado seria analisar a estrutura de sentenças sem dar importância ao significado das palavras individualmente, chegando a afirmar: "permanece uma abaladora lista de dificuldades e enigmas". Ele tomava, em sua abordagem, enunciados de probabilidade, causais, advérbios, adjetivos atributivos, substância/material, verbos de crença, percepção, intenção e ação, embora não sendo capaz de explicá-los formalmente (HAACK, 2002, p. 169, apud DAVIDSON, 1967, p. 171) e (TARSKI, 2007, p.32, 35, 217).

Pelo que temos observado até aqui, o grande motivo que impulsionou o desenvolvimento da lógica como disciplina formal foi a busca por uma estrutura da linguagem natural, algo no qual os lógicos não foram bem-sucedidos. Isto pode ser provado para os mais proeminentes nomes da lógica que tentaram encarar esta questão, por exemplo:

"(…) abandono agora a tentativa de resolver nosso problema para a linguagem cotidiana e restrinjo-me, daqui em diante, inteiramente às linguagens formalizadas. Estas podem ser aproximadamente caracterizadas como linguagens artificialmente construídas nas quais o sentido de toda expressão é univocamente determinado por sua forma." (TARSKI, 2007, p. 33).

Aqui vemos Tarski simplesmente abandonando esta questão e reforçando nossa tese de que a lógica moderna nada mais é do que uma limitação que surgiu devido a uma incompreensão da linguagem natural. De fato, segundo Nicoletti (2017, p. 2-3, 135) a lógica proposicional considera somente expressões declarativas chamadas de proposições, desconsidera expressões exclamativas, imperativas e interrogativas, enquanto que a lógica de primeira ordem é o conjunto de todas as fórmulas bem formadas que podem ser geradas a partir de um alfabeto. Russell e Frege alegaram que a linguagem natural tinha a vaguidade como um defeito (HAACK, 2002, p. 219, 221), creio que isto foi uma forma de desprestigiar algo com o qual não tivemos a capacidade de lidar, além do mais, eles não apresentaram nenhum argumento convincente a respeito.

Os lógicos tiveram que recorrer às limitações, criando linguagens artificiais que lhes permitissem andar num terreno sobre o qual tinham alguma segurança, basicamente evitaram a questão da formalização da linguagem cotidiana e abandonaram a ideia de uma lógica ou linguagem universal como inicialmente proposta por Leibniz. Por exemplo, considerando a questão particular do tempo, de acordo com Haack (2002, p. 212-214, apud QUINE & PRIOR), estes autores defenderam que ele deveria ser considerado dentro da lógica. Quine apresentou uma proposta mais coerente, para ele as variáveis da lógica de primeira ordem não deveriam ser sobre indivíduos, mas sim sobre indivíduos espaço-temporais, enquanto que Prior defendia a utilização de operadores temporais. De fato, faz todo sentido pensar desta forma, pois uma pessoa não pode ser definida como um ser estático no espaço sendo, portanto, um conjunto que varia dentro do espaço conforme o tempo varia. Quine define uma época como um corte do mundo material de 4 dimensões (3 dimensões temporais e 1 dimensão é o tempo), porque isto estaria em conformidade com a física moderna.

Em resumo temos até o momento:

A lógica, de forma geral, pode ser vista como um filtro entre a realidade e a linguagem, ela contém regras e convenções gramaticais e semânticas que se aplicam à linguagem para verificar se esta está de acordo com a realidade;

Os lógicos e filósofos fracassaram em sua tentativa de compreender a linguagem cotidiana por completo, isto os levou à  lógica moderna que é uma limitação artificial das línguas naturais. 

2.1 LÓGICAS

“A primeira vez que se pôs seriamente em dúvida a validade geral da lógica clássica, por motivos oriundos das ciências da natureza, foi o advento da mecânica quântica, devido às dificuldades conceituais inerentes a seus pensamentos. (…) Defrontamo-nos, por conseguinte, com o problema crucial para a filosofia da lógica, de se saber se realmente a lógica clássica pode servir de base para a mecânica quântica ou se para fundamentarmos essa disciplina necessitamos recorrer a novas categorias de lógica.” (COSTA, 2008, p.189-190)

Existem lógicas alternativas que podem ser descritas como sistemas variantes da lógica clássica. Segundo Haack (2002, p. 269, 309), os argumentos que tentam sustentar tais lógicas "foram, muito constantemente, bastante fracos". Penso ser claro que a tentativa mal-sucedida de formalizar a linguagem natural produziu todas estas lógicas, pois é evidente que elas utilizam-se de pares tipo "lógica+x" onde x é um conceito expressável em linguagem natural (COSTA, 2008, p.137), para o qual não há uma formalização definida, vejo estas lógicas como espécies de emendas (MORTARI, 2016, p. 51, 90), (ALMEIDA, 2017, p.62). De acordo com Mortari (2016, p.443), as lógicas ampliadas afirmam que a lógica moderna está correta, porém carece de muitos conceitos o que leva à inclusão de novos operadores denominados de “intencionais”.

Listaremos as lógicas alternativas mais conhecidas comentando alguns casos de forma crítica, expondo seus problemas e opiniões de lógicos renomados. Nosso objetivo não será nos aprofundarmos em detalhes, pois isto requer uma teoria de formalização da linguagem natural (MOTA, 2020a): 

- As lógicas modais inserem os conceitos de "necessariamente e possivelmente": Quine não apoiou estas lógicas (HAACK, 2002, p. 53, 87, 239-240) e (MORTARI, 2016, p.459), para ele elas seriam uma extensão da lógica clássica que baseiam-se em confusão e são desnecessárias. Ainda, segundo Haack, há muitos aspectos do discurso modal na linguagem cotidiana que as lógicas modais não abarcam, tais como modificadores (como perfeitamente, remotamente etc.), o tempo e o modo verbal. Além disso, é fato que os filósofos são incapazes de concordar sobre o valor de verdade para fórmulas deste tipo de lógica (HAACK, 2002, p. 258-260);

- Lógicas de relevância: de acordo com Haack (2002, p. 263, 267), estas lógicas são numerosas assim como as modais, além disso possuem rivalidades entre si. Para os lógicos da relevância, B seria dedutível a partir de A apenas no caso desta dedução usar B e não apenas percorrer B. Segundo a autora isto precisa ser melhor explicado por parte destes teóricos. De acordo com Mortari (2016, p. 475), estas lógicas ainda não se consolidaram como alternativas à lógica clássica e alguns autores afirmam que a relevância seria mais um problema retórico do que lógico;

- A lógica combinatória elimina variáveis e as troca por símbolos funcionais: Quine comentou, de forma muito irônica, a respeito desta lógica (HAACK, 2002, p. 81);

- As lógicas epistêmicas consideram o "saber" e o "acreditar", tais lógicas não seriam realmente lógicas de acordo com Haack (2002, p. 31, apud DUMMETT, 1973, p. 285-288 & KNEALE, 1962, p. 610), para eles as noções de crença e conhecimento seriam vagas;

- De acordo com Haack (2002, p. 274-278) a lógica trivalente foi apresentada por Lukasiewicz a partir de um argumento proveniente de Aristóteles: enunciados futuros não poderiam ser nem verdadeiros nem falsos, pois, neste caso, estaríamos comprometidos com a ideia de destino (fatalismo), desta forma a bivalência deveria ser abandonada. Particularmente, sou da opinião da autora que também acha este argumento inválido, para ela o fatalismo não surge da bivalência, porém creio que devemos antes responder à seguinte questão: “O que vai acontecer vai acontecer?”. Reichenbach, assim como Lukasiewicz, entendia o 3º valor de verdade como o "indeterminado", para mim isto indica apenas o fato de desconhecermos o que será, é uma limitação humana inerente que não mudará o fato deste "indeterminado" ser obrigatoriamente verdadeiro ou falso. Esta postura parece ter surgido para atender às necessidades da mecânica quântica com seu "princípio de incerteza" (1927), no mundo quântico é impossível medir (e portanto saber) tanto a posição quanto o momento de uma partícula de forma simultânea. A dualidade onda-partícula parece excluir a possibilidade de uma onda ser formada por partículas e vice-versa.

“A mecânica quântica é probabilística.”(ALMEIDA, 2017, p. 118)

Bohr e Heisenberg propuseram que enunciados com estes dois dados (posição e momento) careciam de sentido ou seriam mal formados. Sinceramente, não vejo razão para propor um terceiro valor de verdade baseado no fato de sermos limitados para fazer medições, isto pode ser facilmente contornado com o uso do conectivo "ou", portanto, grosso modo, o 3º valor de verdade poderia ser substituído por “V ou F”. O mesmo pode ser dito para a lógica trivalente de Kleene cujo 3º valor representa "indecidível", esta palavra mostra uma incapacidade de decisão, o que não implica haver um 3º valor diferente de verdadeiro ou falso. Os lógicos brasileiros Newton da Costa e Décio Krause (1992), propuseram, respectivamente, a lógica de Schrödinger e a “teoria de quase-conjuntos” (SANT’ANNA, 2007, p.98), a meu ver, estas teorias são análogas à lógica trivalente e padecem pelos mesmos problemas, pois utilizam o conceito de “indistinguibilidade” e “indecidibilidade”;

- As lógicas polivalentes são contrárias à teoria bivalente de Tarski, pois o esquema T é contrário às teorias de verdade não bivalentes, no entanto, as lógicas polivalentes possuem um caráter funcional-veritativo assim como a lógica clássica, pois o valor de suas fórmulas bem formadas dependem apenas dos valores de seus componentes. Além disso, a questão se torna mais problemática ao considerarmos o fato de que as tabelas-verdade das lógicas polivalentes não estarem totalmente resolvidas (HAACK, 2002, p. 118, 270);

- Lógicas da falta de significado e a lógica do absurdo de Halldén (1949) ( onde o 3º valor era “sem significado”): para Haack (2002, p. 202) estas lógicas não são necessárias nem desejáveis;

- A lógica indutiva de Rudolf Carnap (1891-1970) apresenta dificuldades para definir precisamente o que é um argumento indutivamente forte (MORTARI, 2016, p. 44). Almeida, (2017, p.136) faz uma brilhante colocação, ele compara o argumento dedutivo ao processo de construção dos elos de uma corrente e o argumento indutivo ao processo de encordoamento que, devido ao entrelaçamento de várias tiras, produz uma corda (argumentação forte), a indução baseia-se no empirismo (BARKER, 1976, p.18). A lógica intuicionista, em geral, reproduz o ideal daqueles que acreditam que a matemática não existe sem os seres humanos, ela deve se basear em processos construtivos. Esta lógica não admite a dupla negação nem demonstrações por absurdo. Enquanto acredita-se que a lógica sirva de fundamento para qualquer disciplina, o intuicionista pensa que ela apenas resume os esquemas de raciocínio da matemática (MORTARI, 2016, p. 468-469);

Nota: alguns sugerem que dedução e indução sejam os dois tipos de argumento existentes (HAACK, p. 38, apud, BARKER, 1965).

- Lógicas deônticas consideram os conceitos de "dever e poder": (x deve fazer y = (x°>y)>.m), (x pode fazer y = x.(>y)) – ver capítulo sobre a TNL;

- Lógicas fuzzy (difusas): em minha opinião são desnecessárias, tudo o que podem fazer seria possível por meio da probabilidade;

- Lógica erotélica (lógica das questões): f>r.i(f^.ia), ver “terminologia” e “modos verbais”;

- Lógicas temporais e lógicas de preferência: o tempo é gerado pelo fazer, a preferência pode ser descrita pela expressão (x prefere y mais do que z)=_(x^y)M_(x^z) – ver TNL;

- Lógica imperativa: este caso é análogo ao que tratamos em “modos verbais”;

Portanto, dentre as seguintes classificações, a que parece ter mais sentido é o monismo:

- Monismo: há um único sistema lógico correto;

- Dualismo: há dois sistemas lógicos corretos;

- Pluralismo: há mais do que dois sistemas lógicos corretos;

- Instrumentalismo: não existe uma lógica correta. A noção de correção não é apropriada, Haack (2002, p. 296) questiona esta corrente, porque ela não tem algo sensato a dizer sobre a escolha que deve ser feita entre sistemas lógicos diferentes.

2.2 VERDADES

“Com efeito, a opinião mais comum atualmente entre os cultivadores das matemáticas, da lógica matemática, dos fundamentos da matemática ou da filosofia das matemáticas é que tal verdade absoluta não existe para o homem nem sequer nas matemáticas, portanto as condições de sua universalidade como as de sua necessidade são confusas hoje em dia.” (DOU, 1970, p.8) (Tradução própria)

O conceito de pós-verdade refere-se ao fenômeno cuja influência sobre a opinião das pessoas fala mais alto do que os fatos, a pós-verdade pode utilizar-se de fatores emocionais, crenças, sensacionalismos, status social de quem fala, etc., começamos falando a respeito disto, por questionar justamente o ambiente acadêmico contemporâneo, devemos levar isto em consideração ao analisarmos muitas teorias. Será que parte delas podem ser apenas resultados sem fundamento deste ambiente? Por que razão devemos considerar as ideias de aristocratas como Russell e Wittgenstein com tanta estima em detrimento de diversas culturas e pensadores menos abastados? Penso que de ambientes deste tipo, nos quais reinam os interesses e favores, dificilmente brotará uma crítica sincera. Estas são questões que gostaria de compartilhar e convidar o leitor a meditar sobre.

Da mesma forma que houve uma proliferação de "lógicas" além da lógica clássica, naturalmente seguiu-se a formulação de teorias da verdade as quais consideramos a partir de agora.

De acordo com Haack (2002, p. 127-134, 162) temos as seguintes teorias da verdade:

- As teorias da correspondência dizem que a verdade deve corresponder aos fatos, isto implica que o termo "verdade" deve sempre se referir a algo, não tem sentido dizê-lo sem haver um contexto com um fato implícito ou explícito. Esta teoria é a mais aceita dentre os lógicos e também encontra amparo no senso comum sendo instintiva até para as crianças, ela está de acordo com nossa concepção. Críticos destas teorias afirmam que elas não são claras, pois não apresentam um isomorfismo entre a estrutura de uma proposição e os fatos. Este é um ponto problemático, pois todo isomorfismo é uma função matemática e, para u:R→L ser uma função entre a realidade (R) e a linguagem (L) é preciso que cada fato seja descrito de forma única, o que não ocorre, por exemplo:

u(fato: está chovendo) = chove/cai água do céu/caem gotas do céu/as nuvens estão jorrando água na terra etc. 

Desta forma, não existe função com domínio na realidade e contradomínio na linguagem, porém o contrário pode ser válido, existe uma função v: L→R  tal que: v(chove/ cai água do céu/ caem gotas do céu etc.) = fato: está chovendo.

