FREGE 1848-1925
“A linguagem é uma criação do homem.” (FREGE, 2009, pg.218)
“Se tivéssemos uma linguagem logicamente mais perfeita, talvez não mais precisássemos de uma lógica, ou pudéssemos decifrá-la na linguagem. Mas estamos muito longe disso. O trabalho lógico é, em grande parte, precisamente um combate contra os defeitos lógicos da linguagem, que, entretanto, é para nós um instrumento indispensável. Apenas depois de terminado nosso trabalho lógico teremos um instrumento mais perfeito.”(SILVA, 2008, p.136 apud FREGE, 1964, p.110).
“(...) deparei-me com o obstáculo da insuficiência da linguagem [corrente]; além de todas as dificuldades inerentes ao manuseio das expressões à medida que as relações se tornavam mais complexas, tanto menos apto me encontrava para atingir a exatidão exigida. Tal dificuldade levou-me a conceber a presente conceitografia.” (FREGE, 2009, pg.45)
Frege é considerado o fundador da lógica moderna (MORTARI, 2016, p. 162), apesar disso, ele não obteve muito reconhecimento durante sua vida. Ao completar 60 anos, foi-lhe negada a condecoração tradicional que era concedida a todos os professores que atingem esta idade, sua conceitografia teve uma recepção fria e, em 1882, apresentou um trabalho cuja publicação foi rejeitada pelos editores (FREGE, 2009, pg.10, 17, 18), a alegação era de que seu trabalho carecia de importância acadêmica.
Os trechos destacados no início deste capítulo nos mostram que Frege não foi capaz de formalizar a linguagem natural, ele nos diz que ela é imperfeita, mas, de forma controversa, admite ser ela um instrumento indispensável:
“O trabalho lógico é precisamente, em grande parte, um combate contra os defeitos lógicos da linguagem, que é, porém, para nós, um instrumento indispensável.”(SILVA, 2008, p.115, apud FREGE, 1969, p.272).
Esta contradição demonstra que, de fato, a incapacidade de dispor uma formalização da linguagem comum obrigou os lógicos a dependerem dela em última instância, fundamentando boa parte de suas teses sobre algo que, para eles mesmos, possui defeitos. A crítica que Frege faz à lógica tradicional constitui-se, basicamente, em opor-se a sua dependência em relação às “ilusões linguísticas” (SILVA, 2008, p.131, 132 apud FREGE). Assim como os outros lógicos de renome sobre os quais trataremos neste livro, Frege também encontra dificuldades que não pôde superar quando tentou analisar a linguagem comum: seria impossível qualquer conexão sistemática entre as formas gramaticais e as formas lógicas. Daí ele parte para a construção de um simbolismo apropriado que denominou de “conceitografia” voltado exclusivamente para o cálculo demonstrativo, sem ter que se preocupar com as variadas funções semânticas da linguagem comum.
“A razão dos defeitos salientados está numa certa maleabilidade e mutabilidade da linguagem [comum], que é, por outro lado, condição de sua capacidade de desenvolvimento e de sua aplicabilidade variada. Sob esse aspecto, a linguagem comum pode comparar-se à mão, que, apesar de sua capacidade de se acomodar às mais diferentes tarefas, não nos basta. Criamo-nos mão artificiais, instrumentos para fins particulares, que operam de maneira mais precisa do que a mão seria capaz. E o que torna possível essa precisão? Justamente a rigidez, a imutabilidade das partes, cuja falta torna a mão tão diversamente hábil. Assim, também a linguagem verbal não basta. Carecemos de um conjunto de sinais dos quais se extirpe toda ambiguidade e cuja forma e rigorosamente lógica não deixe escapar o conteúdo." (SILVA, 2008, p.133 apud FREGE, 1964, p.110).
