ÍNDICE
Relação
de Símbolos Utilizados
Introdução
1.
A Teoria Nuclear da Linguagens
2.
Lógica
2.1
Linguagem
2.1.1
Variáveis
2.1.2
Conectivos
2.1.3
E
2.1.4
Ou
2.1.5
Implicação
2.1.6
O não e o primitivo
2.1.7
Quantificadores
2.1.8
Delimitadores
2.1.9
Igualdade e constantes
2.1.10
Símbolos relacionais e funcionais
2.1.11
Conclusão
2.2
Semântica
2.3
Axiomática
2.4
Metamatemática
3.
Teoria dos conjuntos
AGRADECIMENTOS
RELAÇÃO
DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES UTILIZADOS
∀x Para
todo x
∃x Existe
x
∄x Não
existe x
x∈y x
pertence a y
x∉y x
não pertence a y
x⟶y x
implica y
▄ Como
queríamos demonstrar
~x x
é um conceito derivado (não primitivo/gerado pela TNL)
x(y,
z) x é um conceito derivado de y e z
TNL Teoria
nuclear das linguagens
LP Lógica
proposicional
LPO Lógica
de primeira ordem
LN Linguagem
natural
TC Teoria
dos conjuntos
LLPO
Linguagem da lógica de primeira ordem
SLPO
Semântica da lógica de primeira ordem
ALPO Axiomática
da lógica de primeira ordem
INTRODUÇÃO
A
ideia central deste livro é proporcionar a construção da
Matemática utilizando a Teoria Nuclear das Linguagens (TNL) que
fornece
um pequeno conjunto de palavras capazes de gerar todas as linguagens,
códigos e conceitos. Em
linhas gerais, a TNL proporciona uma formalização da linguagem
natural (LN) e esta é capaz de gerar a lógica de primeira ordem
(LPO) e
a
Teoria dos Conjuntos (TC) que,
juntas,
podem
formalizar toda a matemática:
TNL⟶LN⟶(LPO+TC)⟶Matemática
O
livro “Teoria
Nuclear das Linguagens”
demostra o processo de obtenção deste núcleo extraído da
linguagem e o confronta com os fundamentos da Matemática e da
Física, estes não puderam provar ser mais fundamentais do que a
TNL, ela
foi capaz de reescrever ou demonstrar inclusive axiomas. Este
fato coloca esta teoria como ponto de partida obrigatório para a
formalização de conceitos os quais, costumeiramente, se escoram
demasiadamente
sobre a linguagem natural. Iniciaremos
com um capítulo que versará sobre as principais características e
resultados da TNL, isto servirá de ferramenta para que fragmentemos
os conceitos da LPO e da TC por meio da TNL, escrevendo-os em função
do núcleo gerador da LN. A
implicação TNL⟶LN
já
foi demonstrada no livro sobre a TNL, aqui provaremos
que TNL⟶(LPO+TC),
pois
já é um fato reconhecido que (LPO+TC)⟶Matemática,
assim
como LN⟶(LPO+TC):
“Qualquer
sistema lógico que é apropriado para analisar línguas naturais,
precisa de uma estrutura muito mais rica que a lógica de primeira
ordem".
(Gamut
1991, p. 75).
Após
a apropriação dos fundamentos e
principais resultados da TNL,
analisaremos as particularidades da LPO que se organiza em três
partes fundamentais: linguagem, semântica e axiomática. Mostraremos
que a TNL pode gerar esta linguagem e
que esta,
por sua vez, gera a semântica
e a axiomática. De
acordo com o contexto apresentado,
utilizaremos
a expressão “x(y, z)” quando x for um conceito artificial não
primitivo, ou seja, derivado dos conceitos mais fundamentais y e z
(pode haver mais conceitos dentro dos parênteses). Nesse
momento do
livro
já teremos:
TNL⟶LLPO⟶(SLPO+ALPO)
Já
que LPO=(LLPO+SLPO+ALPO),
então
teremos a possibilidade de simplificar
a
análise
e compreender a artificialidade dos teoremas metamatemáticos de
Gödel compondo
uma crítica ao caráter prolixo,
ambíguo
e
redundante de definições que
se mesclam formando a base dos estudos
metamatemáticos do
último século.
Desta
forma, restará apenas fazermos o mesmo para a TC, isto já foi feito
com os axiomas de Zermelo Fraenkel no livro sobre a TNL, aqui
retomaremos
parte do que já foi feito, mas
faremos isto com um pouco mais de detalhes e atenção voltada para
os conceitos de relação, função, ordem e
equivalência.
Também daremos uma atenção especial para o
axioma
da escolha. Finalizando
este processo, teremos formalizado toda a matemática que
se mostrará limitada em comparação com a TNL, pois é
resultado de uma limitação da LN e está
restrita a algumas peculiaridades
que iremos expor.
Portanto,
tendo em mente que os fundamentos das ciências estão organizados
de forma intuitiva
e
empírica, o
objetivo proposto
se mostra vital para a formalização e fundamentação sólida desta
ciência que, historicamente, serve de base para as demais.
1.
A
TEORIA NUCLEAR DAS LINGUAGENS
Neste
capítulo apresentaremos um resumo das principais características e
resultados da TNL. Ela afirma que todas as palavras e ideias podem
ser geradas mediante combinações dos conceitos fundamentais ter
e fazer, os quais aplicam-se aos substantivos produzindo
todas as linguagens e códigos. Estes seriam os únicos conceitos
fundamentais. A linguagem é entendida como uma representação da
realidade e surgiu em um momento histórico, portanto não deve ser
vista como algo primordial já que foi sendo construída ao longo do
tempo.
Sua
simbologia utiliza apenas dois caracteres fundamentais (. e >), o
ponto indica o ter e a "seta" indica o fazer.
O “não” foi descartado como um possível candidato para este
núcleo, pois seria uma forma de expressar, de forma sintética, todo
um conjunto maior de fatos, exemplo: a casa não é
verde = a casa é amarela ou vermelha ou branca ou azul
ou rosa… Também, ao dizermos que uma casa é amarela, estamos
dizendo que ela não é azul, nem roxa nem qualquer outra cor
diferente da cor amarela.
EXEMPLOS
DE FÓRMULAS DA TNL
x.y=x
tem y;
x>y=x
faz y;
x.(>y)=x
tem fazer y / x pode fazer y;
x>(y>z)=x
faz y fazer z / x utiliza y para fazer z;
(y.z)>(z.x.z)
= Apenas x é y / y tem z faz z ser igual à x;
°x=não
x/complementar de x;
x°.y=x
não tem y;
x.=x
tem algo, ou “x e o ter”.
Observação:
inserimos um símbolo para o “não” por uma necessidade prática.
Lista
de resultados matemáticos e metalinguísticos da TNL:
Definição
precisa de conceitos sem a necessidade de entes primitivos;
Refutação
dos
teoremas de Kurt Gödel;
Fórmula
exata para o conceito de existência:
∃x equivale
a afirmar que x∈x;
Demonstração
de axiomas, crítica e refutação de alguns axiomas de
Zermelo-Fraenkel;
Construção
dos números naturais, axiomática de Peano e respectivas operações;
Demonstração
da existência do conjunto de todas as coisas;
Construção
das classes de palavras.
A
TNL demonstrou ser uma teoria mais fundamental do que a Matemática,
pois pôde confrontar até seus axiomas e conceitos mais básicos,
desta forma, esta obra apontará algumas inconsistências,
ambiguidades e redundâncias presentes na formalização desta
disciplina.
1.1
CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS NATURAIS
A
TNL nos permite construir os números naturais e operações
aritméticas, isto é vital para os propósitos deste trabalho, pois
são conceitos que estão enraizados na LPO e TC:
|
= Unidade identificada por um traço;
||.2.||
= ||.2 e 2.|| (|| = | e |);
|||.3.|||
(||| tem 3 e 3 tem |||);
(...)
(|.x)>x.|
(Por definição a unidade é indivisível para os números
naturais);
A
soma, por exemplo, pode se derivar a partir da TNL da seguinte forma:
Soma:
a+b = °(0.b.0)>(a.| b°.|)
“Se
b não é zero, então faça a ter | e b não ter |”.
A
construção dos números naturais se dá pelos axiomas de Peano que
demonstraremos a seguir:
1)
0 é um número natural:
Aqui
temos uma afirmação resultante da construção dos naturais e não
algo proveniente de uma demonstração, tal fato poderia ser indicado
por (0°.| N.0) (Zero não tem a unidade e os naturais têm zero.
Logo o zero é um símbolo que indica a ausência de unidade, sua
presença em determinada casa decimal representa que o número não
possui valor nesta casa, o número 2037, por exemplo, não possui
valor na casa das centenas.▄
2)
Todo número natural n possui um sucessor s(n):
Novamente
temos um resultado proveniente da construção do naturais que pode
ser escrito pela fórmula .|>.|| (ter | faz ter outro | ao
lado dele). Esta fórmula recursiva gera todos os naturais:
.|>.||>(.|)|>(.||)|>.|||
= 1>2>3…
Ou
seja, N.n>N.n| ▄
3)
0 não é sucessor de nenhum número:
Este
fato pode ser demonstrado se considerarmos os aspectos da construção
dos números naturais. Suponha, por absurdo, que exista um n natural
tal que s(n) = 0, então n| = 0 o que implica que n|.0.n|, mas, por
definição, zero não possui a unidade, absurdo.▄
4)
Se s(n) = s(m), então n = m:
Prova:
Suponha, por absurdo, que n é diferente de m, por simplicidade
tomaremos um x pertencente à m que não seja elemento de n, logo m.x
e n°.x. Portanto m|.n|.m|.x>n|.x> n.x ou |.x, mas n°.x o que
implica que |.x, já que | é indivisível, isto indica que x não
existe ou que x = |, neste último caso teríamos n°.m>n|°.m|,
absurdo, pois n|.m|.▄
5)
Seja S um subconjunto dos números naturais que possui as seguintes
propriedades:
a)
0 pertence à S;
b)
Se n pertence à S, então s(n) pertence à S.
Então,
S é o conjunto de todos os números naturais.