A função v levaria todas as representações ao fato que elas representam (não seria injetora). Enfim, esta crítica deve ser encarada como uma limitação de pensamento dos filósofos e lógicos ao universo dos objetos definidos pela matemática, o fato de não haver um isomorfismo não tem importância alguma, pois não estamos tratando de álgebra abstrata. Haack (2002, p. 165) relata que Davidson acreditava que uma teoria adequada do significado deveria extrair o sentido das sentenças a partir dos significados de cada palavra componente, para ele seria impossível seguir outro caminho. Quine afirmou (IBAÑOS&SILVEIRA, 2002, p.291, apud QUINE, apud, KEMPSON, 1980, p.390) que a interpretação de sentenças de uma língua deveria ser feita mediante suas palavras componentes, pois o vocabulário seria finito e listável, mas não o conjunto de sentenças geradas. A partir desta perspectiva, que parece acima de qualquer suspeita, os correspondencialistas foram incapazes de dar uma definição precisa justamente por esbarrar no problema da linguagem natural (que é formada por palavras individuais) expresso no primeiro capítulo;

- As teorias da coerência afirmam que a verdade depende de um conjunto de crenças que devem ser compatíveis entre si (não contraditórias). É claro que isto limita a verdade ao conhecimento (crenças) que temos o qual pode estar baseado em experiências falhas ou parciais, desta forma, para essa teoria, a verdade seria apenas uma representação parcial e questionável da realidade. Do ponto de vista psicológico isto aparenta ser correto, mas o conceito de verdade parece ser superior à ideia de “verdade” que as pessoas assumem como crenças. Popper disse que a teoria da correspondência é superior à da coerência, pois esta confundiria consistência com verdade. Este autor também reparou que alguns sustentam que a realidade é coerente: esta é uma ambiguidade cuja existência concordamos. Repare que outra implicação destas teorias é que a "coerência" entre crenças (informações ou convenções) significa que elas não podem ser contraditórias, ora isto recai no princípio de não-contradição da lógica clássica, ou seja, ter-se-ia justificado que uma lógica de coerência estaria, obrigatoriamente, contida na lógica clássica o que as tornaria supérfluas. Almeida (2017, p. 115) nos diz que tais teorias não disponibilizam uma definição precisa do que seria coerência;

- A teoria pragmatista (prática) nos diz que a verdade de uma crença provém de sua correspondência com a realidade, ressaltando que a crença deve resistir aos testes e experimentos de sua coerência com outras crenças. Aqui há um reflexo da velha discussão entre o empírico e o "à priori" que veremos futuramente, mas já podemos adiantar que ela carece de fundamento justamente por confundir nossa capacidade perceptiva experimental ou sensorial (o subjetivo) com aquilo que existe independente de nós, alguns chegaram a afirmar que as crenças verdadeiras são aquelas confirmadas com o tempo mediante a experiência. Ora isto não considera que o tempo continua a passar e que novos experimentos podem se seguir, além disso, eleva tais procedimentos ao grau de infalíveis. Popper também critica esta teoria, pois ela confundiria a utilidade com a verdade, além disso, nota-se que há uma proximidade entre as teorias da coerência e a pragmatista, pois esta diz que deve haver “coerência” entre experimentos e crenças. A teoria pragmatista também parece ser uma extensão desnecessária da lógica clássica, dado que seu empirismo sustenta-se na verificação do correspondencialismo;

- A teoria da redundância, formulada por Ramsey (1927), nos diz que "verdadeiro" é redundante, pois dizermos que "p é verdadeiro" equivale a dizer que "p" (Mackie chegou a dizer que esta teoria não possui nenhuma "carne epistemológica" sobre si). O que é evidente é que esta teoria expressa um fato implícito durante uma fala declarativa, quando dizemos que “p”, de fato, estamos declarando a verdade de p. Mackie se exaltou, pois a proposta de Ramsey ridicularizou e esvaziou todo este debate. Ramsey teve razão ao ter denunciado esta redundância presente nas discussões lógicas, filosóficas e matemáticas.

Gostaria de comentar mais uma corrente filosófica que relaciona-se com este contexto: Almeida (2017, p. 337) relata que os definicionistas dizem que as proposições matemáticas são verdadeiras por definição, podemos dizer que o problema desta corrente é não definir o que é uma definição. Eles pensam que basta definir algo (representá-lo) para que ele exista, mas isto recai no problema de dizer que uma representação de algo garanta sua existência, porém podemos representar coisas não existentes. FREGE, (2009, p. 28), diz que as expressões “2+2=4” e “6-2=4” possuem o mesmo referente, mas sentidos diferentes, este exemplo resume bem seu artigo “Sobre sentido e referência” de 1892, concordo com ele quando diz que a apreensão de um sentido não assegura a existência de sua referência (FREGE, 2009, p.133-135,140), pois nem todas coisas representáveis (com sentido) representam necessariamente algo existente.

Portanto, assim como Costa (2008, p.195), pensamos que teorias diferentes da correspondencialista carecem de relevância.

2.3 PARADOXOS

Paradoxos são expressões que apresentam uma contradição, ou seja, quando temos x e “não x” ao mesmo tempo, seu surgimento provocou uma crise nos fundamentos da Matemática (SILVA, 2007, p.26) ao fim dos séc. XIX. O paradoxo do mentiroso baseia-se na seguinte expressão “esta frase é falsa”. Se ela de fato é falsa, então será verdade que ela é falsa, mas, neste caso, ela será verdadeira. Se a frase é x, então (x verdadeira)→(x falsa)→(x verdadeira), seria um tipo de círculo vicioso.

Tanto o trabalho de Tarski quanto as teorias de verdade foram, em grande parte, também motivadas pela necessidade de evitar o paradoxo do mentiroso. Tarski contornou a questão, mas não disponibilizou uma solução para o problema, o mesmo pode ser dito de Russell que formulou a teoria dos tipos com este propósito, ele acreditava (assim como Poincaré) que os paradoxos eram fruto de violações do princípio do círculo vicioso (PCV) cuja ideia básica é a de que um conjunto não pode ser elemento de si mesmo ou, de forma mais abrangente, refere-se às definições que consideram uma totalidade à qual o que está sendo definido pertence. Haack (2002, p. 194) afirma que tal princípio não chegou a ser formulado com a precisão necessária, um problema aparente é que os paradoxos apresentam comportamento autorreferente (segundo nossa definição inicial), mas o que Russell nos diz é que isto se limita a conjuntos que possuem a si mesmos (o que constitui o PCV), tais conjuntos seriam a raiz de todos os paradoxos. Utilizando sua teoria dos tipos, Russell constrói uma hierarquia que evita o PCV, de acordo com Madeira (2001, p.98), as hierarquias linguísticas (eu diria “metalinguagenização”) são um artifício para evitar os paradoxos semânticos, na prática, recorre-se às línguas naturais como metalinguagens (SANT’ANNA, 2007, p.103).

“Russell, por conseguinte, exagerava ao dizer que a teoria dos tipos era inerentemente razoável. Ao contrário, o caráter da teoria dos tipos é o artifício arbitrário, destinado a contornar os paradoxos. (…) A teoria dos tipos poderia ter sido encarada como inerentemente aceitável se fosse a única via conhecida de evitar os paradoxos. Assim, no entanto, não sucede. Já nos primeiros anos deste século, três outras linhas de ação se haviam apresentado com o fito de organizar a teoria dos conjuntos de maneira a eliminar as conhecidas incongruências.” (BARKER, 1976, p.117, 119)

Segundo Russell, evitar dizer que “x pertence a si mesmo” nos salvaria deste paradoxo, esta abordagem produz alguns problemas que iremos nos aprofundar a seguir. Ernst Zermelo (1908) e Abraham Fraenkel (1922) formularam um sistema axiomático para promover uma teoria dos conjuntos livre dos paradoxos da chamada teoria "ingênua" dos conjuntos como, por exemplo, o paradoxo de Russell que considera o conjunto M como sendo o conjunto de todos os conjuntos que não possuam a si próprios como elementos. Este paradoxo nos leva à seguinte contradição: se M∈M então M∉M e vice-versa. Porém, considerar que exista um x tal que x∉x é algo não demonstrado (MOTA, 2020b), desta forma, M pode não existir dado que todos seus elementos são potencialmente inexistentes por não possuírem a si próprios. O próprio Aristóteles dizia:

“É impossível que a mesma coisa pertença e não pertença a determinada coisa ao mesmo tempo e sob o mesmo respeito. (…) Ninguém pode crer que a mesma coisa possa (ao mesmo tempo) ser e não ser.” (COSTA, 2008, p.121, apud ARISTÓTELES).

Porém alguns, como Lukasiewicz, incorreram na inépcia de acreditar na existência de coisas inexistentes como o círculo quadrado de Meinong. Lukasiewicz contradiz a si mesmo, pois disse que o princípio da não contradição “é a única arma contra o erro e a falsidade” (COSTA, 2008, p.130, apud LUKASIEWICZ). Leibniz também confirmou a importância deste princípio em correspondência enviada a Clarke:

“O grande fundamento da Matemática é o princípio de (não) contradição ou identidade, isto é, que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (…) Só esse princípio é suficiente para demonstrar cada parte da aritmética e da geometria, isto é, todos os princípios matemáticos.” (SILVA, 2007, p.90, apud Leibniz)

Não há contradições verdadeiras, pois não há contradições e contradições são falsidades. Todavia, a tese de Heráclito-Hegel diz que há contradições verdadeiras, mas não há prova de que elas existam (COSTA, 2008, p.232, 237, 244). Poincaré, Hilbert e Cantor acreditavam que “existência” significa estar livre de contradições (SILVA, 2007, p.167, 198), portanto eles confirmam nosso pensamento.

O paradoxo do mentiroso, análogo ao de Russell, foi utilizado por Kurt Gödel para provar o seu teorema da incompletude, aqui ele também toma um x tal que "x∉x" e afirma que ele existe, a partir daí ele deduz seus teoremas de incompletude sem se deparar com oposições significativas dentro da comunidade científica.

Bochvar tentou resolver os paradoxos quando propôs uma lógica trivalente na qual o 3º valor era “paradoxal”, mas isto geraria um “mentiroso reforçado” conforme nos diz Haack (2002, p. 277). Realmente, se tomarmos a frase “x é paradoxal” teremos que x é verdadeira e falsa ao mesmo tempo o que recai nos casos anteriores de paradoxos.

John von Neumann achou insatisfatória a solução dos paradoxos apresentada por Zermelo e propôs uma teoria alternativa hoje conhecida por NGB (Neumann – Bernays – Gödel) (SANT’ANNA, 2007, p.60), tal teoria também tem algumas falhas, por exemplo: admite que há coisas que não são conjuntos e que não existe o conjunto de todos os conjuntos.

Concluímos que os lógicos jamais solucionaram este problema dos paradoxos, apenas evitaram a questão limitando seu escopo com uma técnica cuja confiabilidade é questionável.

2.4 ARISTÓTELES 384 a.C.-322 a.C.

Aristóteles é considerado o pai fundador da lógica formal (MORTARI, 2016, p. 46), a influência de sua lógica permaneceu intacta por mais de dois milênios e ainda possui grande importância para os estudos recentes. Suas ideias básicas estão presentes na lógica contemporânea, apesar de formuladas de um jeito diferente:

"Gostaríamos que nossa definição fizesse justiça às intuições que seguem a concepção clássica aristotélica da verdade(...)"(TARSKI, 2007, p. 160) - Ver p.187 da mesma obra como acréscimo.

De acordo com Haack (2002, p. 306, 309), Kant confiava na lógica aristotélica porque esta abarcaria as "formas de pensamento" as quais delimitariam todos os tipos de raciocínio que podemos ter. Kant acreditava que, desde Aristóteles, a lógica não avançara nenhum passo significativo, ela estaria pronta e seria perfeita (MORTARI, 2016, p. 50). Ele criticou duramente os filósofos que tentaram aumentá-la com capítulos psicológicos etc., afirmando que seriam ignorantes a respeito da natureza peculiar da ciência lógica. Foi uma atitude radical por um lado e muito otimista pelo outro, já que nestes primórdios da formalização do raciocínio havia poucos recursos e métodos pouco avançados.

Para Aristóteles os 10 predicados supremos são: substância, quantidade, qualidade, relação, lugar, tempo, situação, estado, ação, paixão (KNEALE & KNEALE, 1980, p.25), convenientemente há também 10 classes gramaticais (MESQUITA & MARTOS, 1994, p.26). Será que Aristóteles foi redundante ao compor estas classes? Pois bem, podemos entender substância como um substantivo concreto, paixão (vontade) como um substantivo abstrato, ação como verbo, qualidade como adjetivo, lugar e tempo como advérbios, quantidade como números – todas estas classes gramaticais podem ser descritas como composições de elementos mais simples (MOTA, 2020a). O caso das relações pode ser entendido como um conjunto de pares ordenados que também pode ser expresso por elementos mais básicos (MOTA, 2020b). Quanto à situação (circunstância) e ao estado, parecem indicar uma série de elementos que se relacionam com algo específico, portanto podem ser descritos por meio de relações. 

Kant inspirou-se em Aristóteles para derivar suas tábuas dos juízos apresentando a seguinte tabela para a organização de todos os juízos possíveis mediante funções lógicas:

Quantidade	Qualidade	Relação	Modalidade
Universal	Afirmativo	Categórico (inerência)	Problemático
Particular	Negativo	Hipotético	Assertivo
Singular	Infinito (ilimitado)	Disjuntivo	Apodítico (irrefutável)

 

Podemos reparar algumas redundâncias como os pares particular/singular e  afirmativo/assertivo, isto já seria o bastante para justificar evitarmos maior aprofundamento, no entanto, devemos ser compreensivos dado que a filosofia é um espaço voltado para discussões e suposições que não possui um método exato nem objetiva respostas definitivas, no entanto, Kant demonstrou um otimismo exagerado com sua classificação:

“Com efeito, através de tais funções o entendimento é completamente exaurido e sua faculdade inteiramente medida.” (KANT, 1996, p. 108)

Kant também afirmava que o princípio da não contradição era o fundamento principal de todos os juízos analíticos (KNEALE & KNEALE, 1980, p. 362), isto converge com aquilo que vimos a respeito dos paradoxos, pois todos eles apresentam ou são capazes de gerar uma contradição. Apesar de haver um número reduzido de ideias contidas nesta tabela, Kant afirmava que há apenas duas formas de sensibilidade: “o espaço e o tempo” que independem da experiência sensível e que o espaço e o tempo são universais e únicos (SILVA, 2007, p.98-99), diante disto, podemos entender o espaço-tempo como o domínio sobre qual o conhecimento se manifesta. Concebendo que todas as ideias sejam a respeito do espaço-tempo, somos levados a questionar se elas podem ser encaradas como um elemento do espaço-tempo, pois podemos considerar a mente como algo presente no cérebro (que pertence ao espaço-tempo). 

Mais adiante, Kant derivou a tábua das categorias a partir da tábua dos juízos (KANT, 1996, p.9):

Quantidade	Qualidade	Relação	Modalidade
Totalidade	Realidade	Inerência e subsistência	Possibilidade
Pluralidade	Negação	Causalidade e dependência (causa e efeito)	Existência
Unidade	Limitação	Comunidade (ação recíproca)	Necessidade

Para Kant, essas categorias sintetizam todos os conceitos puros que o entendimento contém em si a priori:

“A procura desses conceitos fundamentais constitui um plano digno de homem perspicaz como Aristóteles. Entretanto, por não possuir nenhum princípio, catou-os como se lhe deparavam, reunindo primeiramente dez, que denominou categorias (predicamentos). A seguir, creu ter encontrado ainda mais cinco conceitos que acrescentou sob a denominação de pós-predicamentos.”(KANT, 1996, p.109)

Segundo KNEALE & KNEALE (1980, p. 28), estes pós-predicamentos eram, na verdade, seis: oposição, privação, prioridade, simultaneidade, movimento e posse. Não há uma explanação do processo de extração destes “átomos”, portanto não há motivos para crer que Kant tenha exagerado quando disse que Aristóteles “catou” tais princípios como lhes ocorriam, de forma que temos aqui o resultado de um processo não muito meticuloso. O mesmo pode ser dito de Kant, já que boa parte de seu trabalho inspirou-se nestes resultados imprecisos, apesar de ter limitado a extensão do êxito de Aristóteles:

“(...)denominam-se conceitos puros do entendimento (...), coisa que a lógica geral (de Aristóteles) não pôde efetuar.” (KANT, 1996, p. 108)

A tentativa de justificar as categorias da analítica transcendental de Kant (unidade, pluralidade, totalidade, realidade, negação, limitação, substância, causa, comunidade, possibilidade, existência e necessidade)  foi o objeto central da analítica transcendental que tentou mostrar que todo o conhecimento seria proveniente de combinações destas categorias em conjunto com os dados obtidos pela intuição sensível espaço-temporal. Kant tentou explicar as relações entre o entendimento e o espaço-tempo, desenvolvendo a teoria do esquematismo transcendental, na “crítica da razão pura”, cuja dificuldade ele explicita ao dizer: 

“(...)se trata de uma arte oculta nas profundidades da alma humana, cujos modos reais de atividade a natureza não nos permite jamais descobrir.” (KANT, 1996, p.11)

Isto pode ser entendido como a dificuldade de estabelecer relações entre coisas diferentes: categorias e fenômenos, então qual seria a ligação entre conceitos e realidade? Kant denomina esta ligação de “esquema transcendental”: não seria possível conhecer as coisas em si mesmas (noumenon), mas apenas os fenômenos que são as aparências. Esta frase de Kant também nos leva a crer que seu trabalho não apresenta uma conclusão, nem seguiu um método isento de misticismos.

