Esboço-Livro4-Cap4 Paradoxo central e publicações

 4. PARADOXO CENTRAL

Os paradoxos causaram algumas implicações questionáveis dentro da lógica e da teoria dos conjuntos, nosso objetivo, neste capítulo, é evidenciarmos este fato. Curry (1977, p. 7), diz que os paradoxos são uma questão aberta e que não há uma explicação universalmente aceita, penso que há uma solução para esta questão, mas ela não é aceita por causa de interesses extra-matemáticos. O seguinte teorema nos fornece um bom ponto de partida:

Teorema (Paradoxo de Russell). Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou seja ∀x∃y tal que y∉x.

Demonstração: suponha, por absurdo, que exista um conjunto y tal que, para todo x, x∈y. Utilizando o axioma da separação para a fórmula x∉x, existe z tal que, para todo x, x∈z↔(x∈y e x∉x). Já que x∈y é verdadeiro para todo x temos que x∈z↔x∉x. Tomando z no lugar de x, temos z∈z↔z∉z, absurdo.▄

Observe que tomou-se um x tal que "x∉x", este procedimento é absurdamente problemático, pois não justificou-se a existência de tal x, desta forma, as hipóteses do teorema podem não ser válidas ou referem-se ao conjunto vazio¹, pois deve-se pressupor que ∀x refere-se a todo x existente. Repare que, além disso, a Teoria dos Conjuntos nos levaria a concluir que (x∉x)↔(x≠x) que constitui outra forma de representação de tal x. O fato é que argumentos que tomam "x∉x" (admitindo-o como algo existente) contrariam importantes lógicos e matemáticos:

“É impossível que a mesma coisa pertença e não pertença a determinada coisa ao mesmo tempo e sob o mesmo respeito. (…) Ninguém pode crer que a mesma coisa possa (ao mesmo tempo) ser e não ser.” (COSTA, 2008, p. 121, apud ARISTÓTELES).

“(...) em lugar do ‘existe’ também se pode dizer ‘é igual a si mesmo’ (…) pois admitimos que ‘há homens’ é o mesmo que ‘há homens iguais a si mesmos’ (...)” (FREGE, 2009, p. 182, 184).

“‘Existe x’ equivale a dizer que ‘x é real’, que ‘x é uma realidade’.” (SCHLICK et al., 1975, p. 58).

Não há contradições verdadeiras, pois não há contradições, elas representam coisas inexistentes (falsas), todavia, a tese de Heráclito-Hegel diz que há contradições verdadeiras, mas não há prova de que elas existam (COSTA, 2008, p. 232, 237, 244). Mortari (2016, p. 68-9, 438-49 ), concorda que não há um x diferente de si mesmo, todos objetos do universo são iguais a si mesmos, isto parece ser um consenso entre os principais lógicos. De acordo com Almeida (2017, p. 101), existe uma tradição que, desde a época de Aristóteles, afirma que o princípio da identidade (para todo x, tem-se x=x) é um dos requisitos básicos para o pensamento válido. Portanto, x=x e x≠x produz y e “não y” o que viola tal princípio e produz pensamentos inválidos.

Em seu artigo, “Anatomy of a Nonidentity Paradox”, Jacquette (2016) engatinhou algumas problemáticas envolvidas com a questão da existência de algo diferente de si mesmo. Estamos de acordo que predicar coisas inexistentes é uma falha não percebida pela maioria dos lógicos e matemáticos que se envolvem com fundamentos, o autor questiona se algo realmente pode satisfazer a propriedade ∀x(Fx→x≠x), apesar de ser uma expressão de sintaxe correta, pensamos que ela restringe-se a elementos inexistentes que não possuem propriedades além da não existência:

“Nothing in classical logic truly has a property unless it exists.” (JACQUETTE, 2016, p. 124).

Kearns (1968), já havia percebido esta nuance, ele admitiu que uma definição conveniente de existência de x seria dizer que x = x, ele também criticou as conclusões de Hintikka por ele não ter estabelecido condições universais para a existência, além disso, critica o fato de que os sistemas quantificacionais habituais obscurecem o conceito de existência. Poincaré, Hilbert e Cantor acreditavam que “existência” significa estar livre de contradições (SILVA, 2007, p. 167, 198), logo, não faz sentido considerá-las como elementos de qualquer teoria. Na verdade, de uma contradição pode-se deduzir qualquer coisa (ex falso quodlibet ou princípio da explosão), isto ocorre na lógica clássica, nas modais e na intuicionista, mas não nas relevantes (MORTARI, 2016, p. 476). Esta contradição (tomar x≠x, sendo que ∀x: x=x) foi utilizada inclusive por Gödel (1906-1978) na demonstração de seus teoremas o que os torna inválidos por ex falso quodlibet, pois, diante de uma contradição, pode-se demonstrar qualquer coisa, inclusive que Gödel está errado.

“Gödel montou sua proposição indecidível encontrando uma versão formal do paradoxo lógico ‘esta afirmação é falsa’, ou, mais precisamente, ‘esta afirmação não possui uma prova’.” (STEWART, 2009, p. 216).