Temos
um axioma recursivo, a demonstração é semelhante ao axioma 2. Das
propriedades "a" e "b", temos que
S.s(o)>S.s(s0)>S.s(s(s(0)))... O que equivale a escrevermos
S.0>S.|>S.||>S.|||... Logo, S pode ter um n tão grande
quanto se queira. ▄
1.2
DEFINIÇÕES PRÉVIAS
Antes
de inciarmos o estudo da LPO definiremos, por meio da TNL, mais
alguns conceitos que serão vitais para sua formalização, pois ela
os utiliza de forma intuitiva sem rigor:
Sequência
finita e função: uma sequência finita será uma função com
domínio S, onde S é um subconjunto de N que é diferente de N, ou
seja N.S°.N. Onde f: A→B é uma função, se e somente se:
(A.x)>(.f(x),B.f(x))
ou B.(f(A))
(B.f(x), B.b, b.f(x) ) > f(x).b> b=f(x)
O
valor de f(x) é único, trataremos este conceito com maior rigor no
capítulo sobre a TC;
Menor
ou maior: x será maior do que y se >x°.y>N.x, ou seja: fazer
x não ter y faz x ainda ser um natural, caso contrário será menor
do que y, se for zero então será igual;
N-ário:
quando se refere a uma n-upla que
é um conjunto de n variáveis representadas de forma ordenada por
(x1,x2,…,xn).
Para construir uma n-upla, basta fazermos isto para cada n natural:
N.n>.(x1,x2,…,xn).
O conceito de variável será formalizado mais adiante;
Uma
relação
entre
dois conjuntos A e B pode ser entendida como um subconjunto qualquer
do produto cartesiano entre estes
dois conjuntos
que nada mais é do que o conjunto de todos os pares (a,b), onde a∈A
e b∈B.
Na TNL temos:
(A.a,B.b)>(AXB).((a,b))
Uma
função nada mais é do que um tipo particular de relação. Uma
forma sintética de se escrever isto seria:
R
é uma relação de A com B <>
.A
.B A.a>(.b
B.b aRb)
Repare
que a ideia
de ordem está embutida aqui, pois escrevemos aRb e não bRa.
2.
LÓGICA
A
teoria dos conjuntos e a lógica de primeira ordem podem formalizar
toda a matemática, porém ambas dependem da linguagem natural para
se fundamentar, é neste ponto que a TNL age, pois sistematiza as
linguagens e códigos. Existem outros tipos de lógica, para o leitor
que tiver interesse, indicamos o livro “Lógica Matemática” do
Professor Rogério Augusto dos Santos Fajardo (2017), tais “lógicas”
não serão consideradas aqui, pois todas suas variantes baseiam-se
em ideias que já foram diluídas no livro sobre a TNL, por exemplo:
necessidade, possibilidade, causa, efeito e probabilidade.
A
lógica de primeira ordem se divide em 3 partes:
Linguagem:
símbolos e regras de escrita (sintaxe/formação);
Semântica:
significação da linguagem (interpretação);
Axiomática:
provar teoremas a partir de outras afirmações.
Percorreremos
estas três partes com detalhes, mas antes cabe salientar que a
lógica de primeira ordem é
dita
ser
“livre
de contexto”,
portanto é
inferior
à linguagem natural por
possui uma
sintaxe
controlada, ou
seja: limita o arranjo de símbolos para
evitar
paradoxos.
A
linguagem da matemática é a lógica e
a
linguagem da lógica é
a própria linguagem natural (de
forma controlada e
limitada).
Não
seria possível
provar um teorema conhecendo apenas a sintaxe, pois
toda sintaxe possui um
significado atrelado.
Muitas
vezes isto não é percebido, e os símbolos são utilizados de forma
automática sem que se reflita a respeito deles o
que, por sua vez, contrasta
com sua importância na fundamentação da teoria.
O
uso da sintaxe controlada evita o surgimento de paradoxos, este é um
ponto crucial a ser tratado, pois a limitação da sintaxe evitou o
desenvolvimento de um completo entendimento da linguagem natural,
isto só veio a ser corrigido com a TNL. O argumento de Gödel foi
uma variação do paradoxo do mentiroso “esta frase é falsa”,
ora, se ela é falsa, então ela é verdadeira e, se é verdadeira,
então é falsa. Ele baseou-se nisto para sustentar seus teoremas,
porém, de acordo com a TNL, esta frase indica algo que não existe,
não é real e não é verdadeiro: todos conceitos equivalentes.
Temos, nada mais nada menos, do que algo análogo ao paradoxo de
Russel que se baseia numa representação de uma coisa que não
existe “x°.x” (x não tem x). Devemos lembrar que o “não”
indica, automaticamente, que a afirmação não é válida (não
existe), daí deduz-se o princípio do terceiro excluído: toda
afirmação é verdadeira ou falsa, não existe a possibilidade dela
ser as duas coisas simultaneamente. Portanto, x°.x elimina x.x e
vice-versa, dizer que algo é verdadeiro equivale a dizer que não é
falso. Não se pode conceber algo que exista e não exista ao mesmo
tempo, porém podemos considerar este pensamento com símbolos,
fazendo representações de coisas que não existem. Logo, só porque
podemos representar algo, não quer dizer que ele exista
necessariamente.
2.1
A LINGUAGEM DA LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
A
lógica de primeira ordem é expressiva o suficiente para formalizar
toda a matemática, mas não é capaz de gerar toda a linguagem
natural. O inverso é verdadeiro, pois LN→LPO. Desta forma, é
necessário limitar o contexto da linguagem à qual estamos nos
referindo. Portanto, a linguagem da LPO não é única já que alguns
de seus símbolos são comuns a todas as linguagens, mas outros são
específicos de cada universo considerado.
O
“alfabeto” da linguagem da LPO sempre é o mesmo, independente da
limitação contextual à qual a LPO esteja submetida, o alfabeto é
formado pelos seguintes símbolos:
Variáveis:
x, y, z... Também podem ser indexadas por números naturais:
x1,
x2...;
Conectivos:
↔, ¬, ⋀, ⋁, →;
Quantificadores:
∃ e ∀;
Delimitadores:
), ( e , ;
Igualdade:
=;
Símbolos
relacionais (ou de predicado): Para cada número natural há uma
lista (que pode ser vazia) de símbolos relacionais n-ários que
costumam ser representados por letras maíusculas, estas também
podem ser indexadas pelos números naturais;
Símbolos
funcionais: Para cada número natural há uma lista (que pode ser
vazia) de símbolos funcionais n-ários que costumam ser
representados por letras maíusculas, estas podem ser indexadas
pelos números naturais;
Constantes:
Uma lista, que também pode ser vazia, de símbolos, normalmente
letras minúsculas do início do alfabeto que podem ser indexadas
pelos naturais.
O
conjunto de símbolos funcionais, relacionais e constantes são
particulares do universo considerado, os demais símbolos são comuns
à todas as demais LPO’s. Podemos notar que a LLPO não se trata
de uma linguagem fundamental, pois não define o significado de seus
símbolos de forma não empírica e independente de outros conceitos.
Discutiremos como cada um dos “símbolos” acima poderia ser
explicado pela TNL considerando tanto as interpretações limitadas
da LPO quanto as mais gerais concernentes à LN.
2.1.1
VARIÁVEIS
O
conceito da
palavra
variável confunde-se com a ideia do axioma da escolha que veremos
com mais detalhes no capítulo sobre teoria dos conjuntos. Se
x varia dentro de um conjunto universo
U,
então seu valor (ou
identidade)
depende de uma escolha, a
não especificação implica em indefinição
que é um conceito caracterizado
pela TNL como
uma carência de dados (representações).
Outra possibilidade seria a
generalização
o
que nos levaria a mais uma redundância, agora envolvendo o ∀
(para todo), pois
dizer que para todo x vale y equivale a falar que x pode “variar”
que sempre ocorrerá y.
Podemos considerar o universo da linguagem natural como exemplo a fim
de entendermos a definição de variável dentro da LPO. Aqui elas
seriam os pronomes da LN os quais representam indivíduos indefinidos
dentro do universo: ele, ela, um, algum e etc. O “valor” destas
variáveis muda conforme a situação relatada.
Uma
variável x deve pertencer ao universo U da linguagem a qual estamos
nos referindo. Desta forma, o conceito de variável da LPO seria
definido da seguinte forma pela TNL:
(U.y,
°(x.y.x))>(x.>(x.y.x))
Observe
que a variável x apresenta a propriedade de poder alterar sua
identidade/valor dentro de U para qualquer elemento diferente de x
que também pertença a U. Em outras palavras: x pode admitir
qualquer identidade dentro de U.
Sabemos
que x=F faz x≠V e x=V faz x≠F. Note que tal entendimento não se
importa com a essência das sentenças, basta saber se o “valor”
delas é V ou F, por exemplo: se x= “papai noel existe”, a lógica
não considera esta possibilidade na realidade, nem que x seja apenas
a frase escrita (conjunto de letras) ou os substantivos em sua
essência, ela limita seu contexto em torno da interpretação de x ,
ou seja: x=V ou x=F. Já que a TNL é capaz de expressar o conceito
de variável da linguagem da LPO, temos que este não é um ente
primitivo. Portanto, temos as seguintes concepções para uma
variável:
Para
todo x em U vale y: aqui podemos simplesmente dizer que U está
dentro do conjunto dos conjuntos onde vale y, ou (U.x>.y);
Escolha:
podemos pensar a variável x como um espaço vazio “__” que é
preenchido a partir de uma escolha de elementos de U feita por um
sujeito y, a fórmula da TNL seria y>(__.x), U.x;
Indefinição:
como o valor/identidade de x varia, podemos dizer que não temos
informações exatas sobre quem é x realmente, o único dado que
temos é que U.x. Na LN este x poderia ser substituído pela frase
“um elemento de U”. A carência de dados é relativa, depende do
número de características que temos a respeito de algo, neste caso
das variáveis temos apenas uma característica que é U.x, se U
possuir apenas um elemento então será uma informação suficiente,
porém, conforme a cardinalidade de U aumentar, teremos um
consequente aumento da indefinição;
A
última concepção (U.y, °(x.y.x))>(x.>(x.y.x)) afirma que x
pode ter qualquer valor/identidade dentro de um conjunto U. Repare
que todas as possibilidades se referem a um conjunto universo, isto
demonstra uma sobreposição de definições com o quantificador ∀,
mas nos dispusemos a escrevê-las dentro da TNL para que não
restassem lacunas.