Segundo Kant, o termo “analítico” indica a situação na qual o predicado está incluso no sujeito (por exemplo: um quadrado tem 4 lados), já “sintético”, grosso modo, seria um juízo não analítico que pode ser sintetizado (formado ou construído) com a junção de outros elementos. Este foi mais um ponto que suscitou críticas ou falta de interesse por parte de outros estudiosos (BARKER, 1976, p.19-21), por exemplo:  

- Quine atacou a distinção entre analítico e sintético (HAACK, 2002, p. 229);

- Gauss, o príncipe da matemática (TENT, 2008) disse, em carta para Schumacher, datada de 1 de Novembro de 1844: “Mas mesmo com Kant a situação não é melhor; na minha opinião, a sua distinção entre proposições analíticas e sintéticas é uma daquelas coisas que acabam por ser triviais ou falsas”(KNEALE & KNEALE, 1980, p. 363), Kneale ainda ressalta que não é difícil encontrar literatura atual na qual os filósofos tentam explicar a natureza da verdade lógica usando a palavra “analítico”, embora a única definição moderna e precisa pressuponha a lógica; 

- Frege não aceitava a distinção das duas espécies de juízo de Kant (KNEALE & KNEALE, 1980, p. 451);

- Barker (1976, p.14, 22) disse que as distinções “empírico/a priori” e “analítico/sintético” não são inteiramente precisas, de acordo com ele, sua distinção não faz sentido e se baseia numa teoria psicológica “rudimentar e superada”;

. Isto faz sentido, por exemplo, é estranho afirmar que um conhecimento aplicável à experiência seja independente dela (SILVA, 2007, p.94).

Um caso interessante, útil para compreendermos o tipo de raciocínio que Kant apresentava, é sua refutação do argumento da existência de Deus (originário de Santo Anselmo no século XI e retomado por Descartes no séc. XVII) que nos diz que Deus tem que existir porque a essência de Deus envolve a existência. Kant contrariou esta afirmação dizendo que a existência não é um atributo ou uma determinação de qualquer coisa e, portanto, não pode estar envolvida na essência de nada. De acordo com Kneale & Kneale (1980, p. 363), infelizmente Kant não expôs satisfatoriamente as proposições existenciais, de fato temos que concordar diante do argumento acima, pois ele não chega a provar nada. Uma refutação evidente seria dizer que a existência é um atributo de tudo o que existe e que tudo aquilo que foi criado teve sua existência determinada. Outras questões residuais:

1) Se a existência não é essência de nada e a verdade é diferente de nada, então a verdade não possui essência existente?

2) Se a existência não é atributo nem essência de nada, então ela não existe?

Deixemos Kant de lado e retornemos nossa atenção para Aristóteles. De acordo com Mortari (2016, p. 48, 197, 483), a teoria do silogismo foi a primeira teoria lógica na história constituindo o núcleo da lógica aristotélica. Silogismo é um tipo de argumento que sempre tem duas premissas e uma conclusão, também deve haver apenas um tipo específico de proposição: as categóricas. Estas podem ser resumidas em 4 tipos:

- todo x + (é/não é) + y

- nenhum x + (é/não é) + y

- algum x + (é/não é) + y

- nem todo x + (é/não é) + y

Existem apenas 24 formas válidas de silogismos, razão pela qual esta teoria é considerada limitada diante da lógica de primeira ordem, contudo isto não diminui sua importância. Aliás, para sermos justos, devemos dar crédito aos megáricos e estóicos que desenvolveram uma lógica diferente da de Aristóteles a qual forma a base para a lógica proposicional e cuja extensão é a lógica moderna  (MORTARI, 2016, p. 49).

2.5 FREGE 1848-1925

“A linguagem é uma criação do homem.” (FREGE, 2009, p.218)

“Se tivéssemos uma linguagem logicamente mais perfeita, talvez não mais precisássemos de uma lógica, ou pudéssemos decifrá-la na linguagem. Mas estamos muito longe disso. O trabalho lógico é, em grande parte, precisamente um combate contra os defeitos lógicos da linguagem, que, entretanto, é para nós um instrumento indispensável. Apenas depois de terminado nosso trabalho lógico teremos um instrumento mais perfeito.”(SILVA, 2008, p.136, apud FREGE, 1964, p.110)

“(...) deparei-me com o obstáculo da insuficiência da linguagem [corrente]; além de todas as dificuldades inerentes ao manuseio das expressões à medida que as relações se tornavam mais complexas, tanto menos apto me encontrava para atingir a exatidão exigida. Tal dificuldade levou-me a conceber a presente conceitografia.” (FREGE, 2009, p.45)

Frege é considerado o fundador da lógica moderna (MORTARI, 2016, p. 162), apesar disso, ele não obteve muito reconhecimento durante sua vida. Ao completar 60 anos, foi-lhe negada a condecoração tradicional que era concedida a todos os professores que atingem esta idade, sua conceitografia teve uma recepção fria e, em 1882, apresentou um trabalho cuja publicação foi rejeitada pelos editores (FREGE, 2009, p.10, 17-18), a alegação era de que seu trabalho carecia de importância acadêmica. 

Os trechos destacados no início deste capítulo nos mostram que Frege não foi capaz de formalizar a linguagem natural, ele nos diz que ela é imperfeita, mas, de forma controversa, admite ser ela um instrumento indispensável. Esta contradição demonstra que, de fato, a incapacidade de dispor uma formalização da linguagem comum obrigou os lógicos a dependerem dela em última instância, fundamentando boa parte de suas teses sobre algo que, para eles mesmos, possui defeitos. A crítica que Frege faz à lógica tradicional constitui-se, basicamente, em opor-se a sua dependência em relação às “ilusões linguísticas” (SILVA, 2008, p.131-132, apud FREGE). Assim como os outros lógicos de renome sobre os quais trataremos neste livro, Frege também encontra dificuldades que não pôde superar quando tentou analisar a linguagem comum: seria impossível qualquer conexão sistemática entre as formas gramaticais e as formas lógicas. Daí ele parte para a construção de um simbolismo apropriado que denominou de “conceitografia” voltado exclusivamente para o cálculo demonstrativo, sem ter que se preocupar com as variadas funções semânticas da linguagem comum.

“A razão dos defeitos salientados está numa certa maleabilidade e mutabilidade da linguagem [comum], que é, por outro lado, condição de sua capacidade de desenvolvimento e de sua aplicabilidade variada. Sob esse aspecto, a linguagem comum pode comparar-se à mão, que, apesar de sua capacidade de se acomodar às mais diferentes tarefas, não nos basta. Criamo-nos mão artificiais, instrumentos para fins particulares, que operam de maneira mais precisa do que a mão seria capaz. E o que torna possível essa precisão? Justamente a rigidez, a imutabilidade das partes, cuja falta torna a mão tão diversamente hábil. Assim, também a linguagem verbal não basta. Carecemos de um conjunto de sinais dos quais se estirpe toda ambiguidade e cuja forma rigorosamente lógica não deixe escapar o conteúdo." (SILVA, 2008, p.133, apud FREGE, 1964, p.110)

É evidente que Frege não fundamenta seu método exclusivamente sobre a lógica, esta analogia evidencia isto. A mão seria a linguagem comum e o instrumento seria a lógica, admite-se que a mão faz a ferramenta e portanto tem maior poder, logo, se pensarmos em obter os fundamentos primitivos da lógica, teríamos que explorar a linguagem comum. Portanto, a conceitografia teria como papel compensar a falta de rigidez da linguagem comum no que concerne às demonstrações lógico-matemáticas, porém a linguagem comum não deixa de ter um papel importante, pois seria um instrumento valioso para a consolidação das ciências em termos originários, num momento anterior à formalização. 

“A procura de um método universal através do qual pudesse obter conhecimento, fazer invenções e compreender a unidade essencial do universo foi o principal objetivo de sua vida." (FRANZON&BRITO, artigo “Um estudo sobre Leibniz e a criação de um alfabeto do pensamento humano, apud STRUIK, 2011, editorarealize.com.br/editora/anais/ebrapem/2011 - consultado em 25/6/21 - 11:00 - Autora Carmen Rosane Pinto Franzon - coautora Arlete de Jesus Brito p. 181)

A intenção de Frege jamais foi (pelo menos não abertamente) a obtenção de uma estrutura geral e acabada da realidade, como tentou Leibniz com seu “silabário da razão ou alfabeto do pensamento” cujo objetivo era fazer um levantamento das ideias fundamentais (FREGE, 2009, p.16). Ele queria apenas descobrir uma fundamentação para a aritmética e não para a lógica, pois a lógica silogística de Aristóteles e a lógica booleana eram incapazes de realizar tal tarefa (SILVA, 2007, p.109). Mas, apesar de seu desejo, sua principal contribuição foi com a quantificação que relaciona-se diretamente com o campo da lógica (FREGE, 2009, p.11-13). Frege pensava que a simples presença da variável seria suficiente para expressar a universalidade/generalidade que estaria diretamente relacionada com o quantificador universal, isto está de acordo com uma das interpretações do quantificador universal que apresentei (MOTA, 2020b), porém ele acaba por confundir uma variável que toma um valor (algo que não é mais uma variável) com uma variável. Também confunde o indefinido com o constante, pois algo constante pode ser indefinido para alguém:

“(...) a expressão ‘uma variável toma um valor’ é bastante obscura. Uma variável deve ser um número indefinido; mas como pode um número indefinido assumir um número?” (FREGE, 2009, p. 199) 

Há diversos exemplos de números irracionais que não são completamente conhecidos, portanto são indefinidos, porém são todos constantes. Sua visão sobre a definição de existência e, consequentemente, sobre o quantificador existencial equivale àquela que enunciei (MOTA, 2020a):

“(...) em lugar do ‘existe’ também se pode dizer ‘é igual a si mesmo’(...)” (FREGE, 2009, p.182)

“(...) pois admitimos que ‘há homens’ é o mesmo que ‘há homens iguais a si mesmos’ (...)” (FREGE, 2009, p.184)

Este pensamento, em conjunto com aqueles de outros grandes lógicos e matemáticos que tratamos anteriormente, pode ser utilizado para deslegitimar os resultados obtidos por Gödel, pois ele toma coisas diferentes de si mesmas (coisas inexistentes) em suas demonstrações. A única diferença que encontrei entre a definição de Frege e a minha a respeito da existência, é que ele dizia que ela não é uma propriedade (FREGE, 2009, p.171). Eu penso que ela seja uma propriedade, pois a existência é algo próprio do que existe e podemos definir a propriedade p(x) como sendo x = x.  

No que se refere à realidade, Frege acreditava que função e objeto são os seus dois aspectos fundamentais (FREGE, 2009, p.26, 30), para ele todas as coisas existentes devem ser função ou objeto. Estes dois entes seriam irredutíveis, simples, indecomponíveis e indefiníveis, todos os entes podem fazer parte apenas do espaço físico exterior ou da consciência. Isto, pelo menos em parte, está de acordo com o que escrevi sobre este tema (MOTA, 2020a), as seguintes passagens servem para solidificar esta descrição:

“Distingo as seguintes fontes de conhecimento: 1- A percepção sensível; 2- A fonte lógica de conhecimento; 3- A fonte geométrica de conhecimento e a fonte temporal de conhecimento.” (FREGE, 2009, p.215)

“Considero impossível uma definição regular [de objeto], já que nos deparamos com algo cuja simplicidade não admite nenhuma análise lógica. (...) E só se pode dizer sucintamente o seguinte: um objeto é tudo o que não é função, tudo aquilo cuja expressão não contém lugar vazio.” (FREGE, 2009, p.96)

“Antes de mais nada, gostaria de observar que minha explicação não deve ser tomada como uma definição propriamente dita. Não se pode exigir que tudo seja definido, da mesma maneira que não se pode exigir do químico que decomponha todas as substâncias. O que é simples não pode ser decomposto, e o que é logicamente simples não pode ter uma definição propriamente dita. O logicamente simples não nos é dado logo de início, tal como ocorre também com a maioria dos elementos químicos.” (FREGE, 2009, p.112)

“De fato, todos os objetos se dividem em duas classes: os objetos da experiência e os objetos da ideia.” (FREGE, 2009, p. 186)

Algo interessante a se destacar nestas passagens é que a ideia de que um objeto é tudo aquilo que não é função, implica que objetos para os quais há função (por ex. ferramentas) não são funções, apesar de possuírem uma função. Isto nos leva a pensar os objetos como aquilo que não possui o poder da modificação, ou seja: o inanimado, mas isto é apenas um aparte, pois é claro que toda ferramenta inanimada precisa de algo que a torne ativa.

O objetivo de Frege não era identificar as formas válidas de argumento, ele procurou sistematizar o raciocínio matemático e tornar preciso o conceito de demonstração matemática (MORTARI, 2016, p.50). Frege acreditava que a lógica não tem nenhuma relação com processos mentais, ela deveria ser objetiva e pública, ao passo que o mental seria algo particular, subjetivo e privado, Frege era antipsicologista (HAACK, 2002, p. 97, 311). Há o que se questionar a respeito disto, pois não há motivos para diferenciar o público do conjunto de manifestações e relações de subjetividades. Frege não via o significado de expressões como sendo ideias (entidades mentais), mas sim como um pensamento (algo abstrato, uma proposição que seria pública), as ideias, segundo ele, seriam essencialmente privadas: “você não pode ter minha ideia e vice-versa assim como não podemos ter a dor de cabeça um do outro”. 

  O período histórico no qual a lógica moderna surgiu deve muito à reflexão sobre os fundamentos da matemática na virada do século XIX para o século XX. Neste contexto, Frege afirmou ter superado Euclides (SILVA, 2008, p.16, apud FREGE), pois teria fixado todos os modos de inferência e dedução antes de tentar reduzir o número de leis primitivas. Esta é a forma tradicional do procedimento axiomático, onde tudo aquilo que não é essencial para a construção da teoria (ou seja: pode ser derivado a partir de um pequeno conjunto de leis primitivas) é deixado de lado, pois pode ser obtido assim que necessário. Para Frege a linguagem comum não serviria como ferramenta segura para demonstrações matemáticas ou para a representação logicamente adequada de pensamentos (FREGE, 2009, p.15, 18), logo, sua conceitografia não era para ser uma lógica, mas sim uma linguagem feita para substituir a língua natural devido sua (teórica) imperfeição e insuficiência para usos científicos. Esta foi a principal razão para a formalização em linguagens artificiais que temos visto até aqui, o que, por sua vez,  estreita o poder expressivo da teoria artificial. 