É evidente que Frege não fundamenta seu método exclusivamente sobre a lógica, esta analogia evidencia isto. A mão seria a linguagem comum e o instrumento seria a lógica, admite-se que a mão faz a ferramenta e portanto tem maior poder, logo, se pensarmos em obter os fundamentos primitivos da lógica, teríamos que explorar a linguagem comum. Portanto, a conceitografia teria como papel compensar a falta de rigidez da linguagem comum no que concerne às demonstrações lógico-matemáticas, porém a linguagem comum não deixa de ter um papel importante, pois seria um instrumento valioso para a consolidação das ciências em termos originários, num momento anterior à formalização.
De acordo com Franzon&Brito (no artigo “Um estudo sobre Leibniz e a criação de um alfabeto do pensamento humano -apud Struik 2011, editorarealize.com.br/editora/anais/ebrapem/2011 - consultado em 25/6/21 - 11:00 - Autora Carmen Rosane Pinto Franzon - coautora Arlete de Jesus Brito p. 181) “A procura de um método universal através do qual pudesse obter conhecimento, fazer invenções e compreender a unidade essencial do universo foi o principal objetivo de sua vida." Ao contrário disso, a intenção de Frege jamais foi (pelo menos não abertamente) a obtenção de uma estrutura geral e acabada da realidade, como tentou Leibniz com seu “silabário da razão ou alfabeto do pensamento” cujo objetivo era fazer um levantamento das ideias fundamentais (FREGE, 2009, pg.16). Frege queria apenas descobrir uma fundamentação para a aritmética e não para a lógica, mas, apesar de seu desejo, sua principal contribuição foi a quantificação que relaciona-se diretamente com o campo da lógica. (FREGE, 2009, pg.11, 12, 13). Frege pensava que a simples presença da variável seria suficiente para expressar a universalidade/generalidade o que está diretamente relacionado com o quantificador universal, isto está de acordo com uma das interpretações do quantificador universal que apresentei (MOTA, 2020b), porém ele acaba confundindo uma variável que toma um valor (algo que não é mais uma variável) e variável e, também, o indefinido com o constante, pois algo constante pode ser indefinido para alguém:
“(...) a expressão ‘uma variável toma um valor’ é bastante obscura. Uma variável deve ser um número indefinido; mas como pode um número indefinido assumir um número?” (FREGE, 2009, pg. 199)
Sua visão sobre a definição de existência e, consequentemente, sobre o quantificador existencial equivale àquela que enunciei (MOTA, 2020a):
“(...) em lugar do ‘existe’ também se pode dizer ‘é igual a si mesmo’(...)” (FREGE, 2009, pg.182)
“(...) pois admitimos que ‘há homens’ é o mesmo que ‘há homens iguais a si mesmos’ (...)” (FREGE, 2009, pg.184)
Este pensamento pode ser utilizado para deslegitimar os resultados obtidos por Gödel, pois ele toma coisas diferentes de si mesmas (coisas inexistentes) em suas demonstrações. A única diferença que encontrei entre a definição de Frege e a minha a respeito da existência, é que ele dizia que ela não é uma propriedade (FREGE, 2009, pg.171). Eu penso que ela seja uma propriedade, pois a existência é algo próprio do que existe e podemos definir a propriedade p(x) como sendo x = x.
No que se refere à realidade, Frege acreditava que função e objeto são os seus dois aspectos fundamentais (FREGE, 2009, pg.26, 30), para ele todas as coisas existentes devem ser função ou objeto. Estes dois entes seriam irredutíveis, simples, indecomponíveis e indefiníveis, todos os entes podem fazer parte apenas do espaço físico exterior ou na consciência. Isto, pelo menos em parte, está de acordo com o que escrevi sobre este tema (MOTA, 2020a), as seguintes passagens servem para solidificar esta descrição:
“Distingo as seguintes fontes de conhecimento: 1- A percepção sensível; 2- A fonte lógica de conhecimento; 3- A fonte geométrica de conhecimento e a fonte temporal de conhecimento.” (FREGE, 2009, p.215).