2.1.2
CONECTIVOS
Os
cinco conectivos listados pela lógica de primeira ordem podem ser
reduzidos a apenas dois: ¬ e ⋀. O significado destes conectivos
pode ser expresso pela linguagem natural:
↔:
equivalência;
¬:
negação;
⋀:
e;
⋁:
ou;
→:
implicação.
Já
que todos os conectivos podem ser reduzidos à apenas ¬ e ⋀,
vejamos como os demais conectivos derivados podem ser escritos em
função destes dois:
Nota:
poderíamos utilizar ¬ e ⋁ para os mesmos fins de redução.
2.1.3
⋀
Diferente
do que ocorre na implicação, o "e" não indica,
necessariamente, uma interdependência entre os termos. Se for
interpretado como uma intersecção, ele indica que um elemento x
pertence a dois conjuntos A e B ao mesmo tempo, em TNL: A.x, B.x.
Podemos ver que não foi necessário dizer que “A.x e B.x”, basta
a menção das construções lado a lado, pois “X e Y” equivale à
“X, Y”. Dizer “a casa é verde e bonita” equivale a dizer “a
casa é verde, a casa é bonita”, portanto o “e” não deve ser
visto como algo primitivo, mas apenas como mais um recurso prático
da linguagem que pode ser explicado pela TNL.
Escrever AB
deve
pode
ser
entendido como uma referência
à
A e a B como um conjunto único, portanto,
neste
caso temos uma união dos conjuntos, pois
(AB).A e (AB).B.
No
contexto limitado da lógica de primeira ordem, o que importa é
apenas o valor de cada fórmula,
portando A⋀B possui as seguintes possibilidades:
V⋀V
= V
V⋀F
= F
F⋀V
= F
F⋀F
= F
Nota-se
que A⋀B só poderá ser verdadeira se A e B forem ambas
verdadeiras,
logo, tal expressão refere-se à validade de AB: a união de A e B
como um todo. Pode
ocorrer que parte de A ou B seja falsa, por exemplo: se B é a frase
“São Paulo está
no Brasil e existem triângulos com quatro lados”, então apenas
uma parte de B é verdadeira, logo, não podemos afirmar que todo o
conjunto AB é verdadeiro. O
⋀ lógico possui esta ideia intrínseca de todo verdadeiro ou de
junção, união de conjuntos o que pode se confundir com o “ou”
que
veremos adiante.
Portanto
temos as seguintes possibilidades de concepção para o ⋀:
Intersecção:
A.(A∩B),
B.(A∩B),
(A.x, B.x)>(A∩B).x;
Um
x não especificado implica um x qualquer que apenas possui a
propriedade de estar em A e B simultaneamente, repare
que a última parte também pode ser escrita de forma invertida
((A∩B).x)>(A.x,
B.x);
União:
(A
e B).(AB).(A
e B),
a soma também pode ser incluída aqui, pois
2 + 3 = 2 e 3 no sentido de união;
(AB).B,
(AB).A, ((AB).x, B°.x)>A.x, ((AB).x, A°.x)>B.x. Esta
ideia de junção é muito interessante, pois pode formar quaisquer
coisas mediante a junção de suas partes integrantes;
Validade
simultânea de A e B, neste caso: (.A, .B)>.(AB), (.A,
°.B)>°.(AB), (°.A, .B)>°.(AB), (°.A, °.B)>°.(AB).
Note que abreviamos A.A “existe A ou A tem A” por .A “tem A”.
2.1.4
⋁
O
“ou” pode indicar uma interdependência entre termos, por
exemplo: na frase “ela é rica ou feliz”, se ela é rica, então
não é feliz e, se é feliz, então não é rica; ambas as frases
interferem uma na outra. Na TNL escreveríamos (x>°y, y>°x).
Se
for interpretado como uma união de conjuntos “x pertence à união
de A com B”, equivaleria a dizer que x pertence a A ou a B, desta
forma o “ou” indicaria que um elemento x pertence ao conjunto A
ou ao conjunto B, em TNL: ((A∪B).A,
(A∪B).B), ((A∪B).x,
A°.x)>B.x, ((A∪B).x, B°.x)>A.x
(note que A∪B=AB). Neste caso, o
“ou” cumpre uma função de junção assim como o ⋀ também é
capaz de fazer, este tipo de consideração de ambiguidades carece de
atenção por parte da bibliografia atual, veremos que existe uma
intersecção conceitual não vazia e opaca entre a TC e a lógica.
Imagine um y que não possa ser decomposto em partes menores, então
não existem w e z, diferentes de y, tais que y=w⋀z=wz ou,
analogamente, y=w∪z=wz; y não
teria partes próprias, em outras palavras: y.p>p.y, ou
(y.(wz).y, °(w.z.w))>(°.w, °.z), se isto é possível não se
sabe, mas a TNL pode expressar.
No
contexto limitado da lógica de primeira ordem, o que importa é
apenas o valor de cada fórmula,
portando A⋁B
possui as seguintes possibilidades:
V⋁V
= V
V⋁F
= V
F⋁V
= V
F⋁F
= F
Nota-se
que A⋁B
só poderá ser verdadeira se A ou
B for verdade.
Portanto
a frase:
“São Paulo fica no Brasil ou
existem triângulos com quatro lados” seria
verdadeira, o oposto do que ocorreria se o “ou” fosse substituído
por “e”.
Temos
as seguintes concepções para o ⋁:
Exclusividade:
(A⋁B).(°A>B,
°B>A).(A⋁B);
Pertencimento
a uma união
de
conjuntos:
((A∪B).A,
(A∪B).B),
((A∪B).x,
A°.x)>B.x,
((A∪B).x,
B°.x)>A.x;
Validade
de A ou B: (.A, .B)>.(A⋁B), (.A, °.B)>.(A⋁B), (°.A,
.B)>.(A⋁B), (°.A, °.B)>°.(A⋁B).
Também
havíamos visto que A⋁B
= ¬((¬A)⋀(¬B)) o
que equivale a dizer que não pode acontecer de nem A e nem B
ocorrerem.
O
ou “inclusivo” poder ser facilmente definido adicionando a
fórmula “.(A∩B)”
(a
intersecção é não vazia) no final da fórmula 3 acima.
2.1.5
IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA
A
equivalência pode ser descartada como um conectivo primitivo logo de
início, pois (A↔B)=(A→B, B→A) ou A→B→A, nada mais é do
que uma forma simplificada de se escrever duas implicações.
A
implicação pode ser substituída pelo > o “fazer” da TNL,
pois possui a mesma ideia de causa e efeito, exemplos:
x+1=2→
x=1, na TNL: (x+1=2)>(x=1), para mais detalhes sobre a
fragmentação
do processo de
resolução de equações sugerimos a leitura do livro sobre TNL;
x∈N→x∈R,
na TNL: (N.x)>(R.x);
Todo
humano é mortal→Jesus
é mortal, na TNL: (M.H, H.J)>M.J, onde M=conjunto dos mortais;
H= conjunto dos homens e J=Jesus. Este
caso será importante para desenvolvermos o quantificador ∀.
No
caso limitado da lógica de primeira ordem, temos que nos ater apenas
aos
valores
de A e B, a
tabela verdade de A→B
é:
V→V=V
V→F=F
F→V=V
F→F=V
Os
diagramas de Venn-Euler, quando indicam variáveis proposicionais,
devem ter intersecção não vazia. Imaginar que A e B são
independentes não é válido, portanto podemos ver isto como uma
forma de se dizer que de algo existente (verdadeiro) só podem sair
coisas existentes. A primeira, segunda e quarta linha da tabela
verdade aceitam esta interpretação, porém a terceira linha nos diz
que de algo não existente sai algo existente, a única forma disto
ser verdade é se entendermos A sendo parcialmente verdadeira, desta
forma, dizer que de algo parcialmente verdadeiro (ou seja falso) pode
sair algo verdadeiro justificaria a tabela. Nesta interpretação,
teríamos:
(.x,
.y)>.(x>y)
(.x,
°.y)>°.(x>y)
(°.x,
.y)>.(x>y)
(°.x,
°.y)>.(x>y)
O
fato de que a TNL nos permite expressar esta tabela verdade independe
de sua existência ou viabilidade em situações reais. Conforme
dissemos, esta tabela é melhor interpretada se for entendida como a
possibilidade de algo verdadeiro ser gerado por outro conjunto, mesmo
ele sendo verdadeiro em parte: o falso pode ser parcialmente
verdadeiro, mas o verdadeiro é integralmente verdadeiro.
Vimos
também que, para a lógica de primeira ordem, A→B=¬((A)⋀(¬B)),
ou
seja: não pode acontecer de A ocorrer sem a ocorrência de B, dizer
que “A implica B” equivale a dizer que “é falso que A é
verdadeiro e B é falso”.
2.1.6
O
¬ E
O
PRIMITIVO
Vimos
que
todos
os
conectivos podem ser gerados pela TNL, portanto não devem ser
encarados como entes primitivos, além disso, também pudemos
observar que eles podem ser reduzidos apenas a ¬ e ⋀,
seriam
estes os entes primitivos?
Como
o
caso do “não” e
do “e”
já foram
discutidos
por nós anteriormente, nesta
seção
iremos ampliar nossa visão sobre o que de fato é primitivo segundo
a TNL. Seriam o “ter” e o “fazer” os únicos elementos
primitivos de fato? Ou seriam somente uma representação de algo
mais primitivo? O
seguinte teorema alega
que não pode existir um conjunto de todas as coisas:
Teorema
(Paradoxo de Russell): Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou
seja ∀x∃y tal que y∉x.