A busca da construção de um sistema de linguagem adequado aos conteúdos matemáticos conduz Frege à empreitada de sua conceitografia (Begriffsschrift) enquanto linguagem de fórmulas e consequente edificação do sistema da lógica (SILVA, 2008, p.18, 110-115, 130-131). Frege admite que o conceito de verdade é objetivo e deve ser o centro de toda e qualquer ciência inclusive da lógica, ele registra sua crítica contra os matemáticos por não partilharem da mesma inquietude e desejo: 

“De fato, toda ciência tem a verdade como meta. (...) Descobrir verdades é tarefa de todas as ciências, à lógica compete conhecer as leis do ser verdadeiro. (...) Talvez não fosse incorreto dizer que as leis lógicas nada mais são que uma explicação do conteúdo da palavra ‘verdadeiro’. Quem não tenha captado o significado dessa palavra não pode também fazer-se evidente a tarefa da lógica.”  (SILVA, 2008, p.26, apud FREGE, 1918, 342 e 1969, p.139)

“(...) a diferença na concepção de verdadeiro aparece-me como a fonte da controvérsia. Para mim, o verdadeiro é objetivo, independente daqueles que julgam (...).” (SILVA, 2008, p.31, apud FREGE, 1962a, p.XVIII)

“A maior parte dos próprios matemáticos não está preparada para oferecer uma resposta satisfatória (...). Ora não é vergonhoso para uma ciência estar tão pouco esclarecida a respeito de seu objeto mais próximo e aparentemente tão simples?” (FREGE, 2009, p.19)

“Tal equívoco surge da imperfeição da linguagem, da qual nem mesmo a linguagem simbólica da análise matemática está totalmente isenta.” (FREGE, 2009, p.147)

Um argumento que pode surgir a respeito da objetividade da verdade deve ser constituído por uma expressão que contenha algo de subjetivo. A frase “ela é alta” não poderia, a princípio, representar algo verdadeiro ou falso já que depende da opinião ou critério de quem fala. Este exemplo parece refutar a objetividade da verdade, porém se x diz que “ela é alta”, o que temos é a expressão de uma verdade: o fato que x tem tal opinião. Se esta opinião for de consenso coletivo, então o mesmo raciocínio estende-se a uma padronização para a qual as pessoas concordam. Mesmo se o grau de sensibilidade ou faculdades mentais de alguns indivíduos forem muito discrepantes a ponto de terem opiniões totalmente divergentes, isto expressaria apenas o fato de que eles pensam de formas diferentes sobre um mesmo objeto ou fato.

Frege ataca a visão psicologista da lógica, pois a recusa de que existam verdades objetivas levaria à desconsideração de toda meta científica conforme observamos anteriormente. Para ele, se o conceito de verdade tem fundamento, então toda forma de subjetivismo e relativismo está repelida: a verdade independe de atos relativos ao seu reconhecimento, a lógica está fora do domínio da psicologia e pensamentos podem contrariar fatos, mas nunca invalidá-los (SILVA, 2008, p.39, 42, apud FREGE). 

“O significado da palavra ‘verdadeiro’ parece ser inteiramente sui generis. Estaríamos aqui às voltas com algo que, no sentido mais usual da palavra, absolutamente não pode ser chamado de propriedade? Apesar dessa dúvida, pretendo por ora exprimir-me ainda conforme o uso comum da linguagem, como se a verdade fosse uma propriedade, até que se descubra algo mais exato. (...) Mas assim fracassa também toda tentativa de definição do ser verdadeiro. Isso porque em toda  definição certas características são anunciadas e,  no momento da aplicação a um caso particular, importaria sempre saber se seria verdadeiro que essas características lá estivessem. Girar-se-ia, pois em círculo. É, portanto, verossímil que o conteúdo da palavra ‘verdadeiro’ seja inteiramente sui generis e indefinível.(...) A verdade é manifestamente algo tão primitivo e simples que não é possível reduzi-la a nada ainda mais simples.” (SILVA, 2008, p.57, 65, apud FREGE, 1918, p.140, 344-345 e 1969, pp.139s).

“O que é verdadeiro, considero indefinível.” (FREGE, 2009, p.208) 

“E porque então a palavra ‘verdadeiro’, que parece destituída de conteúdo, é contudo imprescindível? Em se tratando de fundar a lógica, não seria pelo menos aqui possível evitar totalmente essa palavra, já que ela só cria confusão? O fato disso não poder ser feito deve-se à imperfeição da linguagem.” (FREGE, 2009, p. 213)

“Mas é exatamente por esse motivo que tal palavra (verdade) parece adequada para indicar a essência da lógica.” (FREGE, 2009, p. 213)

Nestas passagens vemos que Frege não possuía uma definição exata da ‘verdade’ nem acreditava que isto fosse possível, juntando isto à sua visão de que a meta de cada ciência seria a verdade sobre algo e que o tema da lógica envolve basicamente a verdade, então nos deparamos com um impasse aparentemente sem solução, pois como trabalhar com algo que você nem ao menos consegue definir? A saída foi considerar a verdade como uma propriedade, mas sem definir o que seria uma propriedade, o que recai no círculo vicioso criticado.

Em seu artigo “Der Gedanke”, Frege questiona a definição correspondencial clássica da verdade (SILVA, 2008, p.64-65, apud FREGE), esta posição vai na contramão de muitos lógicos proeminentes, porém ele assume uma visão ontológica em contraposição à epistemológica. Se pensarmos que toda questão teórica refere-se ao fato dela ser verdadeira ou não, então nada mais fundamental haveria do que a questão da verdade. Ao questionar a correspondência com a realidade, Frege parece contrariar a si mesmo, pois sua visão de meta das ciências elabora-se sobre a observação e constatação de fatos em correspondência com teses.

Frege não avança de forma profunda sobre as teses mais primitivas da lógica, para ele, por definição, tais fundamentos não poderiam ser logicamente justificados. Portanto, a fase de constituição da lógica baseou-se na linguagem comum, confiando e desconfiando desta: sua conceitografia depende da linguagem comum, mas tenta distanciar-se dela. 

Frege admite que, tanto a origem da conceitografia quanto de qualquer outro simbolismo estritamente artificial, devem depender da linguagem natural e do subjetivismo. (SILVA, 2008, p.136-141, apud FREGE, 1964, p.25):

“Nem tudo pode ser definido. Só o que foi decomposto em conceitos pode vir a ser reconstruído com partes obtidas da decomposição. Mas o que é simples não pode ser decomposto e, portanto, não pode ser definido." (FREGE, 2009, p.220)

“Também ela [a conceitografia], é certo, não transmite o pensamento de modo puro, como não poderia ser de outra maneira, em se tratando de um meio exterior de representação; mas, podem-se, por um lado, limitar esses desvios ao que seja inevitável e inofensivo; por outro lado, já por serem eles de espécie completamente diferente dos que são próprios da linguagem [comum], e tal meio de expressão pode prover refúgio seguro contra uma influência unilateral." (SILVA, 2008, p.142 apud FREGE, 1964, p.XIII)

Representações não podem substituir aquilo que representam, elas dependem daquilo que sua constituição tenta reproduzir artificialmente o que, por sua vez, jamais poderá substituir o objeto representado em si. A linguagem natural representa o pensamento e, portanto, para Frege, é fundamental para a inteligibilidade de sua conceitografia que não é capaz de investigar seu próprio vocabulário primitivo. Contudo, devemos concordar com sua “definição de definição”: coisas que não podem ser decompostas, não podem ser definidas, logo “definir” significa expressar as partes componentes.

Há uma crítica comum aos linguistas que utilizam linguagens formais, pois, a desconsideração das relações existentes entre semântica e sintaxe assim como a priorização da sintática, impediriam a compreensão das propriedades das línguas naturais (creio que este é um problema na conceitografia de Frege) e há inúmeros estudos em gramáticas categoriais que dizem haver um isomorfismo entre a sintaxe e aspectos da semântica (IBAÑOS&SILVEIRA, 2002, p.16, 290), Costa (2008, p.39) afirma que a investigação semântica envolve a sintaxe.

“Assim, é curioso que, mais de uma década após a publicação do primeiro volume das Grundgesetze, cuja primeira parte expõe sistematicamente uma morfologia lógica pura e define sistematicamente uma gramática lógica pura, Husserl tenha escrito que a lógica ainda não houvera sequer chegado a ‘conceber a ideia de uma morfologia lógica pura’.” (SILVA, 2008, p.146, apud HUSSERL - Investigaciones Lógicas II p. 143)

Este ponto de vista de Husserl parece apenas constatar a obviedade de que a lógica depende da linguagem comum e dela extrai seus conceitos primitivos de forma não tão pura assim. Frege descreve sua conceitografia como “uma linguagem de fórmulas do puro pensar que imita a da aritmética”, ele explica que essa imitação se apropria de uma ideia fundamental que é o uso de letras como entes indeterminados e de generalidade, mas não deixa de admitir sua inferioridade de poder expressivo frente às línguas naturais que, para exprimir conteúdos de outra espécie, são vitais (SILVA, 2008, p.154-155, 178-179, apud FREGE).

“Como refutação, só poderia admitir que alguém mostrasse efetivamente, seja que com concepções básicas distintas pode-se edificar algo de melhor ou de mais sólido, seja que meus princípios levam a consequências visivelmente falsas. Isto, porém, ninguém conseguirá.” (FREGE, 2009, p.33)

Posteriormente a este desafio de Frege, Russell apresentou-lhe a falácia do Paradoxo do Mentiroso, fazendo com que Frege mergulhasse em profunda melancolia e decepção, pois todos seus esforços para reduzir a aritmética à lógica foram infrutíferos (FREGE, 2009, p.34-36) e (BARKER, 1976, p.108):

“Eu mesmo, tentando encontrar um fundamento lógico para os números, fui vítima dessa ilusão.” (FREGE, 2009, p.218)

Apesar deste episódio de discordância, é evidente que Russell baseou-se nos trabalhos de Frege para desenvolver sua Teoria dos Tipos, pois o alemão dividia seus conceitos por níveis de hierarquia de forma muito semelhante ao que o inglês propôs em sua teoria (FREGE, 2009, p. 121, 192).

Em certa ocasião, o renomado lógico E. Schröder, em publicação na Revista de Matemática e Física vol. XXV, comparou a teoria de Frege com a linguagem formular de Boole, sua conclusão foi a de que a teoria booleana era preferível sobre todos os aspectos. Após tentar justificar-se (inclusive de forma irônica), Frege afirma: “Iria longe demais se quisesse responder a todas as questões de Schröder” (FREGE, 2009, p. 67, 80). O filósofo e lógico Benno Kerry (1858-1889) afirmou que a ideia de Frege sobre conceito era inconsistente (FREGE, 2009, p.30), pois a expressão “o conceito F”, levaria o conceito a ser um objeto devido à presença do artigo definido (segundo o próprio Frege), isto produziria uma contradição muito incômoda, pois Frege dizia que um conceito nunca pode ser um objeto. Frege (2009, p.115) tentou justificar isto em seu artigo “Sobre conceito e objeto” de 1892, porém de forma muito confusa e inconclusiva:

“Conforme disse anteriormente, eu não pretendia dar uma definição, mas apenas sugestões, e para isso fiz apelo à intuição linguística dos que falam o alemão.” (FREGE, 2009, p.115)

Ao final de sua vida, Frege aproximou-se de uma visão Kantiana, restrita ao espaço, da Matemática:

“Quanto mais eu reflito, mais convencido me torno de que a aritmética e geometria se desenvolveram a partir do mesmo fundamento, na verdade do geométrico, e assim sendo toda a matemática é finalmente geometria.”(FREGE, 2009, p.38)

Há quem diga que esta concepção de Kant para a matemática esteja “totalmente superada” hoje (COSTA, 2008, p.255). Acho ser um exagero pensar assim, pois a Matemática, enquanto criação humana, está sujeita às percepções sensoriais que proporcionam processos de contagem, medição etc.

2.6 RUSSELL 1872-1970

Faremos uma resenha crítica da obra "Logicomix- Uma jornada épica em busca da verdade" de APOSTOLOS DOXIADIS E CHRISTOS H. PAPADIMITRIOU que trata basicamente da vida de Russel utilizando quadrinhos.

Russel procurava a essência da verdade quando começou a estudar matemática, mas se decepcionou ao deparar-se com "truques baratos" e falhas nas definições, isto o fez ter uma experiência pessoal negativa com a "rainha das ciências" (p. 80-81). Após esta decepção, Russel entrou em contato com a filosofia, mas isso também não lhe satisfez, ele reparou que todos os filósofos estavam em discordância contínua o que ia contra seu desejo de adquirir um conhecimento incontestável (p. 91-94). Mais tarde, ele teve contato com a ideia (mal sucedida) de Leibniz, o "calculus ratiocinator", tal ideia o estimulou a assumir-se como um lógico, com dedicação exclusiva, tendo por objetivo transformar a lógica em uma ciência exata (p. 95-96, 101).

Em sua época, a matemática era uma bagunça completa, infestada de hipóteses não demonstradas, definições circulares e fundamentada sobre bases instáveis (p. 112). Frege entra em cena, para ele o objetivo da lógica não é fazer cálculos (como na lógica booleana), mas sim representar a realidade, ele partilhou da ideia de Leibniz/Russell da necessidade de criar uma linguagem totalmente lógica (p. 119-122), repare que isto não está completamente em conformidade com os detalhes que vimos no capítulo a respeito de Frege.

O livro cita um episódio no qual Cantor, o matemático que fundamentou a teoria dos conjuntos, está internado num hospício escrevendo teorias bíblicas (p. 136). Russell volta seu interesse para uma única direção: uma nova linguagem lógica que proporcione fundamentos sólidos para a matemática e achava a teoria dos conjuntos vital para isso (p. 145). A definição de Bolzano de que "um conjunto é formado por elementos que partilham de uma propriedade em comum" o admirou, pois toda teoria dos conjuntos lidava com esses objetos tão simplesmente definidos (p. 146).

No congresso internacional de matemáticos de 1900, em Paris, o autor relata um episódio de violência envolvendo matemáticos num bar (p. 148), em seguida David Hilbert diz não haver espaço para a intuição nas demonstrações, os axiomas deveriam ser o ponto de partida e ser logicamente compatíveis (p. 150). Para ele o número desempenharia o papel central em todos os ramos da matemática, portanto a aritmética seria a pedra fundamental que deveria sustentar todas as verdades matemáticas. -  Nota: apesar disso, ele defendia que os números podem ser identificados como marcas no papel (HAACK, 2002, p. 320), o que é contraditório, pois é algo que pode retirar seu conteúdo significativo. Portanto, seria necessário fazer da aritmética algo acima de qualquer suspeita – Hilbert dizia que não há espaço para o "não saberemos" (p. 151-152).

Russell propõe escrever os "Principia Mathematica" com seu amigo Whitehead, o intuito era resolver todos os problemas fundamentais (p. 157). Em seguida, Russell afirma que o número 3 é o conjunto de todos os conjuntos com 3 elementos, onde o fato de serem 3 seria a propriedade em comum que atenderia a definição de Bolzano (p. 162). - Esta ideia parece não estar de acordo com o uso corrente do número 3, pois, quando as pessoas se referem a este número, elas estão se dirigindo a um conjunto e situação específicos e não ao conjunto imaginado por Russell, além disso, trata-se de uma definição circular: insere o 3 em sua própria definição. - Mais tarde ele também questiona esta ideia ao propor um exemplo: o conjunto de todos os pássaros não é um pássaro, logo, não pode conter a si mesmo (p.163), esta ideia o levou a elaborar o paradoxo de Russell (que, por questões éticas, deveria se chamar paradoxo de Eubulides). Devemos observar uma sutileza neste exemplo, pois o conjunto "P", de todos os pássaros, não pode ser um pássaro, dado que sua cardinalidade (número de elementos) deve ser maior do que 1, portanto ele não pode ser um pássaro: Russell não observou esta nuance.