“Considero impossível uma definição regular [de objeto], já que nos deparamos com algo cuja simplicidade não admite nenhuma análise lógica. (...) E só se pode dizer sucintamente o seguinte: um objeto é tudo o que não é função, tudo aquilo cuja expressão não contém lugar vazio.” (FREGE, 2009, pg.96)
“Antes de mais nada, gostaria de observar que minha explicação não deve ser tomada como uma definição propriamente dita. Não se pode exigir que tudo seja definido, da mesma maneira que não se pode exigir do químico que decomponha todas as substâncias. O que é simples não pode ser decomposto, e o que é logicamente simples não pode ter uma definição propriamente dita. O logicamente simples não nos é dado logo de início, tal como ocorre também com a maioria dos elementos químicos.” (FREGE, 2009, pg.112)
“De fato, todos os objetos se dividem em duas classes: os objetos da experiência e os objetos da ideia.” (FREGE, 2009, pg. 186).
Algo interessante a se destacar nestas passagens é que a ideia de que um objeto é tudo aquilo que não é função, implica que objetos para os quais há função, p. ex. ferramentas, não são funções, apesar de possuírem uma função. Isto nos leva a pensar os objetos como aquilo que não possui o poder da modificação, ou seja: o inanimado.
O objetivo de Frege não era identificar as formas válidas de argumento, ele procurou sistematizar o raciocínio matemático e tornar preciso o conceito de demonstração matemática (MORTARI, 2016, p. 50). Frege acreditava que a lógica não tem nenhuma relação com processos mentais, ela deveria ser objetiva e pública, ao passo que o mental seria algo particular, subjetivo e privado, Frege era antipsicologista (HAACK, 2002, p. 97, 311). Há o que se questionar a respeito disto, pois não há motivos para diferenciar o público do conjunto de manifestações e relações de subjetividades. Frege não via o significado de expressões como sendo ideias (entidades mentais), mas sim como um pensamento (algo abstrato, uma proposição que seria pública), as ideias, segundo ele, seriam essencialmente privadas: “você não pode ter minha ideia e vice-versa assim como não podemos ter a dor de cabeça um do outro”.
O período histórico no qual a lógica moderna surgiu deve muito à reflexão sobre os fundamentos da matemática na virada do século XIX para o século XX. Frege afirmou ter superado Euclides (SILVA, 2008, p.16, apud FREGE), pois teria fixado todos os modos de inferência e dedução antes de tentar reduzir o número de leis primitivas. Esta é a forma tradicional do procedimento axiomático, onde tudo aquilo que não é essencial para a construção da teoria (pode ser derivado a partir de um pequeno conjunto de leis primitivas) é deixado de lado, pois pode ser obtido assim que necessário. Para Frege a linguagem comum não serviria como ferramenta segura para demonstrações matemáticas ou para a representação logicamente adequada de pensamentos (FREGE, 2009, pg.15, 18), logo, sua conceitografia não era para ser uma lógica, mas uma linguagem feita para substituir a linguagem natural devido sua imperfeição e insuficiência para usos científicos. Esta foi a principal razão para a formalização em linguagens artificiais que temos visto até aqui, o que estreita o poder expressivo na teoria. A busca da construção de um sistema de linguagem adequado aos conteúdos matemáticos conduz Frege à empreitada de sua conceitografia (Begriffsschrift ) enquanto linguagem de fórmulas e consequente edificação do sistema da lógica (SILVA, 2008, p.18, 110, 114, 115, 130, 131). Frege admite que conceito de verdade é objetivo e deve ser o centro de toda e qualquer ciência inclusive da lógica, além de criticar os matemáticos por não partilharem da mesma inquietude:
“De fato, toda ciência tem a verdade como meta. (...) Descobrir verdades é tarefa de todas as ciências, à lógica compete conhecer as leis do ser verdadeiro. (...) Talvez não fosse incorreto dizer que as leis lógicas nada mais são que uma explicação do conteúdo da palavra ‘verdadeiro’. Quem não tenha captado o significado dessa palavra não pode também fazer-se evidente a tarefa da lógica.” (SILVA, 2008, p.26, apud FREGE, 1918, 342 e 1969, p.139)