Demonstracão:
Suponha, por absurdo, que exista um conjunto y tal que, para todo x,
x∈y. Utilizando o axioma da separação para a fórmula x∉x,
existe z tal que, para todo x, x∈z↔(x∈y e x∉x). Já que x∈y
é verdadeiro para todo x temos que x∈z↔x∉x. Tomando z no lugar
de x, temos z∈z↔z∉z, absurdo.▄
Aqui
vemos a utilização do axioma do esquema de separação de
Zermelo-Fraenkel para uma fórmula "x∉x" que toma um x
inexistente e o admite como se fosse existente, porém, isto faz com
que as hipóteses do teorema não sejam válidas, pois deve-se
pressupor que ∀x refira-se a todo x existente, portanto os
argumentos que tomam "x∉x", admitindo-o como algo
existente, contrariam a definição de existência descoberta pela
TNL.
Teorema:
O Conjunto Ω de todas as coisas existe e é único.
Prova:
Pela definição de Ω, temos que ∃x↔x∈Ω, o que equivale a
dizer que ∄x↔x∉Ω. Suponha, por absurdo, que ∃y e y∉Ω↔∄y,
temos, então, um absurdo, pois ∃y→
∄y, portanto ∃Ω. Seja T outro conjunto de todas as coisas, se
∃T, então T∈Ω, já que Ω existe, então Ω∈T, logo Ω=T,
portanto Ω existe e é único. ▄
Já
que Ω existe, quando utilizamos o “ter” e o “fazer”, o
fazemos para coisas que pertencem a Ω, isto nos leva a admitir que
este conjunto é o ente primitivo de fato. O “núcleo” da TNL
serve para a representação da característica “estática (ter)”
enquanto que o “fazer” expressa qualquer modificação, portanto
o “não” é uma forma simplificada de se dizer que algo não está
em Ω. Os elementos de Ω podem indicar, inclusive, um recorte não
estático deste conjunto universal.
2.1.7
QUANTIFICADORES: “∃ EXISTE” E “∀ PARA TODO”
Existem
frases que não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas se não
tivermos mais informações, por exemplo: “x fez mais de 1000
gols”. Esta frase depende de x, portanto dizemos que se trata de
uma função proposicional. Escrevemos p(x) para representar uma
proposição aberta que depende da variável x∈U, onde U é
denominado “o universo de discurso”, se x=Pelé, então teremos
que p(x) será verdadeira.
Os
quantificadores permitem transformarmos uma proposição aberta em
proposições fechadas:
∃x∈N;
x+3=4;
∀x∈N;
x+0=x.
Estas
expressões podem ser reescritas nas seguintes formas:
Admitindo
estas formas genéricas de ocorrência, podemos dizer que o
quantificador
existencial ∃
sempre
ocorre na forma ∃x∈U:p(x)
“existe x pertencente
a U tal
que p(x) é verdadeira”,
na
TNL teríamos (.x, U.x, .p(x)). Repare que as únicas especificações
de x são que ele existe e que está contido em U, em
princípio, não
se sabe se ele é o único que faz com que p(x) seja verdadeira ou
mais detalhes a seu respeito.
Quando
queremos dizer que existe um único x tal que p(x) é verdadeira,
utilizamos o símbolo ∃!.
Para
expressarmos “∃!x∈U:p(x)”,
na
TNL, basta escrevermos:
.(p(y))>(x.y.x,
U.x)
Aqui
também há uma
única especificação inicial
de y que
é p(y) ser
verdadeira, como
não estamos
generalizando
com o uso do quantificador universal ∀,
então
estamos
especificando, apesar
de termos poucas informações.
Interpretar
a indefinição como
total
falta
de especificação pode
não
estar
correto, pois ao dizermos "uma mulher ganhou na loteria"
estamos nos
referindo
a uma mulher específica.
Aqui
o pronome indefinido “uma” pode
ser entendido como a unidade,
mas
também pode-se supor que o ganhador da loteria seja sempre unitário.
Temos a informação de que se trata de uma mulher e isto é um dado
parcial, portanto, as indefinições costumam ser, nada mais, do que
especificações
parciais.
Cabe
relembrar que a TNL define o conceito de existência de forma mais
fundamental do que esta aplicação restrita da lógica de primeira
ordem. O quantificador existencial também pode ser descartado pela
lógica como um símbolo primitivo, pois pode ser escrito em termos
de outros símbolos: ∃xA=¬∀x¬A “existe x tal que A é
verdadeira é igual a dizer que não é verdade que para todo x, A é
falso”.
O
quantificador universal ∀ também pode ser fragmentado pela TNL.
Dizer que para todo x∈U temos p(x) verdadeira “∀x∈U:p(x)”
equivale a (U.x)>.(p(x)) “U ter x faz ter p(x)”. Observando
esta última fórmula, podemos concluir que o quantificador universal
pode ser resumido a uma implicação lógica, por exemplo: “∀
homem ∃ uma morte” equivale a dizer que os homens estão contidos
no conjunto dos mortais o que é o mesmo que dizer que se x é homem,
então x é mortal. Dizer “para todo x real temos p(x)” equivale
a dizer que “se x é real, então vale p(x)”, em resumo temos que
a implicação lógica, a relação de pertinência da teoria dos
conjuntos e o ∀ são conceitos equivalentes. Pode parecer estranho
afirmar que isto vale para a implicação, o exemplo que demos
anteriormente diz que x+1=2→ x=1, poderíamos afirmar que a equação
x+1=2 está no conjunto C das equações que possuem o 1 como
solução, logo C.(x+1=2)>(x=1). Aqui temos algo que é intrínseco
ao conjunto Ω de todas as coisas: se Ω.x, então x terá as
características determinadas pela intersecção dos conjuntos que o
contém com todas as suas implicações intrínsecas.
A
fórmula do ∀ na TNL “(U.x)>.(p(x))” traz apenas uma
especificação inicial para x que é “U.x”, portanto não
devemos entender o ∀ como uma generalização indiscriminada, pois
ele está se referindo a elementos de um conjunto específico. Se
escrevêssemos “.p(x)>U.x” (p(x) ser válida faz U ter x) não
estaria correto, pois podem existir elementos fora de U tais que p(x)
seja válida. Concluímos que o “para todo” sempre se refere aos
elementos de um conjunto, logo pode ser resumido a uma relação de
pertinência. Portanto temos as seguintes fórmulas na TNL:
∀x∈U:p(x)=(U.x)>.(p(x));
∃x∈U:p(x)=(.x,
U.x, .p(x));
2.1.8
DELIMITADORES ), ( e ,
Os
delimitadores
podem
ser utilizados para indicar a
junção de elementos, escrever (xy) faz com que estejamos nos
referindo à união de x com y, portanto “xy.z” deve ser lido
como “x e y tem z” enquanto que “(xy).z” significa que xy tem
z. Muitas
vezes o contexto é claro e a aplicação dos parênteses é
negligenciada, o mesmo ocorre para as vírgulas, mas, dependendo da
situação, elas podem
ser
úteis para a organização de expressões mais complexas, “xy”
indica “x e y; já
“x, y” costuma
indicar a
listagem ou menção lado a lado de duas coisas que não precisam ser
consideradas unidas ou
relacionadas.
A
expressão (x,
°.y)
“x,
não tem y” significa “x e não tem y”, sem a vírgula ficaria
(x°.y)
“x
não tem y” o que mudaria completamente o significado da expressão.
A TNL não impõe nenhuma limitação para a organização dos
delimitadores, pois entende que isto amplia a expressividade da
linguagem e impede
o cerceamento de questões que podem surgir. A linguagem da lógica
de primeira ordem não admite que escrevamos (x.,) “x tem vírgula”
ou )( “parênteses direito e parênteses esquerdo”, isto limita
um aprofundamento na metalinguagem e implica
numa
superficialidade no domínio dos fundamentos metamatemáticos.
O
livro sobre a TNL discute, com detalhes, as possíveis combinações
e interpretações dos elementos do núcleo da linguagem, por
exemplo: “x..” pode ser lido como “x tem o ter” ou “x tem
ter”, no segundo caso temos a posse de uma posse o que poderia ser
entendido como x tendo algo, logo “x..= x.”, ele tem o ter algo
equivale a dizer que ele tem este algo. Outra possibilidade de
entendimento seria dizer que o próprio conceito fundamental de
pertinência pertence à x.
De
qualquer forma, os delimitadores não devem ser vistos como elementos
primitivos da linguagem, a vírgula pode ser substituída por uma
combinação de parênteses, pela menção dos elementos lado a lado,
por espaços vazios ou por qualquer sinal gráfico:
x,
y e wz=x, y, wz=(x)(y)(wz)=x y wz
Até
os parênteses podem ser fragmentados pela TNL, eles possuem a função
de mencionar um conjunto de elementos como um todo, “(xy)” pode
ser entendido como o conjunto que possui x e y como elementos.
Vejamos o caso dos parênteses mediante um conjunto de fórmulas:
(x).x°.(x)
(xy).x
(xy).y
2.1.9
IGUALDADE E CONSTANTES
A
igualdade também é fixada como um símbolo primitivo da linguagem
de primeira ordem, porém isto não se faz necessário pois “x=y”
pode ser reescrito como “x.y.x”. No entanto, o igual também pode
significar a equivalência entre quantidades ou características de
dois objetos que podem não ser o mesmo, ao dizermos que todos os
humanos são iguais, podemos estar nos referindo a seus direitos e
deveres, ou seja: “direitos e deveres de Valéria”=“direitos e
deveres de Márcia”, neste caso faz sentido dizermos que
“Valéria=Márcia” apesar de serem pessoas diferentes. Isto
também ocorre para as quantidades, os números desprezam a
identidade das coisas e objetos aos quais se referem, se número de
homens “h” e o número “m” de mulheres num local é o mesmo,
então escrevemos “m=h” apesar de que todas as pessoas são
diferentes uma das outras ao considerarmos suas identidades e local
que ocupam no espaço. Tratamos esta questão com rigor durante a
demonstração dos axiomas de Peano.
A
utilização do = no alfabeto da lógica ajuda a termos uma escrita
mais prática, porém seria bom ressaltar que este símbolo não é
um conceito primitivo essencial para a construção da teoria.
Na
lógica de primeira ordem, as constantes são definidas como uma
lista, vazia ou não, de símbolos que normalmente são letras
minúsculas do início do alfabeto que podem ser indexadas pelos
números naturais. Esta definição faz referência aos números
naturais de forma intuitiva sem construí-los, tal dependência
contrasta com a alegação de que a Lógica e a Teoria dos Conjuntos
podem gerar toda a Matemática de forma independente, pois depende do
conceito de número natural. Como alegar que a LPO e a TC podem
construir a matemática se ambas teorias fazem uso dos números
naturais que estão contidos dentro da matemática? Seria como
construir algo que já está inserido implicitamente tanto na teoria
construtora quanto na construída.