O intuicionista Poincaré gostou do paradoxo de Russell, pois era algo que ia contra o formalismo. Giuseppe Peano e Hilbert não ficaram muito felizes, porque eram pró-conjuntos e este paradoxo teria feito com que a teoria de Cantor não passasse de uma "teoria ingênua", dado que geraria uma contradição (o paradoxo de Russell) (p. 168-169). Outro que não ficou nada feliz com o paradoxo foi Frege, o pai da lógica moderna (p. 327), ele foi surpreendido por uma carta de Russell na véspera de lançamento de sua obra na qual escreveu:

"O paradoxo do Dr. Russell parece levar ao colapso não só os fundamentos da minha aritmética, como também os únicos fundamentos possíveis da aritmética como tal." (p. 170)

Russell tenta contornar o paradoxo propondo um exemplo sobre as castas da Índia: um membro da casta 4 pode ser barbeado por um membro da casta 3 e este por um da casta 2 o qual, por sua vez, seria barbeado apenas por alguém da casta 1 (Este teria que se barbear? Ou ficaria sem se barbear?). Estas reflexões fizeram com que ele desenvolvesse a "Teoria dos Tipos" que segue a mesma lógica do exemplo citado: um conjunto de determinado tipo só pode ter conjuntos de um tipo inferior (sem auto-inclusão), alguns conjuntos não podem conter conjuntos (como a casta nº1) (p. 174-175). Devemos ressaltar que os conjuntos que não possuem conjuntos (urelementos) são algo que não existe (MOTA, 2020b, p. 124-125).

As deficiências relatadas foram constatadas por Russell que desejou desistir da empreitada dos "Principia Mathematica", pois a Teoria dos Tipos estava se desintegrando (p. 177). Barker (1976, p.117), também afirma que a Teoria dos Tipos não resolve os paradoxos semânticos. O fato de Russell ter que escrever 362 páginas para provar que 1+1=2 retrata bem isto (p. 184-185, 245).

Em resumo, temos a seguinte sequência até aqui:

1- A matemática deve se basear na lógica;

2- Frege criou uma lógica formal com base na teoria dos conjuntos;

3- Russell "descobre" um paradoxo, frustrando os planos de Frege;

4- Russell e Whitehead tentam consertar isso.

O desfecho da sequência de fatos acima é desastrosa: Russell admite que o que fez não passa de uma "torre de tartarugas" em alusão à mitologia hindu (p. 189-190), o equivalente grego seria representado por Atlas, o homem que sustenta o mundo em suas costas, mas sobre o que ele estaria sustentado? (Sobre outro Atlas? Sobre o nada?) Daí vem a expressão "torre de tartarugas" de Russell, talvez a expressão mais apropriada fosse "cachorro querendo morder o próprio rabo", pois há um claro aspecto de círculo vicioso. O final foi trágico e lançou sua obra em total descrédito: a própria editora se recusou a publicar os "Principia" e disse que só o faria se os autores arcassem com os custos de impressão e editoração (p. 195). Russell admite que a teoria dos tipos é fraca e que eles não conseguiram tornar os fundamentos nem um pouco mais sólidos (p. 225), Poincaré acreditava que os símbolos de Russel incluíam, implicitamente, a aritmética (COSTA, 2008, p.73), ou seja: nada havia sido feito.

Almeida, (2017, p.61), afirma que a teoria dos tipos gerou outras dificuldades e impossibilitaria o desenvolvimento de áreas importantes da Matemática, isto levou Russell a inserir os axiomas da redutibilidade, do infinito e da escolha para contornar este problema. Porém, o caráter destes axiomas não seria puramente lógico, pois teriam eles influência empírica baseada no mundo real, desta forma, não seriam livres de contexto (puramente formais), nem a lógica, isolada, poderia fundamentá-los. 

Wittgenstein aparece como um entusiasta das ideias de Russell, para ele a linguagem não passa de um modelo, uma representação da realidade (um tipo de mapa) seguindo, claramente, uma visão correspondencial (p. 242, 258). Nesta fase, o filósofo ficou conhecido como o 1º Wittgenstein, neste momento ele afirmava que seu livro delimitaria a linguagem e, portanto, todo o pensamento (p. 261). É um fato que o pensamento e a filosofia podem ser expressos pela linguagem, mas sua tentativa de explicar quais os fundamentos básicos da linguagem fracassou (veja o capítulo específico sobre Wittgenstein).

Para os autores de Logicomix, a busca de Russell por uma certeza absoluta implicava numa profunda descrença na linguagem cotidiana. Assim como Frege, ele a via como uma deturpação do pensamento racional puro, desta forma ele a substituiu por uma versão artificial (p. 256), porém ele acabou reconhecendo seu fracasso com a lógica (p. 272).

Mais tarde, Russell se encontra com Gödel que afirma que os "Principia" não definem o conceito de demonstração, Russell lhe diz que algo é demonstrável, se e somente se, for verdadeiro. Fica claro que Gödel formula suas ideias a partir da obra de Russell (p. 273-274, 335), isto nos faz questionar os resultados por ele obtidos devido à quantidade de problemas envolvendo os trabalhos do aristocrata inglês (p. 336). Esta situação evidencia-se ao observarmos que Gödel demonstrou seu teorema da incompletude criando uma afirmação análoga a de Eubulides/Russell, enquanto este dizia "esta afirmação é falsa", aquele adaptou sua variante para "esta afirmação é indemonstrável" (p. 321).

O livro continua relatando alguns episódios do lado "humano" dos personagens: 

- Frege, o pai da lógica moderna, escrevendo ideias nazistas;

- Wittgenstein batendo em crianças durante suas aulas;

- David Hilbert internando seu filho num manicômio sem jamais visitá-lo (p. 275-282, 331).

A seguir, o grande matemático Von Neumann acaba concordando com os resultados apresentados por Gödel (p. 287, 341) - o clima era de unanimidade - Russell lamenta, pois partilhava do sonho de Leibniz de encontrar um método de cálculo para a solução de todos os problemas tanto da lógica quanto da vida, mas, para ele, não existe um caminho real para a verdade (p. 295-296).

O livro termina citando alguns fatos extras e reforçando outros:

- Os conectivos (e, ou, não e implica) já haviam sido identificados por Crisipo (século III A.C.) (p. 322);

- O cálculo de predicados (lógica de primeira ordem) é a extensão criada por Frege da lógica proposicional desenvolvida por Boole (p. 322). A obra “Investigação sobre as leis do pensamento” de George Boole (1815-1864), foi o passo inicial para a simbolização ou “matematização” da lógica, Boole desenvolveu aquilo que Aristóteles iniciara, apresentando um cálculo lógico, também conhecido como álgebra booleana (MORTARI, 2016, p. 50);

- Gödel sofreu de "melancolia profunda" e foi internado ao final da década de 1930, em 1978 ele pensava que queriam envenená-lo, ficou desnutrido e acabou falecendo (p. 329);

- O calculus raciotinator de Leibniz deveria ser tão rigoroso e racional que acabaria com qualquer desentendimento entre as pessoas, ele não conseguiu desenvolvê-lo (p. 332);

- Peano tentou criar uma língua natural auxiliar internacional baseada no latim, o que se mostrou apenas um sonho distante como outras tentativas neste sentido, por exemplo: esperanto, volapük e ido (p. 334-335);

- Poincaré via a teoria dos conjuntos como uma doença, para ele a lógica sem intuição era estéril, ele foi um opositor do formalismo (p. 335);

- Russell recebeu críticas por ter inserido o axioma da redutibilidade em seus "principia", pois seria "um método forçado e artificial para varrer para debaixo do tapete um problema que o livro estava tentando resolver" (p. 335);

- Russell acreditava que o 2º Wittgenstein havia descambado para o misticismo (p. 344) e Wittgenstein considerou que a obra de Russell estava repleta de "interpretações equivocadas e erros filosóficos" (p. 339);

- Quando dizemos "o 2º Wittgenstein", estamos nos referindo a um momento posterior de sua vida, no qual ele abandona sua fase de "atomista lógico". Nesta segunda fase, ele renega seu trabalho anterior dando espaço para "conceitos nebulosos" tais como “semelhança de família” e “jogos de linguagem”. Ele era filho de um dos homens mais ricos da Áustria e, para muitos, foi o maior filósofo do século XX (p. 343);

- Wittgenstein afirma, ao final de sua proposição nº7, a brilhante conclusão: "sobre aquilo que não podemos falar, é melhor ficarmos em silêncio" (p. 340), Alan Turing também discordava de Wittgenstein (p. 344);

2.7 TARSKI 1901-1983

"A teoria de Tarski tem sido, ultimamente, com grande probabilidade, a teoria da verdade mais influente e mais amplamente aceita" (HAACK, 2002, p.143).

“Embora a concepção tarskiana de verdade seja matematicamente útil, rigorosa e conduziu a desenvolvimentos importantes, a meu ver não é inteiramente satisfatória, pois não esclarece inteiramente a relação entre sentenças verdadeiras de uma determinada linguagem e a realidade física, empírica, observacional, em si.” (ALMEIDA, 2017, p. 117)

Ao lado de Aristóteles, Frege e Gödel, Tarski é considerado um dos quatro maiores lógicos de todos os tempos (SANT’ANNA, 2005, p17). Ele não obteve sucesso no tratamento da questão a respeito da formalização da linguagem natural e deixou claro que seus métodos devem ser encarados de forma restrita às linguagens artificiais-formais (TARSKI, 2007, p.12, 166). Também apresentou um ceticismo quanto ao poder de sua teoria para a abordagem de questões epistemológicas (teoria do conhecimento científico), o mesmo pode ser dito para as ciências empíricas (experimentais).

A semântica pode ser entendida, geralmente, como o estudo do significado, esta concepção é sustentada por diversos autores (IBAÑOS&SILVEIRA, 2002, p.319). Tarski defende que sua teoria deve ser encarada como algo neutro em relação às concepções de mundo e de linguagem, porém, em seu artigo "O estabelecimento da semântica científica", ele se aproxima de uma proposta de linguagem fisicalista (ou seja: ligada a uma concepção de mundo) como linguagem geral da ciência (TARSKI, 2007, p.11, 13, 190). Esta aparente contradição não aparece sozinha no repertório de Tarski, de fato, inicialmente, ele estabelece a seguinte definição denominada "esquema T" (o “T” seria de Tarski ou de True?):

'x' é uma sentença verdadeira ⇔ x

Por exemplo: ('a neve é branca' é uma sentença verdadeira) ⇔ (a neve é branca), o lado esquerdo da equivalência deve ser visto como um nome ou uma referência/representação de algo (TARSKI, 2007, p.217), o lado direito diz respeito a algo em si. Quine concorda que colocar uma expressão entre aspas indica uma representação desta expressão, da qual não faria parte (HAACK, 2002, p. 203). Poderíamos imaginar o “esquema T” como uma função com domínio na linguagem natural e contradomínio na realidade, seria um modo de interpretar a verdade de forma correspondencial (como correspondendo à realidade). Novamente, isto contraria a alegação de que sua teoria deva ser encarada como neutra em relação às concepções de mundo - Popper sustenta este ponto de vista (TARSKI, 2007, p.14). Parece que Tarski não quis assumir que seu "esquema T" não passava de uma definição correspondencial de verdade, pois isto prejudicaria sua originalidade, Bertrand  Russell (em "A filosofia do atomismo lógico") e Wittgenstein (no "Tractatus") também defendiam esta concepção (HAACK, 2002, p.160).Tudo isto fica evidenciado quando ele diz:

"Gostaríamos que nossa definição fizesse justiça às intuições que seguem a concepção clássica aristotélica da verdade(...)" (TARSKI, 2007, p.160) - Ver p.187 como acréscimo.

Ele explica que toda equivalência da forma do "esquema T" pode ser considerada uma definição parcial de verdade e que a definição geral deveria ser uma conjunção de todas as definições parciais (TARSKI, 2007, p.163) e (HAACK, 2002, p.149), logo, tendo isto em mente, somos levados a questionar a utilização de variáveis em sua definição: ela não indicaria esta conjunção de forma automática? - No entanto, o próprio Tarski argumenta que uma definição conjuntiva seria impossível devido ao número de definições parciais poder ser infinito.

Quando confrontado a respeito da pretensa neutralidade de sua teoria, Tarski chegou a dizer que ela funcionava perfeitamente para linguagens formalizadas e que, portanto, pouco importava se ela estivesse ou não relacionada com a noção comum de verdade, podendo-se até mesmo utilizar-se do termo "ferdadeiro" para sua teoria (TARSKI, 2007, p.16). Este episódio estranho nos faz imaginar uma situação na qual uma pessoa perguntasse para Tarski: "Tua teoria é verdadeira ou falsa?", então ele se veria num dilema, pois qualquer resposta que ele desse o faria adotar uma concepção comum de verdade, deixemos que o próprio Tarski nos fale mais a respeito de suas ideias:

"Pois, embora o significado da expressão 'sentença verdadeira', na linguagem coloquial, pareça ser bem claro e inteligível, todas as tentativas de definir tal significado com mais precisão foram até hoje infrutíferas(...). Não é a intenção aqui fazer uma análise completa e detalhada do significado do termo 'verdadeiro' em uso na vida cotidiana." (TARSKI, 2007, p.20)

"No parágrafo 1°, o objeto de nossa discussão é a linguagem coloquial. A conclusão final é totalmente negativa. Nessa linguagem, parece impossível definir a noção de verdade e até mesmo aplicar tal noção de maneira consistente e concordante com as leis da lógica (...). Para as linguagens desse grupo (linguagens mais ricas), jamais seremos capazes de construir uma definição correta da noção de verdade." (TARSKI, 2007, p.21)

"A tentativa de estabelecer uma definição estrutural do termo 'sentença verdadeira' - aplicável à linguagem natural - é confrontada com dificuldades insuperáveis." (TARSKI, 2007, p.31)

Estas frases de Tarski refletem o fato de não termos que esperar muito desta teoria no que se refere à linguagem natural, isto contrasta com o fato dela abranger, gerar e poder explicar as linguagens formalizadas. Sua fala também causa estranheza, pois difere a verdade, presente na linguagem natural, daquela utilizada em línguas artificiais, como se houvesse uma verdade para cada uma das linguagens. Ele mesmo utiliza a linguagem cotidiana (que utilizaria uma verdade indefinível) para explicar sua teoria, portanto estamos diante de um cenário muito problemático.