“(...) a diferença na concepção de verdadeiro aparece-me como a fonte da controvérsia. Para mim, o verdadeiro é objetivo, independente daqueles que julgam (...)” (SILVA, 2008, p.31, apud FREGE, 1962a, p.XVIII)
“A maior parte dos próprios matemáticos não está preparada para oferecer uma resposta satisfatória (...). Ora não é vergonhoso para uma ciência estar tão pouco esclarecida a respeito de seu objeto mais próximo e aparentemente tão simples?” (FREGE, 2009, pg.19)
Um argumento que pode surgir a respeito da objetividade da verdade deve ser constituído por uma expressão que contenha algo de subjetivo. A frase “ela é alta” não poderia, a princípio, representar algo verdadeiro ou falso já que depende da opinião ou critério de quem fala. Este exemplo parece refutar a objetividade da verdade, porém se x diz que “ela é alta”, o que temos é a expressão de uma verdade: o fato que x tem tal opinião. Se esta opinião for de consenso coletivo, então o mesmo raciocínio estende-se a uma padronização para a qual as pessoas concordam. Mesmo se o grau de sensibilidade ou faculdades mentais de alguns indivíduos forem muito discrepantes a ponto de terem opiniões totalmente divergentes, isto expressaria apenas o fato de que eles pensam de formas diferentes sobre um mesmo objeto ou fato.
Frege ataca a visão psicologista da lógica, pois a recusa de que existam verdades objetivas levaria à desconsideração de toda meta científica conforme observamos anteriormente. Para ele, se o conceito de verdade tem fundamento, então toda forma de subjetivismo e relativismo está repelida: a verdade independe de atos relativos ao seu reconhecimento, a lógica está fora do domínio da psicologia e pensamentos podem contrariar fatos, mas nunca invalidá-los (SILVA, 2008, p.39, 42, apud FREGE).
“O significado da palavra ‘verdadeiro’ parece ser inteiramente sui generis. Estaríamos aqui às voltas com algo que, no sentido mais usual da palavra, absolutamente não pode ser chamado de propriedade? Apesar dessa dúvida, pretendo por ora exprimir-me ainda conforme o uso comum da linguagem, como se a verdade fosse uma propriedade, até que se descubra algo mais exato. (...) Mas assim fracassa também toda tentativa de definição do ser verdadeiro. Isso porque em toda definição certas características são anunciadas e, no momento da aplicação a um caso particular, importaria sempre saber se seria verdadeiro que essas características lá estivessem. Girar-se-ia, pois em círculo. É, portanto, verossímil que o conteúdo da palavra ‘verdadeiro’ seja inteiramente sui generis e indefinível.(...) A verdade é manifestamente algo tão primitivo e simples que não é possível reduzi-la a nada ainda mais simples.” (SILVA, 2008, p.57, 65 apud FREGE, 1918, p.140,344, 345 e 1969, pp.139s).
“O que é verdadeiro, considero indefinível.” (FREGE, 2009, pg.208)
“E porque então a palavra ‘verdadeiro’, que parece destituída de conteúdo, é contudo imprescindível? Em se tratando de fundar a lógica, não seria pelo menos aqui possível evitar totalmente essa palavra, já que ela só cria confusão? O fato disso não poder ser feito deve-se à imperfeição da linguagem.” (FREGE, 2009, pg. 213)
“Mas é exatamente por esse motivo que tal palavra (verdade) parece adequada para indicar a essência da lógica.” (FREGE, 2009, pg. 213)
Nestas passagens vemos que Frege não possuía uma definição exata da ‘verdade’ nem acreditava que isto fosse possível, juntando isto à sua visão de que a meta de cada ciência seria a verdade sobre algo e que o tema da lógica envolve basicamente a verdade, então nos deparamos com um impasse aparentemente sem solução, pois como trabalhar com algo que você nem ao menos consegue definir? A saída foi considerar a verdade como uma propriedade, mas sem definir o que seria uma propriedade, o que recai no círculo vicioso criticado.