Na
LN, uma constante individual se refere a um substantivo, por exemplo:
Cléber, casa, a vizinha da minha avó. Uma constante de predicado se
refere aos atributos que podem ser aplicados às constantes
individuais, por exemplo: “A casa é bonita”, neste caso a
constante individual é “A casa” e a constante de predicado “é
bonita”, poderíamos escrever isto simbolicamente com “B(c)”. A
TNL descreve as constantes individuais como substantivos que podem
ser abstratos ou concretos, os casos de constantes de predicado
também são gerados pela TNL, o exemplo específico “B(c)” seria
representado por c.b “a casa tem beleza”. Além dessas
possibilidades, talvez a mais natural de todas seria dizer que uma
constante é algo que não muda, não possui alguém que a modifique
e não possui a modificação, isto pode ser escrito na TNL:
c
é constante =
c°.>
(y>c.)>°.y
As
constantes, assim como os símbolos relacionais e funcionais que
veremos a seguir, são símbolos específicos da linguagem que
estamos considerando, se estivéssemos tratando da LN, as constantes
representariam os substantivos concretos ou próprios: objetos, de
certo modo, estáticos e bem definidos. Para a LPO o mais natural é
definir uma constante como o contrário de variável:
(U.y,
°(c.y.c))>c°.>(c.y.c)
Ou
seja: se y está no universo e é diferente de c, então c não pode
ser y.
2.1.10
SÍMBOLOS RELACIONAIS E FUNCIONAIS
Já
consideramos a maior parte dos elementos que constituem a linguagem
da lógica de primeira ordem, restam apenas dois:
Símbolos
relacionais: Para cada número natural há uma lista, vazia
ou não,
de símbolos relacionais n-ários, costumam
ser
representados por letras maíusculas que também
podem
ser indexadas por números naturais;
Símbolos
funcionais: Para cada número natural há uma lista, vazia
ou não,
de símbolos funcionais n-ários, costumam
ser
representados por letras maíusculas e
podem ser indexadas por números naturais;
Estas
definições são feitas de forma genérica, aqui, o que mais chama a
atenção é que elas fazem referências a conceitos que não são
próprios da Lógica, pois o conceito de relação é definido pela
Teoria dos Conjuntos, sendo que toda função é um tipo específico
de relação conforme vimos anteriormente. Também cabe salientar,
novamente, a dependência destes conceitos em relação aos números
naturais.
Fragmentaremos
os conceitos de relação e função com
maior profundidade no
capítulo sobre a Teoria dos Conjuntos. Nesses símbolos
específicos também há uma dependência em relação ao
quantificador universal, simbolicamente
temos o seguinte:
Símbolo
relacional: ∀n∈N
∃Ln
,
onde
Ln
é
uma “lista”, vazia ou não, de símbolos relacionais n-ários;
Símbolo
funcional:
∀n∈N ∃Fn
,
onde
Fn
é
uma “lista”, vazia ou não, de símbolos funcionais n-ários.
Ambas
as definições são muito parecidas, ainda mais se considerarmos que
toda função é um tipo específico de relação. Pela TNL,
poderíamos definir os símbolos relacionais conforme segue:
N.n>.Ln
Ln.R>(R
ser uma relação n-ária)
Como
já definimos o que significa “n-ário”, relação e função,
podemos concluir que todo o alfabeto da LLPO demonstrou poder ser
derivado a partir da TNL: LLPO(TNL).
2.1.11
CONCLUSÃO
Após
este tortuoso
processo de definição da linguagem da lógica matemática, surgem
outras definições artificiais tais como: termos,
fórmulas (que dependem da definição de termo), grau de
complexidade de termos e fórmulas, subtermos, subfórmulas,
variáveis livres, substituição de variável por termo, e
etc.
Isto
causa uma grande prolixidade e névoa conceitual que impede uma visão
clara das coisas, também permite o surgimento de falácias que
costumam ser encaradas como verdades bem fundamentadas pela maioria
dos matemáticos que, infelizmente, são treinados para seguir as
definições sem questionamentos, apenas atentando-se para a sintaxe
e regras de inferência. Alguns
autores
corroboram
este pensamento ao escrever que discutir o sistema de axiomas faz
parte da filosofia, ora
isto impede que a matemática tenha um aprofundamento em suas raízes
limitando-a a
um mero conjunto de consequências, úteis ou não, de regras cujas
validades não são postas à prova.
Podemos
expor os elementos da LLPO
como
um recorte da linguagem natural, as concepções podem ser resumidas
conforme segue:
Variáveis:
(U.y,
°(x.y.x))>(x.>(x.y.x));
O
“e” expressa a validade
simultânea de A e B, neste caso: (.A, .B)>.(AB), (.A,
°.B)>°.(AB), (°.A, .B)>°.(AB), (°.A, °.B)>°.(AB);
O
“ou” expressa a validade de A ou B: (.A, .B)>.(A⋁B), (.A,
°.B)>.(A⋁B), (°.A, .B)>.(A⋁B), (°.A, °.B)>°.(A⋁B);
A
implicação pôde ser expressa por:
(.x,
.y)>.(x>y), (.x, °.y)>°.(x>y), (°.x, .y)>.(x>y),
(°.x, °.y)>.(x>y);
O
“não” é uma forma simplificada de se dizer que algo não está
em Ω;
A
fórmula do ∀ na TNL se refere a um conjunto universo U:
“(U.x)>.(p(x))”, ou também podemos dizer que U pertence ao
conjunto dos elementos que fazem valer p;
Para
o ∃
também
temos um conjunto universo U ao qual ele
se
refere,
na TNL teríamos (.x, U.x,
.p(x));
Vírgula
e parênteses:
x,
y e wz=x, y, wz=(x)(y)(wz)=x
y wz
(x).x°.(x)
(xy).x
(xy).y
Em
resumo: a vírgula indica uma separação e os parênteses indicam
uma junção;
c
é constante: c°.>,
(y>c.)>°.y;
Símbolo
relacional:
N.n>.Ln
Ln.R>(R
ser uma relação n-ária);
Símbolo
funcional:
N.n>.Ln
Ln.F>(F
ser uma função n-ária);
Igualdade:
x.y.x
que pode se referir apenas a uma
característica comum aos
elementos o
que poderia ser indexado: xc.yc.xc.
Agora
vejamos
as
demais definições que surgem dentro da LLPO com o objetivo de
provar que elas são todas derivações dos símbolos do alfabeto:
Termos:
são sequências finitas de símbolos do alfabeto que representam
indivíduos do universo em questão. Os termos obedecem a estas
regras:
As
variáveis são termos;
As
constantes são termos;
Se
t1,...tn são termos e F é um símbolo
funcional n-ário, então F(t1,…,tn) é um termo;
Todos
os termos têm uma das formas acima.
Podemos
reparar que esta definição não se faz necessária, pois
trata-se de uma sequência de símbolos que a TNL foi capaz de
reduzir. Isto apenas
causa mais poluição informacional e sobrecarrega
a sintaxe
dentro da lógica. Utilizado
a notação que estabelecemos no início do livro, temos:
termo
(sequência
finita,
alfabeto
da linguagem da LPO,
números naturais)
Constatamos
que se trata de um conceito derivado com um grau de dependência
considerável em relação a outras definições que também são
derivadas. Neste caso particular, todos os conceitos que geram a
definição de termo já foram fragmentados, continuemos:
Fórmulas:
são sequências finitas de símbolos do alfabeto que representam
afirmações sobre os indivíduos (termos). As fórmulas obedecem a
estas regras:
Se
t e s são
termos, (t=s) é uma fórmula;
Se
t1,…,tn são termos e R é um símbolo relacional
n-ário, então R(t1,…,tn) é uma fórmula;
Se
A e B são fórmulas, então (¬A), (A→B), (A⋀B), (A⋁B) e
(A↔B) são fórmulas;
Se
A é fórmula e x é uma variável, então ∃xA e ∀xA são
fórmulas;
Todas
as fórmulas têm uma das formas acima.
A
palavra “fórmula” já foi utilizada anteriormente com
significado do senso comum, a definição acima restringe-se à LPO.
É
interessante notar que expressões com significado tais como “¬ →”
e “↔ ⋀ →” são ignoradas, o
que
impede um aprofundamento metamatemático.
Tanto
termos quanto fórmulas são definidos como sequências de símbolos
e,
já
que a TNL foi capaz de construir tais símbolos, estas definições
também acabam
sendo construídas
por meio
dela:
fórmula
(sequência
finita,
alfabeto
da linguagem da LPO,
números naturais).
Podemos
constatar que se tratam
de definições
recursivas.
Fazendo
um paralelo entre
a LN
e
a LPO, as fórmulas seriam
as frases que podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. A
igualdade e os símbolos relacionais corresponderiam aos verbos (ou
locuções verbais), vejamos
alguns resultados obtidos a partir destas definições:
Estes
resultados permitem um “fechamento” e dão uma sensação de que
a teoria tem um caráter abrangente e fundamentado, certamente que as
definições recursivas contribuíram fortemente para isto. Ainda
temos que considerar mais algumas definições para terminar de
retratar esta visão geral da linguagem da LLPO:
Grau
de complexidade de termos:
Se
t é uma variável ou constante, então g(t)=0 “t tem grau de
complexidade igual a zero”;
Se
t é um símbolo funcional F(t1,…,tm),
então g(t)=n+1, onde n é o maior dos graus de complexidade de
t1,…,tm.
Grau
de complexidade de fórmulas:
• Se
A é uma fórmula atômica, então g(A)=0;
• Se
A é da forma ¬B ou ∀xB, então g(A)=g(B)+1;
• Se
A é da forma B⋀C, então g(A)=n+1, onde n é o máximo entre g(B)
e g(c).