Tarski assume que sua análise é incompleta e não detalhada no contexto da "vida cotidiana", seu fracasso fica evidenciado pelas seguintes passagens:

"(…) abandono agora a tentativa de resolver nosso problema para a linguagem cotidiana e restrinjo-me, daqui em diante, inteiramente às linguagens formalizadas. Estas podem ser aproximadamente caracterizadas como linguagens artificialmente construídas nas quais o sentido de toda expressão é univocamente determinado por sua forma." (TARSKI, 2007, p.33)

"(...) todas as tentativas de caracterizar esse significado (da semântica) de maneira geral e exata fracassaram." (TARSKI, 2007, p.165)

Parece ter sido uma grande decepção, pois o próprio Tarski reconhece que a linguagem natural tem caráter universal em comparação com as linguagens formais-artificiais (TARSKI, 2007, p.32, 35, 217). Tudo leva a crer ter ele sido influenciado pelos trabalhos de Gödel e Russell ao acreditar que os paradoxos, que ocorrem na linguagem cotidiana, são barreiras intransponíveis que nos impedem de trabalhar com ela: as linguagens universais seriam inconsistentes por natureza, logo deveríamos restringir-nos às linguagens construídas de forma artificial, sendo estas livres de inconsistências. Dada a crescente influência contemporânea dos trabalhos de Kurt Gödel, ele seguiu pelo caminho já pavimentado, simplesmente disse que qualquer tentativa de abarcar, teoricamente, todas as linguagens imagináveis ou construtíveis estaria condenada a falhar (TARSKI, 2007, p.78). Pensamos que a simples menção às antinomias (paradoxos) seja insuficiente para sustentar esta perspectiva (MOTA, 2020a), mas novamente ele parece mudar de ideia ou, pelo menos, se questionar a respeito:

"Quem quer que deseje apesar de todas as dificuldades, perseguir a semântica da linguagem coloquial com o auxílio de métodos exatos será levado primeiro a empreender a tarefa ingrata de uma reforma dessa linguagem. Ele achará necessário definir sua estrutura, superar a ambiguidade dos termos que ocorrem nela e, finalmente, dividir a linguagem em uma série de linguagens de cada vez maior extensão, cada uma das quais está na mesma relação para a próxima na qual uma linguagem formalizada está com sua metalinguagem. Pode-se, contudo, duvidar se a linguagem da vida cotidiana, depois de ter sido 'racionalizada' dessa maneira, iria ainda preservar sua naturalidade e se ela não iria, ao invés disso, tomar aspectos característicos das linguagens formalizadas." (TARSKI, 2007, p.137)

"(...) a metalinguagem deve conter a linguagem objeto como uma parte sua." (TARSKI, 2007, p.170)

Vemos que Tarski se contradiz novamente ao considerar a possibilidade de tratar a linguagem natural de forma "exata", algumas pessoas argumentaram que a limitação da definição de verdade de Tarski constituiria um ponto fraco, pois "verdadeiro-em-L" seria inferior a "verdadeiro", tanto é que uma mesma frase pode ser verdadeira em uma linguagem e falsa ou sem sentido em outra, portanto a definição de Tarski não é absoluta, mas apenas relativa (HAACK, 2002, p.123, 161-162). Podemos perceber uma influência de Russell que propôs sua teoria dos tipos basicamente com o intuito de evitar paradoxos. Em resumo, esta teoria nos diz que há uma hierarquia de tipos, isto influenciou os trabalhos de Gödel e Tarski que adaptaram esta ideia com a noção de metalinguagem que nada mais é do que uma hierarquia de linguagens:

"As pessoas não se deram conta de que a linguagem da qual falamos não precisa coincidir, de forma alguma, com a linguagem na qual falamos. Fez-se a semântica de uma linguagem na própria linguagem e, de modo geral, procedeu-se como se houvesse apenas uma linguagem no mundo. A análise das antinomias (paradoxos) mencionadas mostra, ao contrário, que os conceitos semânticos simplesmente não têm lugar na linguagem à qual eles se relacionam, que a linguagem que contém sua própria semântica e na qual valem as leis usuais da lógica, inevitavelmente deve ser inconsistente." (TARSKI, 2007, p.150)

Tarski inicia sua fala utilizando a linguagem na qual falamos para falar a respeito da linguagem da qual falamos (outra atitude contraditória), em seguida critica o ato de tomarmos a semântica (significados) de uma linguagem dentro dela mesma e, novamente, sustenta esta posição apenas sobre a questão dos paradoxos. Deve-se registrar que Kripke propôs uma teoria da verdade derivada da de Tarski, com a intenção de dar conta dos paradoxos (HAACK, 2002, p.128-129, apud, KRIPKE, 1975), o mais correto é desconsiderar seus estudos, já que suas ideias são derivadas das de Tarski cujos problemas já estão bem evidentes. O mesmo pode ser dito a respeito de Davidson (outro discípulo de Tarski) que discordava dele sobre não ser possível formalizar a linguagem natural (HAACK, 2002, p.148). 

Vejamos como Tarski tenta contornar a questão da semântica:

"A descrição de uma linguagem é exata e clara apenas se ela é puramente estrutural, ou seja, se empregamos nela somente os conceitos relacionados com a forma e o arranjo dos signos e expressões compostas da linguagem." (TARSKI, 2007, p.151)

Aqui vemos uma postura tradicional da lógica que é desprezar o contexto das expressões da linguagem, tomando em consideração apenas sua "forma" o que resulta em fórmulas produzidas a partir de um alfabeto restrito composto por conectivos lógicos, variáveis, constantes, quantificadores etc., ver (ALMEIDA, 2017, p.61). Este subterfúgio tem-se mostrado uma constante no comportamento dos lógicos que, por não compreenderem a linguagem natural, refugiam-se no formalismo, desprezando os contextos. O uso da sintaxe controlada evita o surgimento de paradoxos, este é um ponto crucial a ser tratado, pois a limitação da sintaxe evitou o desenvolvimento de um completo entendimento da linguagem natural, isto só veio a ser corrigido com a TNL. 

"O próprio fato de ter sido possível definir os conceitos semânticos, pelo menos para linguagens formalizadas, de maneira correta e adequada parece ser não inteiramente sem importância do ponto de vista filosófico." (TARSKI, 2007, p.155)

Nesta fala podemos reparar uma insinuação para a filosofia (será que Tarski temeu uma rejeição por parte da matemática ou da lógica?). Apesar disto, ele apresenta uma postura de desdém em relação à filosofia e aos filósofos:

"No que diz respeito ao termo 'proposição', seu significado é notoriamente um assunto de longas disputas de vários filósofos e lógicos, e parece nunca ter sido tornado inteiramente claro e não ambíguo." (TARSKI, 2007, p.159)

"A palavra 'verdadeiro', como outras palavras de nossa linguagem cotidiana, certamente não está isenta de ambiguidade. E não me parece que os filósofos que discutiram esse conceito tenham ajudado a diminuir sua ambiguidade.(...) Contudo, todas essas formulações podem levar a várias confusões, pois nenhuma delas é suficientemente precisa e clara (...). De qualquer modo, nenhuma delas pode ser considerada uma definição satisfatória de verdade." (TARSKI, 2007, p.160-161)

Estas opiniões estão corretas, pois os filósofos utilizam a linguagem natural sem tê-la entendido completamente, sem ter mergulhado em suas estruturas mais profundas, no entanto Tarski deveria ter um posicionamento autocrítico. 

"Espero que nada do que aqui é dito seja interpretado como uma alegação de que a concepção semântica da verdade seja a concepção 'certa' ou, de fato, a única possível. Não tenho a mínima intenção, de forma nenhuma, para aquelas discussões sem fim, frequentemente ardentes, sobre o tema: 'Qual é a concepção certa de verdade?'. Devo confessar que não entendo o que está em questão em tais disputas, pois o próprio problema é tão vago que nenhuma solução definitiva é possível.(...) Disputas desse tipo não estão de modo algum restritas à noção de verdade. Elas ocorrem em todo domínio no qual - em vez de uma terminologia exata e científica - a linguagem comum, com sua vaguidade e ambiguidade é usada. E elas são sempre destituídas de significado e, portanto, vãs. (...) Especificamente a respeito da noção de verdade é, sem dúvida, o caso que em discussões filosóficas - e talvez também no uso cotidiano - podem ser encontradas algumas concepções incipientes dessa noção, que diferem essencialmente da concepção clássica (da qual a concepção semântica é apenas uma forma modernizada). De fato, várias concepções desse tipo foram discutidas na literatura, por exemplo, a concepção pragmática, a teoria da coerência etc." (TARSKI, 2007, p.179-180)

Comentaremos estes trechos dividindo-os em 3 partes:

1) Tarski nos diz, conforme fizemos citação à página 155, que via certa relevância em seus estudos para a filosofia. Por acaso ele não disse que não tinha nenhuma pretensão deste tipo?

2) Em seguida, afirma que não vê sentido em buscar uma concepção correta do conceito de verdade, mas, de acordo com Haack (2002, p. 163-164) o mesmo pode ser dito do fornecimento de um critério de verdade ou da aplicação de sua teoria às ciências empíricas. Ele condena o uso da linguagem comum afirmando que suas disputas são sempre destituídas de significado e vãs. Acaso ele não faz uso da linguagem comum durante este desabafo? Dizer que tais discussões são "sempre" vãs não condenaria a motivação de seu trabalho?

3) Ele afirma que sua concepção de verdade não passa de uma versão "modernizada" da versão clássica. Ora, isto não seria outra incoerência dado que ele alegou que sua teoria deveria ser vista como algo neutro em relação às concepções de mundo? (vide citação da página 14).

"Parece-me que nenhuma dessas concepções foi até agora colocada de forma inteligível e inequívoca. Isso, contudo, pode mudar. Pode chegar o momento em que nos encontraremos diante de diversas concepções de verdade, incompatíveis mas igualmente claras e precisas. Tornar-se-á, então, necessário abandonar o uso ambíguo da palavra 'verdadeiro' e, em seu lugar, introduzir diversos termos, cada um para denotar uma noção diferente. Pessoalmente, não me sentiria magoado se um congresso mundial futuro de 'teóricos da verdade' decidisse - por maioria de votos - reservar a palavra 'verdadeiro' para uma das concepções não clássicas, e sugerisse uma outra palavra digamos 'ferdadeiro', para a concepção aqui considerada. Mas não posso imaginar que alguém possa apresentar argumentos fortes de que a concepção semântica esteja 'errada' e deva ser inteiramente abandonada.(...) As objeções específicas que foram levantadas contra minhas investigações podem ser divididas em diversos grupos, cada um será discutido separadamente.(...) Contudo, duvido muito que alguma delas possa ser considerada seriamente." (TARSKI, 2007, p.181)

Neste momento, Tarski demonstra um receio dos rumos que o estudo da verdade tomarão, isto fica evidente quando ele considera a possibilidade de sua teoria ser, ao menos, parcialmente abandonada, além disso, sua postura de menosprezo em relação às críticas contrasta com sua atitude em classificá-las e respondê-las.

"Algumas pessoas insistiram, portanto, que o termo 'verdadeiro', no sentido semântico, pode sempre ser eliminado, e que por essa razão a concepção semântica da verdade é completamente estéril e inútil. E uma vez que as mesmas considerações se aplicam a outras noções semânticas, tem-se concluído que a semântica como um todo é um jogo puramente verbal e, no melhor dos casos, um passatempo inofensivo." (TARSKI, 2007, p.185)

Este relato de crítica nos faz entender o ressentimento inicial de Tarski, pois observa-se uma atmosfera repleta de ironia e cinismo, porém isto não muda o fato desta crítica ter fundamento, pois, de fato, deve-se objetar seu uso indiscriminado da linguagem comum (jogo verbal).

Também podemos questionar a pretensa aversão à ambiguidade de Tarski, pois o conceito de existência não seria equivalente ao conceito de verdade? O que é verdadeiro existe? O que existe é verdadeiro?  Deve-se questionar isto, pois (a sentença 'x' é verdadeira) equivale à x de acordo com o próprio "esquema T".

"Além disso, levantaram-se dúvidas se a concepção semântica reflete a noção de verdade em seu uso diário e de senso comum. Vejo claramente (como já indiquei) que o significado comum da palavra 'verdadeiro' - como de qualquer outra palavra da linguagem cotidiana - é em certa medida vago, e que seu uso mais ou menos flutua. Logo, o problema de conferir a essa palavra um significado fixo e exato é relativamente não especificado, e toda solução para esse problema implica necessariamente certo desvio da prática da linguagem cotidiana.(...) Apesar de tudo isso, acontece que acredito que a concepção semântica se conforme, sim, de forma bastante considerável, com o uso de senso comum - embora eu admita prontamente que possa estar enganado." (TARSKI, 2007, p.187)

Temos, novamente, uma contradição com a proclamada neutralidade de sua teoria, além disso, ao afirmar que a palavra 'verdadeiro' assim como qualquer outra palavra da linguagem cotidiana é vaga com uso flutuante (em certa medida que ele não diz qual é), surge a questão do por quê ele insiste em utilizar a linguagem cotidiana em sua análise. Aliás, como alguém pode dizer que todas as palavras são vagas? Isto é algo muito forte e parece nos remeter a uma incompreensão completa da linguagem ou a um estado mental desprovido de suas faculdades elementares. Mas ele diz "acreditar" em sua concepção... Deveríamos encarar isto como uma questão de crença assim como ele o fez? No fim ele admite que pode estar errado, novamente somos levados a crer que ele comete outra incoerência com suas próprias palavras, pois, na página 181 citada, ele afirma que os questionamentos contrários a sua teoria não deveriam ser considerados seriamente.

Portanto, não fiquei de modo algum surpreso ao saber que (em uma discussão dedicada a esses problemas), em um grupo de pessoas que foram ouvidas, apenas 15% concordaram que 'verdadeiro' significa para elas 'concordar com a realidade', enquanto 90% concordaram que uma sentença tal como 'está nevando' é verdadeira se, e somente se, está nevando." (TARSKI, 2007, p.188)

Aqui Tarski tenta legitimar sua concepção "perguntando para as pessoas" o que elas achavam, devemos reparar que 5% das pessoas disseram que as duas concepções são equivalentes. Mas é claro que detalhes de como tal pesquisa foi feita não foram disponibilizados. 

"Ouvi a informação de que a definição formal da verdade não tem nada a ver com o 'problema filosófico da verdade'. Contudo, ninguém nunca me indicou, de forma inteligível, o que exatamente é esse problema. Fui informado, a esse respeito, que minha definição, embora enuncie condições necessárias e suficientes para uma sentença ser verdadeira, não apreende realmente a 'essência' desse conceito. Uma vez que nunca fui capaz de entender o que é a 'essência' de um conceito, devo ser desculpado por não discutir mais esse ponto. De modo geral, não acredito que haja uma tal coisa como 'o problema filosófico da verdade'(…)" (TARSKI, 2007, p.188)

Esta crítica a respeito da filosofia tem sentido, pois esta disciplina não possui um encadeamento lógico nem dispõe de uma organização clara ou proposta sistemática de questões em aberto, aliás nem deve ter tal objetivo ou capacidade. Quanto à questão da palavra “essência”, sua etimologia está relacionada com o verbo ser (em latim “esse”), que indica aquilo o que as coisas são, sinceramente não há nenhuma dificuldade em entender ou mitificar este termo simples. Portanto, quando Tarski diz que nunca foi capaz de entender o significado do que seria a “essência de um conceito”, a melhor resposta possível seria dizer-lhe que “é aquilo que o conceito é”.

"A concepção semântica da verdade foi acusada diversas vezes de envolver certos elementos metafísicos." (TARSKI, 2007, p.180)

"A questão toda depende obviamente do que se entende por 'metafísica'. Infelizmente, essa noção é extremamente vaga e equívoca. Ao se acompanharem discussões a esse respeito, às vezes, tem-se a impressão de que o termo 'metafísico' perdeu qualquer significado objetivo, e que é usado apenas como um tipo de injúria filosófica profissional. Para alguns, a metafísica é uma teoria geral dos objetos (ontologia) - uma disciplina a ser desenvolvida de forma puramente empírica e que difere de outras disciplinas apenas por sua generalidade - Não sei se tal disciplina realmente existe (...). Para a maioria, contudo, o termo 'metafísico' é utilizado em oposição direta - em um sentido ou outro - a empírico." (TARSKI, 2007, p.191)

Estas palavras refletem o que foi discutido acima, pois a filosofia não define seus termos de forma exata e, de acordo com uma corrente ou outra, ela é capaz de apresentar versões incompatíveis de ideias. Ela pode ser encarada como um tipo de esboço e levantamento de hipóteses informais sobre determinados assuntos: um espaço de conjecturas e disputas.