Em seu artigo Der Gedanke, Frege questiona a definição correspondencial clássica da verdade (SILVA, 2008, p.64, 65, apud FREGE), esta posição vai na contramão dos lógicos mais proeminentes, inclusive dos aqui citados, porém ele assume uma visão ontológica em contraposição à epistemológica. Se pensarmos que toda questão teórica refere-se ao fato dela ser verdadeira ou não, então nada mais fundamental haveria do que a questão da verdade. Ao questionar a correspondência com a realidade, Frege parece contrariar a si mesmo, pois sua visão de meta das ciências elabora-se sobre a observação e constatação de fatos em correspondência com teses.
Frege não avança de forma profunda sobre as teses mais primitivas da lógica. Para ele, por definição, tais fundamentos não poderiam ser logicamente justificados. Portanto, a fase de constituição da lógica baseou-se na linguagem comum, confiando e desconfiando desta, a conceitografia depende da linguagem comum, mas tenta distanciar-se dela. Frege admite que, tanto a origem da conceitografia quanto de qualquer outro simbolismo estritamente artificial, devem depender da linguagem natural e do subjetivismo. (SILVA, 2008, p.136-141 apud FREGE, 1964, p.25):
“Nem tudo pode ser definido. Só o que foi decomposto em conceitos pode vir a ser reconstruído com partes obtidas da decomposição. Mas o que é simples não pode ser decomposto e, portanto, não pode serdefinido.” (FREGE, 2009, pg.220)
“Também ela [a conceitografia], é certo, não transmite o pensamento de modo puro, como não poderia ser de outra maneira, em se tratando de um meio exterior de representação; mas, podem-se, por um lado, limitar esses desvios ao que seja inevitável e inofensivo; por outro lado, já por serem eles de espécie completamente diferente dos que são próprios da linguagem [comum], é tal meio de expressão pode prover refúgio seguro contra uma influência unilateral." (SILVA, 2008, p.142 apud FREGE, 1964, p.XIII)
Representações não podem substituir aquilo que representam, elas dependem daquilo que sua constituição tenta reproduzir artificialmente o que, por sua vez, jamais poderá substituir o objeto representado em si. A linguagem natural representa o pensamento e, portanto, para Frege, é fundamental para a inteligibilidade de sua conceitografia que não é capaz de investigar seu próprio vocabulário primitivo.
“Assim, é curioso que, mais de uma década após a publicação do primeiro volume das Grundgesetze, cuja primeira parte expõe sistematicamente uma morfologia lógica pura e define sistematicamente uma gramática lógica pura, Husserl tenha escrito que a lógica ainda não houvera sequer chegado a “conceber a ideia de uma morfologia lógica pura.” (SILVA, 2008, p.146 apud HUSSERL - Investigaciones Lógicas II p. 143).
Este ponto de vista de Husserl parece apenas constatar a obviedade de que a lógica depende da linguagem comum e dela extrai seus conceitos primitivos de forma não tão pura assim. Frege descreve sua conceitografia como “uma linguagem de fórmulas do puro pensar que imita a da aritmética”, ele explica que esta imitação se apropria de uma ideia fundamental que é o uso de letras como entes indeterminados e de generalidade, mas não deixa de admitir sua inferioridade de poder expressivo frente às línguas naturais que, para exprimir conteúdos de outra espécie, são vitais (SILVA, 2008, p.154, 155, 178, 179, apud FREGE).
“Não há lugar para a distinção entre sujeito e predicado em minha representação do juízo(...)”(SILVA, 2008, p.159, apud FREGE, 1964 pp.2s e 1969 p.153).
Esta constatação é evidente do ponto de vista que considera o sujeito como sendo formado por suas propriedades que podem incluir descrições de ações ou elementos intrínsecos ao sujeito: dizer que x é molhado equivale a afirmar que x tem água sobre si, portanto o mais preciso seria dizer que o sujeito contém o predicado (MOTA, 2020a).