Logo:
g.c.
de termos (alfabeto da LPO, maior, naturais, soma)
g.c.
de fórmulas (alfabeto da LPO, fórmula, naturais, soma, maior)
Estas
definições de complexidade poderiam ser mais rigorosas segundo
Fajardo (2017), podemos notar um uso indiscriminado da aritmética
sem construí-la o que contrasta, novamente, com o alegado rigor.
Quando a palavra “atômica” aparece em textos de lógica, somos
levados a imaginar algo indivisível o que denota a limitação desta
ciência em comparação com a TNL. Mais definições:
Subtermos:
• Se
t é uma variável ou constante, então t é o único subtermo de si;
• Se
t é forma F(t1,…,tn), então os subtermos de
t são t e os subtermos de t1,…,tn.
Subfórmulas:
• Se
A é uma fórmula atômica, então A é a única subfórmula de si
mesma;
• Se
A=¬B ou A=∀xB, então as subfórmulas de A são A e as subfórmulas
de B;
• Se
A=B⋀C, então as subfórmulas de A são A e as subfórmulas de B e
C.
Um
subtermo próprio de A é um subtermo de A que é diferente de A.
Analogamente se definem as subfórmulas próprias. Portanto:
subtermo(alfabeto
da LPO)
subfórmula(fórmula,
alfabeto da LPO)
Variáveis
Livres: Dizemos que x é uma variável livre em uma fórmula A se
não ocorre dentro de uma subfórmula da forma ∀xB. Quando não é
livre, dizemos que é ligada. Logo:
variável
livre(alfabeto da LPO, fórmula, subfórmula)
Ocorrência
de variável: Se refere à ocorrência de um símbolo em uma
subfórmula atômica não considerando as variáveis que aparecem ao
lado do quantificador. Ou seja:
Ocorrência
de variável(alfabeto da LPO, subfórmula, atômica)
Substituição
de variável por termo:
Substituição
de variável por termo(termo, alfabeto da LPO, substituição)
Adiante
ainda teríamos a fórmula obtida substituindo todas as
ocorrências livres da variável x pelo termo t: [A]tx.
[A]tx(alfabeto
da LPO, termo, fórmula, variável livre)
Sentença
é uma fórmula sem variável livre.
sentença(fórmula,
variável livre, não)
Para
ficar mais claro que TNL→LLPO,
consideremos os conceitos derivados substituindo “alfabeto da LPO”,
números naturais, sequência finita e maior por TNL, pois já
verificamos que estes conceitos são derivado da TNL:
termo
(TNL,
TNL,
TNL)
fórmula
(TNL,
TNL,
TNL).
g.c.
de termos (TNL, TNL, TNL, soma)
g.c.
de fórmulas (TNL, fórmula, TNL, soma, TNL)
subtermo(TNL)
subfórmula(fórmula,
TNL)
variável
livre(TNL, fórmula, subfórmula)
Ocorrência
de variável(TNL, subfórmula, atômica)
Substituição
de variável por termo(termo, TNL)
[A]tx(TNL,
termo, fórmula, variável livre).
sentença(fórmula,
variável livre, não)
Repare
que termos, fórmulas e subtermos são derivados da TNL, substituindo
suas ocorrências junto com alguns elementos do alfabeto que estão
mencionados de forma isolada, teremos:
termo
(TNL)
fórmula
(TNL).
g.c.
de termos (TNL,
soma)
g.c.
de fórmulas (TNL, TNL, TNL, soma, TNL)
subtermo(TNL)
subfórmula(TNL,
TNL)
variável
livre(TNL, TNL, TNL)
Ocorrência
de variável(TNL, TNL, atômica)
Substituição
de variável por termo(TNL, TNL)
[A]tx(TNL,
TNL, TNL, variável livre).
sentença(TNL,
variável livre, TNL)
Lembrando
que a TNL pôde construir a soma e observando que o conceito de
variável livre pode ser derivado apenas da TNL, teremos:
termo
(TNL)
fórmula
(TNL).
g.c.
de termos (TNL,
TNL)
g.c.
de fórmulas (TNL, TNL, TNL, TNL, TNL)
subtermo(TNL)
subfórmula(TNL,
TNL)
variável
livre(TNL, TNL, TNL)
Ocorrência
de variável(TNL, TNL, atômica)
Substituição
de variável por termo(TNL, TNL)
[A]tx(TNL,
TNL, TNL, TNL).
sentença(TNL,
TNL, TNL)
A
única componente que restou foi a palavra atômica que se refere às
fórmulas da forma P(t1,
…, tn)
para um predicado(relação)
P com termos
ti.
Portanto:
fórmula
atômica(LLPO)→fórmula atômica(TNL)
Portanto
TNL→LLPO.
2.2
Semântica
O
foco da semântica é propor uma interpretação para o significado
das fórmulas da LPO a partir de um universo ao qual a linguagem se
refere. Interpreta-se as constantes como elementos desse universo, os
símbolos relacionais como relações e os símbolos funcionais como
funções deste mesmo universo, estes elementos formam um modelo para
a LLPO. Logo:
modelo(LLPO,
conjunto não vazio, relação, função)
Vimos
que os termos representam elementos do universo, mais formalmente, a
interpretação de termos é uma função que relacionará cada termo
a um objeto do universo, temos:
interpretação(LLPO,
modelo, valoração)
A
valoração se aplica às variáveis, ela estabelece um valor para
cada variável no universo, logo:
valoração(modelo,
universo, função, variável)
Para
interpretar termos, devemos estender a valoração das variáveis
para todos os termos. O modelo proporciona uma interpretação para
as constantes e símbolos funcionais, logo:
interpretação
de termos(modelo, valoração, função, termo, LLPO)
A
definição de verdade a seguir foi concebida por Tarski 1944; 1957.
Ela pode ser representada da seguinte forma:
verdade(modelo,
valoração, fórmula, termo, LLPO, elemento)
Escrevemos
“(M, v)⊨A” quando a fórmula A
é verdadeira no modelo M para uma valoração v. Na TNL, tudo isto
seria substituído por “.A”. Dizemos que M “satisfaz” a
fórmula A quando (M, v)⊨A para
toda valoração v, neste caso escrevemos M⊨A.
Ou seja:
satisfatibilidade(verdade,
para todo)
Até
este momento provamos que TNL→LLPO,
precisamos provar que LLPO→SLPO para
prosseguirmos a fim de demonstrar que LLPO→ALPO, pois
SLOP+ALPO=LPO. Considerando os conceitos derivados extraídos acima,
temos que todos os elementos constituintes podem ser derivados pela
TNL, por exemplo:
modelo(LLPO,
conjunto não vazio, relação, função)→
modelo(TNL),
pois:
Portanto,
substituindo “modelo” por “TNL”, temos:
interpretação(LLPO,
TNL, valoração)
valoração(TNL,
universo, função, variável)
interpretação
de termos(TNL, valoração, função, termo, LLPO)
verdade(TNL,
valoração, fórmula, termo, LLPO, elemento)
satisfatibilidade(verdade,
para todo)
Podemos
fazer o mesmo para LLPO, universo(conjunto), função, variável,
termo, fórmula, elemento e “para todo”:
interpretação(TNL,
valoração)
valoração(TNL)
interpretação
de termos(TNL, valoração)
verdade(TNL,
valoração)
satisfatibilidade(verdade,
TNL)
Basta
observarmos que valoração(TNL) e substituirmos valoração por TNL,
para concluir que todos os conceitos são derivados da TNL:
Portanto,
acabamos de provar que TNL→SLPO.
2.3
Axiomática
Já
provamos que
TNL→(LLPO+SLPO),
resta provarmos que
TNL→ALPO.
A
axiomática da LPO é utilizada para tentar formalizar a ideia de
demonstração matemática que deve atender às seguintes condições:
Deve
existir
um conjunto de fórmulas denominadas axiomas;
Deve
haver um conjunto finito de relações n-árias dentro
das
fórmulas, estas
relações
são chamadas
de regras de inferência;
Existe
um algoritmo capaz de determinar se uma fórmula é um axioma ou não
por meio de um número finito de etapas;
Existe
um algoritmo capaz de determinar se uma n-upla de fórmulas pertence
a uma regra de inferência ou não por meio de um número finito de
etapas;
Uma
sequência finita de fórmulas é uma demonstração se, e somente
se, toda
fórmula A desta sequência é um axioma ou existem fórmulas na
sequência A1,…,An-1,
anteriores a esta fórmula dada, tais que A1,…,An-1,
A
pertence a alguma regra de inferência.
Um
teorema é qualquer fórmula que ocorre em uma demonstração.
Adicionando
as
definições
de instância e
ocorrência livre de termo na
listagem acima,
teremos:
regras
de inferência(conjunto, relações)
axioma(fórmula,
conjunto)
algoritmo(?)
n-upla(TNL)
demonstração(sequência
finita, menor,
fórmula, LLPO, axioma, regra de inferência)
teorema(fórmula,
demonstração)
instância(fórmula
da
LPO,
lógica proposicional(LP),
fórmula atômica da
LP,
LLPO, substituição)
ocorrência
livre(fórmula, termo, variável, subfórmula, LLPO)
Substituindo
os elementos que
já demonstramos ser derivados
da TNL, teremos:
regras
de inferência(TNL)
axioma(TNL)
algoritmo(?)
n-upla(TNL)
demonstração(TNL,
~axioma,
~menor,
~regra
de inferência)
teorema(TNL,
~demonstração)
instância(TNL,
LP,
fórmula atômica da
LP,
substituição)
ocorrência
livre(TNL)
Restaram
apenas os conceitos de algoritmo, LP, fórmula atômica da LP e
substituição, tratemos cada um individualmente:
A
lógica
proposicional(LP)
possui um alfabeto que está contido na LLPO, de
fato, a segunda é uma extensão da primeira. A LLPO adiciona os
quantificadores à LP. Já que ~LLPO, então devemos ter ~LP, pois a
LPO abrange a LP, mas isto só será encerrado quando tivermos
~ALPO;
As
fórmulas atômicas da LP
nada mais são do que fórmulas que não contém conectivos, logo
fórmula atômica da LP(fórmula da LP, conectivo).
Onde
fórmula da LP(variável, não, conectivos), logo ~fórmula da LP;
Quando
falamos em substituição, estamos nos referindo a um “lugar” no
sentido de substituir um x num lugar y por um
z.