"Falando de forma mais séria, não desejo negar que o valor do trabalho de um homem possa ser aumentado por suas aplicações na pesquisa e na prática de outros. Entretanto, acredito ser prejudicial ao progresso da ciência medir a importância de qualquer pesquisa exclusiva ou prioritariamente em termos de sua utilidade ou aplicabilidade." (TARSKI, 2007, p.201)

"De modo mais específico, iremos nos concentrar exclusivamente no significado do termo 'verdadeiro' quando usado com referência a sentenças. Este era, presumivelmente, o uso original na linguagem humana. Sentenças são aqui tratadas como objetos linguísticos como certas sequências de sons ou signos escritos. (Obviamente, nem toda sequência desse tipo é uma sentença). Além disso, quando falarmos de sentenças, deveremos ter sempre em mente aquilo que, em gramática, são chamadas sentenças declarativas e não sentenças interrogativas ou imperativas." (TARSKI, 2007, p.204)

"Algumas outras concepções e teorias da verdade, tais como a concepção pragmática e a teoria da coerência, são discutidas na literatura filosófica moderna. Estas concepções parecem ser de caráter exclusivamente normativo e têm pouca conexão com o uso real do termo 'verdadeiro'. Nenhuma delas foi até agora formulada com um bom grau de clareza e precisão. Neste artigo, essas concepções e teorias não serão discutidas.(...) Tentaremos aqui obter uma explanação mais precisa da concepção clássica de verdade, uma explanação que possa superar a formulação aristotélica e que preserve, ao mesmo tempo, suas intenções básicas." (TARSKI, 2007, p.205)

Quando Tarski nos diz que a importância de uma pesquisa não deve se fundamentar em sua utilidade ou aplicabilidade, creio que ele tenta responder às críticas que afirmam que sua concepção não passa de algo equivalente ao correspondencialismo. Repare que Tarski admite que sua versão conserva as intenções básicas da formulação aristotélica (que é correspondencial), porém ele nos diz que o objetivo era explanar tal concepção de uma forma melhor, por considerá-la insatisfatória (HAACK, 2002, p. 159, apud TARSKI, 1944, p. 54). Suas críticas contra outras "definições" modernas de verdade têm sentido, de acordo com Haack (2002, p. 156, apud BLACK, 1948, p. 260), esta postura de Tarski, com respeito a tais teorias de verdade divergentes, seria o suficiente para evidenciar sua falta de relevância, segundo Black. Outro ponto interessante aqui é que ele admite, mais uma vez, o caráter de incompletude de seu trabalho, pois desconsidera sentenças interrogativas e imperativas, além disso, podemos limitar ainda mais o escopo de seu trabalho ao considerar que ele ignora os problemas gerados por sentenças que contém dêiticos como "eu", “aqui” e "agora" (HAACK, 2002, p.160, 318).

"Quando falamos alguma coisa acerca de um objeto, usamos sempre o nome desse objeto e não o próprio objeto, mesmo quando lidamos com objetos linguísticos." (TARSKI, 2007, p.207)

Aqui há uma reflexão a respeito do “esquema T” ('p' é verdadeira ⇔ p). Este pensamento está correto, mas poderíamos tomá-lo de forma extrema, pois p já é um nome que indica um objeto, logo não é o objeto em si (a não ser que estejamos nos referindo à letra p). Também poderíamos descartar o lado esquerdo da equivalência do esquema T ('p' é verdadeira) e dizermos apenas p. Ele mesmo discute que, ao invés de dizer que 'é verdadeiro que todos os gatos são pretos', podemos dizer simplesmente que 'todos os gatos são pretos' (TARSKI, 2007, p.215).

"Ao tentar preparar uma lista completa das sentenças em português (original inglês), deparamo-nos de início com a dificuldade de as regras da gramática portuguesa não determinarem com precisão a forma das expressões (sequências de palavras) que devam ser contadas como sentenças.(...) Além disso, o conjunto de todas as sentenças em português é, ao menos potencialmente, infinito. (...) Dessas observações, não se deduz que a desejada definição de verdade para sentenças quaisquer em português não possa, por alguma outra via, ser obtida - quem sabe, talvez, usando outra ideia. Entretanto, existe uma razão mais séria e fundamental que parece eliminar tal possibilidade. Mais que isso, a mera suposição de que um uso adequado do termo 'verdadeiro' (com referência a sentenças quaisquer em português) foi assegurado por qualquer método parece levar a uma contradição. O argumento mais simples que fornece tal contradição, conhecido como antinomia do mentiroso (…)" (TARSKI, 2007, p.211)

"O aparecimento de uma antinomia é, para mim, sintoma de uma doença (...) sempre que isso acontece, temos de submeter nossos modos de pensar a uma completa revisão: rejeitar algumas premissas nas quais acreditávamos…" (TARSKI, 2007, p.214)

Nesta parte vemos uma crítica que, de fato, faz sentido quanto à gramática, pois ela nos fornece uma descrição insatisfatória em vários sentidos (vide capítulo 1). Vemos, novamente, que Tarski lança mão do paradoxo do mentiroso para sustentar seu ponto de vista, sua abordagem é questionável, pois comparar paradoxos com doenças parece impedir um tratamento mais sério da questão, e foi o que ele fez quando evitou este problema, contornando-o ao invés de enfrentá-lo. Tal atitude lembra muito a de Russell quando ele formulou a teoria dos tipos para contornar os problemas que o paradoxo do mentiroso causara para a matemática, hoje esta teoria está praticamente descartada como fundamento da matemática e nem podemos dizer que ela resolve os paradoxos (COSTA, 2008, p. 88, 90).

"(...) não tenho em mente qualquer coisa essencialmente oposta às linguagens naturais. Pelo contrário, as únicas linguagens formalizadas que parecem ter real interesse são aquelas que constituem fragmentos de linguagens naturais (...) ou aquelas que podem ao menos ser traduzidas adequadamente em linguagens naturais (...) A metalinguagem deve ser suficientemente rica, devendo, em particular, incluir a linguagem-objeto como parte." (TARSKI, 2007, p.219)

Já vimos que Tarski coloca a linguagem natural como universal, portanto faz sentido dizer que as linguagens formalizadas são meros fragmentos da linguagem natural. Portanto, de acordo com estas premissas, a metalinguagem "maximal" deveria ser justamente a linguagem natural, pois ela incluiria todas as linguagens artificiais, até mesmo aquelas que, aparentemente são ininteligíveis, podem ser traduzidas em linguagem natural.

"A antinomia do mentiroso apareceu inicialmente em nossa discussão como uma força maligna de grande poder destrutivo, tendo nos compelido a abandonar todas as tentativas de aclarar a noção de verdade para linguagens naturais. Tivemos que restringir nossos esforços a linguagens formalizadas do discurso científico. Como salvaguarda contra um possível reaparecimento da antinomia, tivemos de complicar consideravelmente a discussão, fazendo a distinção entre uma linguagem e sua metalinguagem. Em sequência, entretanto, no novo e restrito cenário, conseguimos subjugar essa energia destrutiva e utilizá-la para propósitos pacíficos e construtivos. A antinomia não apareceu, mas sua ideia básica foi usada para estabelecer um resultado metalógico importante e de amplas implicações." (TARSKI, 2007, p.232)

Este ponto de vista toma o paradoxo do mentiroso como algo místico. Foi justamente sua incompreensão que gerou a complicação citada e a limitação imposta, Tarski compara o paradoxo a uma “força maligna” e a uma “energia destrutiva” e nos diz que ela foi subjugada, mas como isto é possível se ele simplesmente utilizou-se de subterfúgios que possibilitaram evitá-la? Fica evidenciado, por suas próprias palavras, que ele contornou a situação e tentou divagar a respeito de propósitos "pacíficos e construtivos". Infelizmente ele não está vivo para se posicionar, mas acredito que a comunidade científica deva refletir seriamente sobre tais pensamentos e construções mal embasadas, pois estas acabam inserindo-se, sorrateiramente, dentro daquilo que deveria ser exato.

"Com respeito à clareza de seu conteúdo, o conceito comum de consequência de modo algum é superior a outros conceitos da linguagem cotidiana. Sua extensão não é precisamente delimitada, e seu uso varia. Qualquer tentativa de harmonizar todas as possíveis tendências vagas, às vezes contraditórias, que estão associadas com o uso desse conceito, certamente está condenada ao fracasso." (TARSKI, 2007, p.235)

"Eu absolutamente não sou da opinião de que, no resultado dessa discussão, o problema de uma definição materialmente adequada do conceito de consequência tenha sido completamente resolvido. Pelo contrário, vejo ainda muitas questões em aberto (…)" (TARSKI, 2007, p.244)

"A definição proposta por Carnap pode ser assim formulada:

A sentença X segue-se logicamente das sentenças da classe K se e somente se a classe constituída de todas as sentenças de K e da negação de X seja contraditória." (TARSKI, 2007, p.240)

Tarski critica o caráter vago da definição de consequência e age como uma espécie de profeta ou legislador ao dizer que todas as tentativas neste sentido estão condenadas ao fracasso. Certamente isto é algo que não condiz com o que deve ser feito no universo do conhecimento, pois trata-se de uma censura velada, sem justificativas e superficial. 

A definição de Carnap, que ele cita, pode ser simplificada por K=>X <=> °.(K e °X) o que é equivalente a dizer que não é possível que K ocorra e X não ocorra, trata-se de uma definição escrita de forma diferente, mas que diz a mesma coisa que a definição de implicação lógica.

De acordo com Haack (2002, p.144), Tarski propõe uma "condição de adequação material": toda definição aceitável de verdade deve gerar todas as instâncias do esquema T ('x' é uma sentença verdadeira <=> x). O x pode ser trocado por qualquer sentença da linguagem formalizada em questão, enquanto 'x' representa o nome da sentença. Uma instância nada mais é do que um caso particular (por exemplo: 'chove' é verdadeira ⇔ chove). E o que seria uma "condição de adequação material" na prática? Bem, a autora nos diz que isto significa que qualquer definição de verdade, que seja materialmente adequada, deve gerar todos os "casos particulares" (instâncias de T). Desta forma, o esquema T não nos daria um significado para "verdadeiro", mas apenas a extensão desta palavra: algo que se aplica a todas definições de verdade aceitáveis nestes termos. Cabe destacarmos que a palavra "material" nos remete a uma visão fisicalista do mundo (o que leva ao correspondencialismo), mas, de acordo com Haack (2002, p. 158, apud FIELD), Tarski também não foi bem sucedido em reduzir a semântica a entes primitivos adequados do ponto de vista físico. Haack continua sua análise crítica e afirma (p.146) que a "condição de adequação material" não é eficaz para eliminar definições "bizarras" de verdade que seriam consistentes com o esquema T.

2.8 GÖDEL 1906-1978

David Hilbert desejava axiomatizar toda a Matemática num sistema que fosse consistente e completo, ou seja:

1- Partindo-se dos axiomas, seria impossível obter uma contradição (consistência);

2- Qualquer sentença poderia ser demonstrada mediante estes axiomas (completude).

Sabe-se que, mediante a Teoria dos Conjuntos, cujos estudos foram iniciados por Georg Cantor (1879), é possível definir os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, as operações aritméticas e assim por diante (STEWART, 2009, p.214). Portanto, se houvesse uma base axiomática para a Teoria dos Conjuntos, toda a Matemática estaria bem fundamentada, pois seria consistente e completa. Acredita-se que Kurt Gödel, em 1931, provou que David Hilbert estava errado, seus resultados nos dizem que matemática não pode ser totalmente axiomatizada. Gödel apresentou dois resultados que fizeram o “Programa de Hilbert” ser abandonado:

1) Qualquer sistema formal rico o suficiente para conter a aritmética, conteria proposições indecidíveis: coisas que não podem ser provadas nem refutadas; 

2) Se tal sistema for consistente, então não é possível que ele prove sua própria consistência.

“Gödel montou sua proposição indecidível encontrando uma versão formal do paradoxo lógico ‘esta afirmação é falsa’, ou, mais precisamente, ‘esta afirmação não possui uma prova’.” (STEWART, 2009, p. 216)

Realmente, a estratégia de sua prova relaciona-se com o paradoxo mais antigo (o paradoxo do mentiroso), Gödel apresenta a proposição “esta própria sentença não é dedutível dentro deste sistema”, que é análoga a este paradoxo. Em seu artigo, ele usa os paradoxos do mentiroso e de Richard para tentar explicar seu raciocínio (NAGEL&NEWMAN, 1973, p.57), porém, “todas as outras formulações de sua prova” (por exemplo: a de Alan Turing) usaram paradoxos diferentes dos de Gödel. “Esses paradoxos, embora diferentes entre si, são todos da variedade auto-referencial.” (GOLDSTEIN, 2008, p.140-142). Paradoxos auto-referenciais geram coisas inexistentes, o que nos faz voltar à crítica de que Gödel usou algo inexistente em seus trabalhos. Outro fator crítico é que ele baseou-se na Teoria dos Tipos (FAJARDO, 2017, p.145), cuja fundamentação, conforme temos visto, apresenta sérios problemas.

A lógica convencional admite a lei do 3º excluído (ou meio excluído): toda afirmação ou é verdadeira ou é falsa, não existe outra possibilidade. De acordo com Almeida (2017, p. 101), existe uma tradição que, desde a época de Aristóteles, afirma haver apenas três princípios fundamentais para o pensamento válido: 

1. O princípio da identidade: para todo x, tem-se x=x;

2. O terceiro excluído: toda afirmação é verdadeira ou falsa, não existindo meio termo ou qualquer possibilidade extra;

3. A não contradição: não pode ocorrer “x” e “não x” ao mesmo tempo.

Vimos que Frege, o pai da lógica moderna, pensava que dizer “x=x” equivaleria a dizer que x existe. Aristóteles, Leibniz, Kant, Hilbert, Poincaré e Cantor também concordavam com o princípio da não-contradição, portanto, o raciocínio que veremos a seguir é contrário ao que diziam os maiores matemáticos e lógicos do passado. Gödel formulou uma expressão equivalente ao paradoxo de Russell que, por sua vez, desobedece este princípio fundamental. Em outras palavras, Gödel faz referência a um x∉x em suas demonstrações (versão formal do Paradoxo de Russell), porém, o que estamos dizendo é que x∉x↔∄x o que contraria o princípio da identidade ∀x (x=x). Se x∉x↔∄x é válida, não seria incorreto utilizar algo inexistente para provar um teorema referente à realidade matemática? Gödel também parece pensar contrariamente ao axioma da extensão de Zermelo-Fraenkel que afirma: “dois conjuntos são iguais se eles possuem os mesmos elementos”, pois, aplicando este axioma a dois conjuntos x e y, com x=y, temos que x=x, o que é óbvio, já que todo x deve possuir seus próprios elementos. Tomar um x diferente de si mesmo, seria como dizer que x não possui seus próprios elementos (um x inexistente). 

 

O teorema da correção de Gödel afirma que consequência sintática implica consequência semântica, ou seja, o sistema de axiomas implica apenas fórmulas válidas. Essa seria uma forma de dizer que a sintaxe independe da semântica, algo crítico em minha opinião, pois cada símbolo/palavra possui um significado intrínseco, mesmo que ele seja representado apenas por um caractere. Assim sendo, haveria uma distinção dos símbolos os quais, regidos por regras desprovidas de significado, gerariam fórmulas válidas. Seu teorema da completude nos diz que (consequência semântica)→(consequência sintática), logo, se uma fórmula é válida, então ela pode ser provada pela axiomática. Este teorema também não deve ser encarado como algo tão sólido e idealizado pois, de acordo com Carnielli et al. (2006, p. 393), em 1950, o matemático russo Boris Trakhtenbrot provou que o teorema da completude falha quando restrito a estruturas finitas.

O 1° teorema da incompletude de Gödel afirma que toda axiomatização da matemática será incompleta, ou seja: sempre haverá uma sentença que não pode ser provada nem refutada. Portanto, já que os axiomas da LPO e da TC constituem uma axiomatização da matemática, teremos que este teorema estende-se sobre ambas teorias, isto nos levaria, caso tal teorema fosse válido, a encarar a atual situação desta ciência como algo incompleto o que atinge, inclusive, a metamatemática.

O 2° teorema da incompletude de Gödel nos diz que um sistema consistente, capaz de axiomatizar a matemática, não pode provar sua própria consistência. Este teorema se aplica à LPO e à TC, pois, se os admitimos consistentes, não poderemos fazê-los provar sua própria consistência. Estes “fatos” geram uma grande insegurança sobre a fundamentação da matemática, mas, ao que tudo indica, houve, a partir de Gödel, um tipo de concílio que delimitou o que seria canônico.

Leonard Euler foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos e, talvez, o mais produtivo. Existe um relato de que ele ridicularizou Denis Diderot quando este tentava converter a corte de Catarina, a Grande, ao ateísmo, pois Euler era um homem religioso (STEWART, 2009. p. 216, apud MORGAN). O fato interessante é que, com o desenvolvimento da matemática, discutia-se a possibilidade de haver uma prova algébrica da existência de Deus, Gödel também tentou fazer uma demonstração da existência de Deus utilizando lógica modal, porém, diante de todos os problemas que há nas lógicas alternativas, isto deve ser visto apenas como mais uma tentativa.