“Como refutação, só poderia admitir que alguém mostrasse efetivamente seja que com concepções básicas distintas pode-se edificar algo de melhor ou de mais sólido, seja que meus princípios levam a conseqüências visivelmente falsas. Isto, porém, ninguém conseguirá.” (FREGE, 2009, pg.33)
Posteriormente a este desafio de Frege, Russell apresentou-lhe a falácia do Paradoxo do Mentiroso, fazendo com que Frege mergulhasse em profunda melancolia e decepção, pois todos seus esforços para reduzir a aritmética à lógica foram infrutíferos (FREGE, 2009, pg.34, 35, 36):
“Eu mesmo, tentando encontrar um fundamento lógico para os números, fui vítima dessa ilusão.” (FREGE, 2009, pg.218)
Apesar deste episódio de discordância, é evidente que Russell baseou-se nos trabalhos de Frege para desenvolver sua Teoria dos Tipos, pois o alemão dividia seus conceitos por níveis de hierarquia de forma muito semelhante ao que o inglês propôs em sua teoria (FREGE, 2009, pg. 121, 192).
Outro episódio interessante: em certa ocasião, o renomado lógico E. Schröder, em publicação na Revista de Matemática e Física vol. XXV, comparou a teoria de Frege com a linguagem formular de Boole, sua conclusão foi a de que a teoria booleana era preferível sobre todos os aspectos. Após tentar justificar-se (inclusive de forma irônica), Frege afirma: “Iria longe demais se quisesse responder a todas as questões de Schröder.” (FREGE, 2009, pg. 67, 80). O filósofo e lógico Benno Kerry (1858-1889) afirmou que a ideia de Frege sobre conceito era inconsistente (FREGE, 2009, pg.30), pois a expressão “o conceito F”, levaria o conceito a ser um objeto devido à presença do artigo definido (segundo o próprio Frege), isto levaria a uma contradição muito incômoda, pois Frege dizia que um conceito nunca pode ser um objeto. Frege, (2009, pg.115) tentou justificar isto em seu artigo “Sobre conceito e objeto” de 1892, porém de forma muito confusa e inconclusiva:
“Conforme disse anteriormente, eu não pretendia dar uma definição, mas apenas sugestões, e para isso fiz apelo à intuição linguística dos que falam o alemão.” (FREGE, 2009, pg.115)
FREGE, (2009, pg. 28), diz que as expressões “2+2=4” e “6-2=4” possuem o mesmo referente, mas sentidos diferentes, este exemplo resume bem seu artigo “Sobre sentido e referência” de 1892, concordo com ele quando diz que a apreensão de um sentido não assegura a existência de sua referência (FREGE, 2009, pg.133,135,140), pois nem todas coisas representáveis (com sentido) representam necessariamente algo existente.
Esta visão da matemática foi admitida por Frege mais ao final de sua vida:
“Quanto mais eu reflito, mais convencido me torno de que a aritmética e geometria se desenvolveram a partir do mesmo fundamento, na verdade do geométrico, e assim sendo toda a matemática é finalmente geometria.”(FREGE, 2009, pg.38)
Crítica à matemática:
“Tal equívoco surge da imperfeição da linguagem, da qual nem mesmo a linguagem simbólica da análise matemática está totalmente isenta.” (FREGE, 2009, pg.147)
O OLHO E O MICROSCÓPIO A GÊNESE E OS FUNDAMENTOS DA LÓGICA SEGUNDO FREGE - LUIZ HENRIQUE LOPES DOS SANTOS - EDITORA NAU - 2008 , RIO DE JANEIRO: TRAREPA
LÓGICA E FILOSOFIA DA LINGUAGEM - SELEÇÃO, INTRODUÇÃO, TRADUÇÃO E NOTAS DE PAULO ALCOFORADO - G. FREGE - EDUSP - 2ED AMP. E REV. - SÃO PAULO - 2009