Na
TNL temos (>y°.x, >y.z);
Restou
apenas o conceito de algoritmo que veremos mais adiante, pois ele se
refere aos axiomas. Analisemos
os axiomas lógicos válidos para qualquer teoria que utilize a LPO,
eles são compostos por 5 axiomas e 2 regras de inferência:
A1)
As instâncias de tautologia são axiomas: aqui temos que
A1(~instância, ~tautologia) logo ~A1. Cabe lembrar que uma
tautologia é uma fórmula que é verdadeira para qualquer valoração,
ou seja tautologia(~fórmula, ~verdade, ~valoração);
A2)
Se
A e B são fórmulas e x é uma variável que não ocorre livre em A,
então (∀x(A→B))→(A→∀xB). Logo A2(~fórmula, ~variável
livre, ~não, ~→, ~∀, ~parênteses), portanto ~A2.
A3)
Se A é uma fórmula, t um termo e x uma variável com todas
ocorrências livres em A sendo também livres para t, então
∀xA→[A]tx
é um axioma. Logo
A3(~fórmula, ~termo, ~variável, ~ocorrência livre, ~[A]tx, ~→,
~∀,
~axioma),
portanto ~A3;
A4)
Para
toda variável x temos x=x. Logo A4(~variável, ~igualdade, ~∀),
ou seja ~A4;
A5)
Se
x e y são variáveis, e A e B são fórmulas onde B origina-se de A
por meio da substituição de uma ocorrência de x por y, desde que
estas ocorrências de x e y sejam livres, então (x=y)→(A→B)
é um axioma. Logo A5(~variável, ~fórmula, ~substituição,
~ocorrência
livre, ~=,~→),
ou seja ~A5;
I1)
Modus ponens: de A e A→B
infere-se B. Logo I1(~fórmula, ~→,
~e),
ou seja ~I1. O verbo “inferir” pode ser substituído por
“implica”.
Esta regra nos diz que se A é válida e A→B,
então B será válida. Porém
isto já está presente na definição de A→B
constituindo
uma redundância
banal
que expressa V→V=V;
I2)
Generalização:
se
x é uma variável, então de A infere-se que ∀xA.
Logo I2(~variável, ~fórmula, ~∀,
~→),
ou seja ~I2. Se A é verdadeira, então A vale para todas variáveis.
Já que, dentro de fórmulas, podem aparecer variáveis,
então se uma fórmula é válida, é de se esperar que isto
independe de suas variáveis.
Pode-se
demonstrar muitos teoremas a partir do conjunto de axiomas e regras
de inferência apresentados, porém, pode-se esperar que tal tarefa
não
seja muito prática
devido
a
característica burocrática evidenciada acima. Por exemplo, para se
provar que (x=y)→(y=x), a bibliografia consultada utiliza A5 com
x=x no lugar da fórmula A e y=x no lugar de B. Na TNL bastaria
escrever
x.y.x>y.x.y. Outro
teorema diz que “se A→B
e
∀xA
são teoremas, então ∀xB
é um teorema”,
livros
de lógica combinam os axiomas e regras acima e fornecem uma
demonstração “sucinta” com poucas linhas, na TNL uma linha
basta:
(.A, .A>.B)>(.B). Se
para todo x A é válido, então expressar o x é uma redundância,
pois A sempre é válido.
Forma
normal prenexa(fórmula, subfórmula,∧,∀).
Para
encerrar este capítulo, consideremos o conceito de algoritmo por
meio da seguinte definição:
Uma
fórmula A é um teorema da LPO se existe uma sequência finita de
fórmulas (Ai)0≤i≤n de modo que A=An e
∀i≤n vale uma das seguintes condições:
Esta
definição descreve um
conjunto finito de requisitos(ou etapas) para verificarmos se uma
fórmula é um axioma ou se
pertencente
a
uma regra de inferência ou
não.
Este
conjunto de etapas é o algoritmo descrito
inicialmente, podemos reparar que já
mostramos que todos seus elementos constituintes são derivados da
TNL.
2.4
Metamatemática
Concluímos
as etapas que provam que TNL→LPO,
pois TNL→(LLPO+SLPO+ALPO). A
metamatemática costuma se referir à parte da matemática que estuda
os teoremas sobre lógica.
validade(fórmula,
LLPO, modelo, verdade, ∀)
consequência
semântica(conjunto, fórmula, linguagem, ∀, modelo, verdade, →)
consequência
sintática(LLPO, fórmula, conjunto, demonstração, sequência,
números naturais, ∀, ∃, menor, verdade, pertence, axioma,
variável, implicação)
consistente(conjunto,
fórmula, não, =, consequência sintática) – esta definição diz
que x diferente de x não pode ser consequência sintática de um
conjunto de fórmulas consistente 𝚪.
AQUI Q MORA O PERIGO
Sentença
indecidível(sentença, conjunto, fórmula, não, consistente)- esta
definição diz que se A e não A são consistentes num conjunto de
fórmulas, então a sentença A é indecidível.
Relativamente
consistente(conjunto, fórmula, consistente, não, união)
Sentença
independente(sentença, conjunto, fórmula, não, relativamente
consistente)
Resultado:
consequência sintática equivale à consequência semântica
Teorema
da Compacidade: Se todo subconjunto finito de um conjunto de fórmulas
𝚪 é consistente, então 𝚪
é consistente.
Teorema
da correção: consequência sintática implica consequência
semântica (axiomática implica somente fórmulas válidas) O sistema
de axiomas prova apenas fórmulas válidas
Teorema
de Henkin: Todo conjunto consistente de sentenças é validado por
algum modelo.
Teorema
da completude: consequência semântica implica consequência
sintática (toda fórmula válida pode ser provada, se é válida
então a axiomática pode provar)
Teorema
de Löwenheim-Skolem: Se 𝚪 é um
conjunto consistente de sentenças, então existe um modelo M cujo
domínio é finito ou enumerável e tal que M⊨𝚪.
1°
Teorema da incompletude de Gödel: Qualquer tentativa de
axiomatização da matemática será incompleta. Ou seja, sempre
haverá uma sentença que não pode ser provada nem refutada.
2°
Teorema da incompletude de Gödel: Um sistema consistente capaz de
axiomatizar a matemática não pode provar sua própria consistência.
3.
TEORIA DOS CONJUNTOS
Vimos
que a LPO depende de alguns conceitos da TC, neste capítulo
confirmaremos que o contrário também é verdadeiro o que vai contra
a suposta força destas teorias, o objetivo central será demonstrar
~TC.
A
TC não considera que os conjuntos A={a,e,i,o,u} e
B={{a},{e},{i},{o},{u}} sejam iguais, os elementos de A são as
vogais, e os elementos de B são os conjuntos unitários cujos
elementos são vogais, em resumo, considera-se que {u} seja diferente
de u. Aqui
podemos dizer que X={a,e,i}⊂A,
mas não que X∈A,
esta
diferença se baseia no fato de que o ∈
considera
cada elemento de forma individualizada.
As
chaves são encaradas como uma espécie de invólucro que deve ser
considerado, pois {u}∉u,
mas u∈{u}.
Isto
pode ser questionado, pois podemos
afirmar que as chaves não necessitam ser consideradas,
assim
os elementos de B seriam
apenas
as vogais.
Vejamos
outra
possibilidade:
seja C={1,2}, logo o
conjunto das partes de C será P(C)={∅,{1},{2},{1,2}}, o {1}
poderia ser encarado como uma cópia/representação de 1, ou seja,
P(C) poderia ser visto como um tipo de conjunto de cópias de
elementos de C, pois 1∉C,
mas {1}∈C.
O
termo
“família de conjuntos” é
redundante e nada mais significa
do que um conjunto de conjuntos, na
axiomática dos conjuntos tudo é conjunto. A
axiomática
de Zermelo-Fraenkel (ZFC)
da TC
pode ser utilizada
para formalizar toda a matemática, inclusive os teoremas
metamatemáticos, essas
formalizações apresentam
algumas
limitações, pois na
LPO
não podemos quantificar sobre conjuntos, funções e sequências de
elementos do universo. A TC
se apresenta
como uma teoria unificadora que
utiliza uma LLPO
e
é aceito
que a
ZFC pode
definir os
conceitos
matemáticos fundamentais
como
pares ordenados, produto cartesiano, funções, números
naturais
e reais. As
outras
teorias matemáticas surgiriam
a
partir destes conceitos
como
a geometria euclidiana que pode ser interpretada em R3.
3.1
∈
e
⊂
O
único símbolo específico da ZFC é o ∈
“pertence”
o
qual faria parte do núcleo da TNL, pois representaria o conceito de
“ter”, desta forma teríamos, de certo modo, que (∈=.).
Este é um fato muito interessante, pois, considerando a ZFC como uma
“teoria unificadora” da matemática, é de se admirar que esta
possua apenas um símbolo primitivo, para o qual temos ~∈.
Para
esclarecer esta
derivação é
necessário considerar um aspecto da TC que já comentamos
anteriormente: Sejam D={0,1}
e
E={0,1,2},
então
temos que
D⊂E,
mas D∉E.
Na TNL escrevemos “E.D”, pois não costumamos
considerar
as chaves, a não ser que seja explicitado que elas
fazem parte do conjunto, caso contrário, seus elementos serão
apenas o interior das chaves.
Para
a TC o
∈
carrega
a ideia de indivíduo que
se difere de conjunto por estar
dentro de outro invólucro
(chaves) além das que cercam
o conjunto ao qual pertence o elemento. Na
TNL temos:
x∈X
= (X.x,°(.Y,
X.Y, .Z, Y={Z}, Z.x))
Ou
seja, x
é elemento de X se X tem x,
mas não é
verdade que existem Y e Z, tais que X.Y e Y={Z}
com
Z.x.
Se
isto fosse verdade teríamos X.({Z}).x, o que faria {Z}.x, logo x
estaria dentro de outro par de chaves e não poderia ser descrito
como elemento de X por meio do símbolo ∈.