2.10 A LÓGICA MODERNA

A esta altura já está evidente que a lógica moderna é uma linguagem formal, o que significa que ela foi formada artificialmente como um recorte da linguagem natural. A expressão “lógica moderna” nos dá a impressão de que ela já estaria acabada e que seria única, isto contrasta com o surgimento das outras “lógicas” que tratamos anteriormente. Entendemos a lógica moderna como a lógica de primeira ordem (lógica de predicados) que abreviamos por LPO.

“Uma linguagem formal é uma sequência de símbolos obtidos a partir de algum alfabeto.” (MAGOSSI, 2020, p.171)

“Uma língua artificial é composta por um conjunto de símbolos (alfabeto) junto com regras de formação (gramática) que nos fornecem as expressões bem formadas (termos e fórmulas) que corresponderiam às palavras e sentenças da linguagem natural.” (MORTARI, 2016, p. 56). 

Carnap faz uma analogia entre um sistema dedutivo formal, como o citado aqui, e uma linguagem qualquer, pois esta também teria regras de formação e de boa formação, portanto, ele pensava que a lógica e a linguagem seriam equivalentes neste sentido (ALMEIDA, 2017, p.70).

“A lógica e a linguagem são inseparáveis.(...) a lógica dos predicados mostrar-se-á insuficiente para expressar alguns tipos de expressões da linguagem natural (...) Para que um sistema lógico sirva como um instrumento apropriado para análise da linguagem natural, como veremos, necessita de uma estrutura muito mais rica que a lógica de predicados ou a lógica de primeira ordem.(...) A lógica de segunda ordem não esgota o poder expressivo da linguagem natural muito mais do que a lógica de primeira ordem.” (IBAÑOS&SILVEIRA, 2002, p.290-297)

Também podemos dizer que distinção entre lógica de primeira ordem e lógicas de ordem superior não se justifica (COSTA, 2008, p.205). Quine via a lógica de segunda ordem como a “teoria dos conjuntos em disfarce” (SILVA, 2007, p.137), isto delimita nossa análise à LPO.

Em geral, um sistema formal tem quatro componentes básicos:

1- Alfabeto;

2- Regras de formação (gramática);

3- Um conjunto de axiomas, que nada mais são do que fórmulas bem formadas, não devemos supor que cada axioma seja sempre verdadeiro, nem afirmar que são sentenças aceitas sem demonstração, já que todos axiomas são considerados teoremas de uma teoria formal específica (SANT’ANNA, 2003, p.17, 22);

4- Um conjunto de regras de transformação (ou regras de produção ou inferência).

Os itens 1 e 2 caracterizam a linguagem do sistema formal, os axiomas são um conjunto de fórmulas, oriundas do alfabeto e da gramática, que não pretendem ser verdades evidentes ou indubitáveis. O item 4 corresponde às regras lógicas de inferência, são mecanismos que nos permitem obter fórmulas novas a partir daquelas já estabelecidas (MORTARI, 2016, p. 303-304).

A questão da gramática pode ser relevada, pois o conjunto de expressões bem formadas é um subconjunto de tudo aquilo que podemos escrever com uma sequência finita de símbolos do alfabeto, sendo que as definições de termo e fórmula constituem a gramática (MORTARI, 2016, p.163). A lógica de primeira ordem (lógica moderna) possui um alfabeto constituído por conectivos, variáveis, quantificadores, delimitadores, igualdade, constantes, símbolos relacionais e funcionais. Não precisamos nos preocupar com a lógica proposicional, pois ela é um subsistema da LPO (MORTARI, 2016, p. 173).

Parece que a lógica moderna clama para si o papel de formulação mais rigorosa do que deveria ser uma linguagem científica, inclusive alguns autores consideram a lógica moderna a única verdadeira (MORTARI, 2016, p.91). Devemos considerar seus aspectos fundamentais para verificar se isto, de fato, faz sentido.

"(...) somos incapazes de formular qualquer sentença composta sem usar conectivos sentenciais ou outros termos lógicos definidos com seu auxílio. Felizmente, a situação não é tão ruim." (TARSKI, 2007, p.182)

“Os conectivos (e, ou, não e implica) já haviam sido identificados por Crisipo (século III A.C.).” (DOXIADIS & PAPADIMITRIOU, 2010, p. 322)

Essas passagens nos mostram a importância que tão poucas palavras possuem na formulação de qualquer sentença da linguagem. De acordo com Castrucci (1984, p. 43, 51), A. M. Scheffer (1913) reduziu os conectivos a um único conectivo de duas formas:

- p↑q que significa intuitivamente “não p e não q”;

- p↓q que significa intuitivamente “não p ou não q”;

Segundo o Castrucci, os únicos conectivos binários adequados para a construção de qualquer função verdade/fórmula são os de Scheffer, porém podemos observar que tais conectivos possuem em seu núcleo a negação e os conectivos "e" e "ou", portanto, apesar de verificar-se a efetividade que eles apresentam na construção de quaisquer tabelas-verdade, eles são incapazes de apresentar uma independência de outros conceitos mais fundamentais.

Apenas duas observações:

1. O conectivo “e” apresenta uma função básica de união, desta forma (x e y) = (xy), porém há um caso particular da linguagem cotidiana no qual ele possui função de consequência ou inclui coisas que não podem ser simultâneas, por exemplo: Cindy foi trabalhar e morreu. Repare que se invertermos a ordem da frase obtemos “Cindy morreu e foi trabalhar”, logo nem sempre temos que (x e y) = (y e x) para o uso corrente da linguagem;

2. A expressão “x ou y” pode relacionar coisas que podem não estar conectadas, nem serem ambas válidas, por exemplo: “Pelé é o rei ou Maradona é chinês”. 

As “relações”, enquanto partes do alfabeto, são coisas tão genéricas que podem incluir os conectivos, por exemplo, dizer “x ou y” nos leva a considerá-los sob uma relação alternativa. Raciocínio análogo pode ser aplicado à igualdade, às funções e implicações, pois “x = y” também é uma relação e toda função é um tipo específico de relação que conecta cada membro de um conjunto (domínio) a um único membro de um conjunto (contradomínio). - Em princípio, os símbolos funcionais não são necessários, mas ajudam a simplificar as coisas (MORTARI, 2016, p. 380, 384).

Podemos dizer que a implicação “p→q” indica uma relação de causa-efeito, porém “p” não precisa estar relacionado diretamente com “q” segundo a lógica moderna. Neste caso argumentaríamos que “p” e “q” estão relacionados por esta implicação, apesar de sua possível falsidade ou desconexão. A expressão “se isso é um bom time, então a lua é redonda” apresenta uma implicação verdadeira, apesar de não haver relação direta entre p e q, inclusive podemos ter tanto p quanto q falsos, ou p falso e q verdadeiro, que a implicação continuará sendo verdadeira. O único caso no qual ela é falsa é quando p é verdadeiro e q é falso. Para Mortari (2016, p.131), a expressão “se… então…” exprime várias relações de dependência, mas a maioria delas não é adequadamente reproduzida pela interpretação que a LPO faz para → a qual, aliás, “deixa muito a desejar”. Costuma-se denominar de implicação material aquela na qual não se pode ter p verdadeiro e q falso (CASTRUCCI, 1984, p.12), enquanto que a implicação estrita significa que é impossível que p seja verdadeiro e q não seja, alguns autores não acreditavam que esta implicação represente adequadamente a ideia intuitiva de acarretamento (HAACK, 2002, p. 262).

As variáveis comportam-se sintaticamente como as constantes (indivíduos de um conjunto), elas ocupam as mesmas posições (MORTARI, 2016, p.225). De fato, as variáveis podem admitir qualquer identidade de um indivíduo dentro de um conjunto pré-estabelecido (o universo do discurso). As variáveis podem apresentar 4 funções, algumas das quais se confundem com outros conceitos causando uma certa desorganização (MOTA, 2020b, p.42-43), os conceitos são: o ∀ “para todo”; o axioma da escolha; a indefinição e poder ser igual a qualquer constante de um domínio. Uma constante seria uma não-variável, portanto, a variável seria um conceito desnecessário já que pode ser descrito por outros elementos do alfabeto (negação+constante). Adotando uma postura mais radical podemos dizer que todos os conectivos seriam constantes já que possuem uma função que não se altera (ou, pelo menos, não deveria), assim como boa parte do alfabeto.

O quantificador “para todo” refere-se a um conjunto pré-determinado cujos elementos sempre obedecem a uma propriedade “∀x: p(x)”, este símbolo do alfabeto pode confundir-se com as variáveis, pois estas também permitem fazer generalizações (MORTARI, 2016, p.63). Novamente temos um caso de excesso de simbolismo, pois ∀x: p(x) equivale a x∈U→ p(x), onde U é o universo de discurso. Ainda de acordo com Mortari (2016, p.198, 202), dizer que “todo gato é um mamífero” equivale a dizer que “se é gato, então é mamífero”, ele também afirma que na estrutura de “todo peixe é azul” está escondida uma implicação.

Os parênteses e a vírgula cumprem o papel de delimitadores da lógica moderna, a vírgula pode ser substituída pelo “e”, pela menção de elementos lado a lado, combinação de parênteses, por espaços ou qualquer sinal gráfico: x,y e w = x,y,w = (x)(y)(w)= x y w. Os parênteses possuem a função de mencionar elementos como um todo, (xy) pode ser entendido como o conjunto que contém x e y como elementos. 

Quando utilizamos o “não”, temos a impressão de que ele sempre expressa um contrário, por exemplo: “triste = não feliz”. Porém, não é preciso estar triste para não estar feliz, uma pessoa pode estar num estado de normalidade sem tristeza ou felicidade. Se entendermos a palavra “tristeza” como “totalmente sem alegria”, então, de fato, ela expressa o contrário de “felicidade” e não haveria erro em dizer que “triste = não feliz”, porém podemos interpretar  “tristeza” como sinônimo de “diferente de feliz” o que é algo muito mais abrangente, pois isto inclui tudo aquilo que não tem felicidade, por exemplo: “abacaxi é diferente de feliz”. 

Nota: Para Mortari (2016, p.68-69, 438-439 ), não há um x diferente de si mesmo, todos objetos do universo são iguais a si mesmos e não existe conjunto universal (vimos que o conjunto de todas as coisas existe). Quando falamos em conjunto universo, dentro da lógica moderna, estamos nos referindo a um universo de discurso relativo a uma situação específica e não a um conjunto de todas as coisas. 

 A lógica clássica costuma obedecer às chamadas “leis fundamentais do pensamento” também denominadas princípios lógicos clássicos (COSTA, 2008, p.113):  

- Princípio da identidade: A→A ou ∀x: x=x;

- Princípio de não contradição: sempre vale ou A ou não A, nunca os dois simultaneamente;

- Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa;

- Princípio da bivalência (equivale à anterior): toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Os princípios lógicos clássicos produzem algumas redundâncias, a lei do terceiro excluído (equivalente ao princípio da bivalência) nos diz que “∀x:(x é verdadeiro ou x é falso)”, em outras palavras: ∀x(∃x ou ∄x) ou ∀x(x ou não x) que é o princípio de não contradição, logo:

Princípio de não contradição = Princípio do terceiro excluído = Princípio da bivalência

Aristóteles sustentava que o Princípio de não contradição é o mais fundamental e evidente de todos, (COSTA, 2008, p.57), sem este princípio não seria possível qualquer racionalidade.

Conforme justificamos, anteriormente, dizer que x é diferente de si mesmo equivale a dizer que x não existe, o problema é que se usa um x≠x para demonstrar que não existe um conjunto de todas as coisas, daí surgiu a questão: como se pode usar algo que não existe para demonstrar qualquer proposição? Na verdade, de uma contradição pode-se deduzir qualquer coisa (ex falso quodlibet ou princípio da explosão), isto ocorre na lógica clássica, nas modais e na intuicionista, mas não nas relevantes (MORTARI, 2016, p.476). Como vimos, esta contradição (tomar x≠x sendo que ∀x: x=x) foi utilizada inclusive por Gödel na demonstração de seus teoremas, o que os torna inválidos por ex falso quodlibet, pois, diante de uma contradição, pode-se demonstrar qualquer coisa, inclusive que Gödel está errado. Dizemos que uma lógica é paraconsistente(inconsistente?) quando não admite o princípio da explosão, assim como as relevantes, ou seja: nesta lógica o princípio da não-contradição pode ser inválido em algum caso, mas cabe ressaltar que não há conhecimento sobre nenhum caso indiscutível de existência de uma contradição real, nem há aplicação da lógica paraconsistente em domínio não-formal, científico, que substitua a clássica (COSTA, 2008, p.129, 251). Em resumo temos que :

∃x ↔ x é verdadeiro ↔  x∈x ↔ x=x

Esta é uma característica que toda igualdade expressa, pois aquilo que é igual deve ser igual a algo existente, verdadeiro, dizer que ∃x≠x contraria o princípio da identidade que nos garante que todo x é igual a si mesmo. Portanto, a lógica paraconsistente, criada por Newton da Costa (SANT’ANNA, 2003, p.98), contraria um princípio básico fundamental. A geometria apresenta um paralelo, pois a definição euclidiana nos diz que um ponto é aquilo que não tem partes (MORTARI, 2016, p. 301), portanto, se p é um ponto, então ele não possui a si mesmo, logo é diferente de si mesmo o que nos leva a deduzir que todos os pontos não existem.

Uma característica que também reflete as limitações da lógica moderna é que todos os tempos verbais devem estar no presente para que seja possível haver formalização (MORTARI, 2016, p. 169), isto implica que todo o alfabeto não deve produzir qualquer tipo de modificação ou variação (coisas que dependem do tempo), diante disto os símbolos de implicação e variação podem ter sua natureza e existência questionadas, pois ambos parecem poder expressar ou produzir modificações.

Mais uma questão interessante que surge é a dos chamados paradoxos da implicação material (MORTARI, 2016, p. 148) dentre os quais pode-se destacar as duas tautologias a seguir:

- Prefixação a→(b→a);

- Lei de Duns Scot (não a)→(a→b).

A prefixação parece nos dizer que toda proposição possui uma causa, tudo o que existe seria consequência de algo pré-existente.  A lei de Duns Scot nos diz que se algo não é verdadeiro, então sua validade teria alguma consequência (que poderia ser sua existência por exemplo), tais paradoxos são assim denominados simplesmente por seu caráter anti-intuitivo. Outra tautologia interessante é “(a→b) ou (-a→b)”.

Seria muito bom se houvesse um algoritmo (um procedimento que sempre produz uma resposta) que verificasse a validade de cada fórmula da LPO, para a LP temos as tabelas verdade, porém, para a LPO os tablôs semânticos tentam cumprir este papel, mas são limitados. Os tablôs não constituem um algoritmo para decidir, em geral, a validade na LPO e nada resolve este problema. Em 1936, Alonzo Church (1903-1995) demonstrou que a LPO é indecidível: não existe método mecânico que sempre diga que uma fórmula seja válida ou não. (MORTARI, 2016, p. 264-266, 294, 296).

 

Cremos ter atingido nossa meta para o estudo do alfabeto da lógica moderna que é suficiente para sua construção e fundamentação e está em harmonia com o princípio da composicionalidade (princípio de Frege): na LP o significado de uma expressão complexa é uma função de significado de suas partes e do modo como elas se combinam (MORTARI, 2016, p.122). A LP é um subsistema limitado da LPO (NOLT&ROHATYN, 1991, p.206, 509) e (MORTARI, 2016, p.92, 173), portanto, o que discutimos aqui vale para a LP e para tudo aquilo que Aristóteles desenvolveu, pois sua lógica forma a base para a LP cuja extensão é a lógica moderna (MORTARI, 2016, p. 49).

Esperamos ter deixado claro os vários pontos questionáveis e limitações que envolvem a lógica moderna.