O
⊂
estabelece
uma relação entre conjuntos, ou seja, o objeto à esquerda do
símbolo deve estar dentro de um par de chaves além das que cercam o
termo à direita:
x⊂X
= (X.x,(.Y,
X.Y, .Z, Y={Z}, Z.x))
Ou
seja, x
é subconjunto
de X se X tem x e
existem
Y e Z, tais que X.Y e Y={Z}
com
Z.x.
Logo
X.({Z}).x
o que faz
{Z}.x,
portanto
x está
dentro de outro par de chaves e não pode ser descrito como elemento
de X por meio do símbolo ∈,
pois
se trata de um subconjunto segundo a TC.
(falar
de menor)
fazer
observação sobre o uso do =
aprofundamento
das peculiaridades mat… e restriçoes
O
vazio ∅°.∅
é sinônimo do que não existe
União
⋃F={x:∃X∈F,
x∈X}
:
é o e
Intersecção
∩F={x∈F:∀X∈F,
x∈X}
F é
um conjunto tudo é conjunto aqui
Subtração
Definição
de AxB: É o conjunto dos pares ordenados (x,y) tais que x∈A e y∈B.
Em
TNL: (A.a B.b)>(AxB).(a,b) quando não especifica, generaliza.
A
tem um a e B tem um b, então AxB tem (a,b).
igualdade
de p ordenads
ordenado
x não ordenado
Definição
de relação: (AxB).R, então R é uma relação. Portanto todo
subconjunto do produto cartesiano é uma relação(binária). (a,b)∈R
pode ser escrita aRb
O
A.E é uma relação?
R
é uma relação de A com B <=>
.A
.B
A.a>[.b
B.b aRb]
RELAÇÃO
R
é uma relação de A com B <=>
.A
.B
A.a>[.b
B.b aRb](relacionar com AE)
Definição
de Função: É um tipo de relação específico.
Funções:
f: A→B é uma função, se e somente se:
∀x∈A
∃!y∈B: (x,y)∈f onde f(x)=y
(A.x)>(.f(x),B.f(x))
ou B.(f(A))
(B.f(x), B.b, b.f(x) ) > f(x).b>
b=f(x), ou seja, o valor de f(x) é único.
Injetora
f(x)
sobrejetora
contradominio
dominio
imagem
inversa
equipotente
se existe bijeção entre
enumerável
se é equipotente a um subconjunto de N
finito
se é enumerável não e equipotente a N
sequencia
é uma funcao cujo dominio é N ou um subconjnto de N
operação
n-aria f de An em A
Definição
de ordem: Também é um tipo específico de relação binária em A
que obedece às seguintes propriedades:
∀a,b,c∈A
: a≼a(se
não valer é antireflexiva)
a≼b
e b≼a => a=b(se não valer é assimetria)
a≼b
e b≼c => a≼c
pode
acontecer de haver x e y que não possam ser comparados(seria uma
ordem parcial)
Em
TNL:
A.a>a≼a
(A.(ab)
a≼b b≼a)>a.b.a
(A.(abc)
a≼b b≼c)>a≼c
O
nome "parcial" significa que nem todo elemento de A precisa
ser comparável. Quando se tem a propriedade adicional "∀a,b∈A
=> a≼b ou a≼c ou a=b", dizemos que A é totalmente
ordenado.
Em
TNL: A.(b c)>[b≼c ou c≼b ou b=c], lembrando que "ou"
e "=" já foram reduzidos na TNL.
Se
∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado. Em
outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento.
Em
TNL: A.B>[(.b B.b) (B.x>b≼x)]
Confrontando
estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem
depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do
conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼
pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o
que implica em equivalência conceitual:
∀a∈A
: a.a
a.b
e b.a => a=b
a.b
e b.c => a.c
No
exemplo abaixo temos b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; b não se
relaciona com c.
Este
caso parece fugir da conceito de "ter", porém existe uma
comparação estabelecida de forma visual pelos elementos que estão
mais acima. Aqui não temos um conjunto totalmente ordenado, mas
apenas uma relação genérica cuja definição já foi descrita na
TNL.
Quanto
aos números, a relação de ordem se resume à uma inclusão, por
exemplo, dizer que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||
Definição
de relação de equivalência: R é uma relação de equivalência em
XxX se:
xRx
para todo x∈X
xRy
então yRx
xRy
e yRz então xRz
Em
TNL:
X.x>xRx
xRy>yRx
xRy,
yRz > xRz
equivalencia
com o =?
As
classes de equivalência dividem um conjuto em partes disjuntas
para
cada x em X definimos
[x]r={y∈x:xRy}
Realidade
=> linguagem => Matemática => Física
x.dx>(x.y.dx
y°.x) Definição de dx
Ordem:
2<3 =>3.2
O
Lema de Zorn é equivalente ao axioma da escolha em ZF
O
axioma da escolha diz que se você tiver uma coleção de cestas,
cada qual contendo pelo menos um objeto, então é possível afirmar
a existência de um conjunto, o conjunto de escolha, que contém
exatamente um objeto de cada cesta—mesmo que haja um número
infinito de cestas e não haja nenhuma regra que estabeleça qual
objeto de cada cesta deve ser escolhido para formar parte desse
conjunto. Ele equivale ao lema de Zorn.
Em
TNL: (A.A A.x)>(x.x)
O x é
uma escolha dentro de A, esta escolha é algo que se relaciona com o
conceito de vontade delimitado pela TNL.
o
par ordenado é igual ao conjunto? nã
Suponha
que C seja uma colação(conjunto) de conjuntos não vazios. Então,
C.a>(.ã a.ã ãRa), pois a é não vazio. Neste caso R significa
justamente a relação de pertinência.
A
distinção entre ∊ e ⊂ permite a concepção da ideia de
conjunto de conjuntos. Às vezes isso vem com o nome de família de
conjuntos. Isto permite o surgimento dos conjuntos das partes
definido como segue:
P(A)={x:
x⊂A} "O conjunto das partes de A é formado pelos subconjuntos
de A".
A
TNL afirma que a diferenciação entre ∊ e ⊂ é indevida, o que
implica A = P(A). Este tipo de artimanha se faz necessária para a
formulação de conceitos artificiais que se fundamentam na ideia
de família de conjuntos:
Cardinais: Seja 𝝰
uma família de conjuntos equivalentes a
A. Portanto, 𝝰 é chamado de n° cardinal de A, expresso por
𝝰=|A|.
Ordinais: Seja
A um conjunto bem ordenado e 𝝀 uma família de
conjuntos bem ordenados semelhantes à A, então 𝝀
é um n° ordinal, expresso por ord(A).
Os
conceitos acima dependem dos termos "equivalentes",
"semelhantes", "bem ordenado" e "família".
Os dois primeiros derivam da ideia de função que já foi reduzido
pela TNL. Dois conjuntos A e B são equivalentes se existe uma função
bijetora entre eles, o conceito de conjuntos semelhantes traz
embutida a ideia de que A e B devem ser bem ordenados, este também é
um conceito que já foi reduzido pela TNL.
Já
definimos precisamente o conceito de relação dentro da TNL,
uma ordem parcial ≼, em A, é um tipo de relação
que obedece às seguintes propriedades:
∀a∈A
: a≼a
a≼b
e b≼a => a=b
a≼b
e b≼c => a≼c
Em
TNL:
A.a>a≼a
(A.(ab)
a≼b b≼a)>a.b.a
(A.(abc)
a≼b b≼c)>a≼c
O
nome "parcial" significa que nem todo elemento de A precisa
ser comparável. Quando se tem a propriedade adicional "∀a,b∈A
=> a≼b ou a≼c ou a=b", dizemos que A é totalmente
ordenado.
Em
TNL: A.(b c)>[b≼c ou c≼b ou b=c],
lembrando que "ou" e "=" já foram reduzidos na
TNL.
Se
∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado.
Em outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento.
Em
TNL: A.B>[(.b B.b) (B.x>b≼x)]
Confrontando
estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem
depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do
conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼
pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o
que implica em equivalência conceitual:
∀a∈A
: a.a
a.b
e b.a => a=b
a.b
e b.c => a.c
No
exemplo abaixo temos b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; b não se
relaciona com c.
Este
caso parece fugir da conceito de "ter", porém existe uma
comparação estabelecida de forma visual pelos elementos que estão
mais acima. Aqui não temos um conjunto totalmente ordenado, mas
apenas uma relação genérica cuja definição já foi descrita na
TNL.
Quanto
aos números, a relação de ordem se resume à uma inclusão, por
exemplo, dizer que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||
PARTIÇÃO
A.P.A
[P.(x
y) °(x.y.x) x.z y.z]>(z°.z)
Axiomas
de Zermelo-Fraenkel: Este conjunto de sentenças fundamenta a Teoria
dos Conjuntos, aplicaremos a TNL para demonstrá-los ou para apontar
possíveis inconsistências:
• Axioma
da extensão: Dois conjuntos são iguais se eles possuem os mesmos
elementos. - Temos aqui uma obviedade que pode ser resumida da
seguinte forma como um mero resultado da TNL: A=B ↔ A.B.A ▄
• Axioma
da regularidade: Todo conjunto não-vazio x contém um elemento y tal
que x e y são disjuntos (não possuem elementos em comum). - Este
axioma produz a seguinte contradição:
°(x.Ø.x)>(.y
x.y y.z>x°.z x.w>y°.w )
(x.y.z>x.z)
absurdo. ▄
• Axioma
do par: Se A e B são conjuntos, então A Ս B (a união dos dois
conjuntos) é um conjunto. - Podemos resumir este fato da seguinte
forma: (AB).A (AB).B ▄
• Axioma
da união: Para todo conjunto A existe um conjunto B tal que todo
elemento que pertence a um elemento de A é um elemento de B. - Esta
sentença nos leva a concluir que B.A, vejamos: A.x.z>B.z>B.x>B.A.
A existência do conjunto de todas as coisas também implica neste
fato.▄
• Axioma
da potência: Para todo conjunto A existe um conjunto B que tem como
elementos os subconjuntos de A. - Novamente temos aqui algo
incoerente que decorre da diferenciação entre elemento e conjunto,
isto nos levará à conclusão de que B.A ▄
SÍNTESE
ESQUEMÁTICA
Preface
to Logic,
Language and Meaning,
by L. T. F. Gamut, University of Chicago Press, 1991.