“The liar paradox is one of the oldest paradoxes, dating back from Epimenides of Crete and Eubulides of Miletus. Gödel used it to prove his famous incompleteness theorem. The liar paradox is still at the heart of logic having no recognized universal satisfactory solution.” (https://sites.google.com/view/unilog-2022/workshops/liar-paradox - 4/2/22 - 18:22)

Realmente, a estratégia de sua prova relaciona-se com o paradoxo mais antigo (o paradoxo do mentiroso), Gödel apresenta a proposição “esta própria sentença não é dedutível dentro deste sistema”, que é análoga a este paradoxo (HOFSTADTER, 1979, p. 25-6, 36). Ele usou os paradoxos do mentiroso e de Richard para tentar explicar seu raciocínio (NAGEL e NEWMAN, 1973, p. 57), porém, “todas as outras formulações de sua prova” (por exemplo: a de Alan Turing) usaram paradoxos diferentes dos de Gödel. “Esses paradoxos, embora diferentes entre si, são todos da variedade auto-referencial.” (GOLDSTEIN, 2008, p. 140-2). Paradoxos auto-referenciais geram coisas inexistentes, isto nos faz voltar à crítica de que Gödel usou algo inexistente em seus trabalhos. Outro fator problemático é que ele baseou-se na Teoria dos Tipos (FAJARDO, 2017, p. 145; HOFSTADTER, 1979, p. 36) cuja fundamentação, conforme temos visto, apresenta sérios problemas.

“Com efeito, a demonstração dos teoremas de incompletude que Gödel fizera em 1931 aplicava-se apenas aos sistemas aparentados aos Principia Mathematica.” (WAGNER, 2009, p. 84)

Vimos que Frege, o pai da lógica moderna, pensava que dizer “x=x” equivaleria a dizer que x existe. Aristóteles, Leibniz, Kant, Hilbert, Poincaré e Cantor também concordavam com o princípio da não-contradição, portanto, o raciocínio de Gödel é contrário ao que diziam os maiores matemáticos e lógicos do passado, ele formulou uma expressão que desobedece este princípio fundamental, ora, não seria incorreto utilizar algo inexistente ou cuja existência não foi provada para demonstrar um teorema referente à realidade matemática?

O 1° teorema da incompletude de Gödel afirma que toda axiomatização da matemática será incompleta, ou seja: sempre haverá uma sentença que não pode ser provada nem refutada. Portanto, já que os axiomas da Lógica de Primeira Ordem (LPO) e da Teoria dos Conjuntos (TC) constituem uma axiomatização da matemática, então este teorema estende-se sobre ambas teorias, isto nos levaria, caso tal teorema fosse válido, a encarar a atual situação desta ciência como algo incompleto o que atinge, inclusive, a metamatemática e os próprios resultados de Gödel².

O 2° teorema da incompletude de Gödel nos diz que um sistema consistente, capaz de axiomatizar a matemática, não pode provar sua própria consistência. Este teorema se aplica à LPO e à TC, pois, se os admitimos consistentes, não poderemos fazê-los provar sua própria consistência. Estes “fatos” geram uma grande insegurança sobre a fundamentação da matemática, mas, ao que tudo indica, houve, a partir de Gödel, um tipo de concílio que delimitou o que seria canônico.

Dizemos que uma lógica é paraconsistente (inconsistente?) quando não admite o princípio da explosão, assim como as relevantes, ou seja: nesta lógica o princípio da não-contradição pode ser inválido em algum caso, mas cabe ressaltar que não há conhecimento sobre nenhum caso indiscutível de existência de uma contradição real, nem há aplicação da lógica paraconsistente em domínio não-formal, científico, que substitua a lógica clássica (COSTA, 2008, p. 129, 251). Aquilo que é igual deve ser igual a algo existente³, verdadeiro, dizer que ∃x tal que x≠x contraria o princípio da identidade que nos garante que todo x é igual a si mesmo. Portanto, a lógica paraconsistente, criada por Newton da Costa (SANT’ANNA, 2003, p. 98), contraria um princípio básico fundamental. Em resumo temos que:

∃x ↔ x é verdadeiro ↔ x∈x ↔ x=x

A lógica clássica costuma obedecer às chamadas “leis fundamentais do pensamento”, também denominadas princípios lógicos clássicos (COSTA, 2008, p. 113):

Princípio da identidade: A→A ou ∀x: x=x;

Princípio de não contradição: sempre vale ou A ou “não A”, nunca os dois simultaneamente. Alguns estudiosos afirmaram que este princípio eliminaria o paradoxo do mentiroso (GENSLER, 2010, p. 122);

Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa;

Princípio da bivalência (equivale à anterior): toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Os princípios lógicos clássicos produzem algumas redundâncias, a lei do terceiro excluído (equivalente ao princípio da bivalência) nos diz que “∀x:(x é verdadeiro ou x é falso)”, em outras palavras: ∀x(∃x ou ∄x) ou ∀x(x ou não x) que é o princípio de não contradição, logo:

Princípio de não contradição = Princípio do terceiro excluído = Princípio da bivalência

Aristóteles sustentava que o Princípio de não contradição é o mais fundamental e evidente de todos, (COSTA, 2008, p. 57), sem este princípio não seria possível qualquer racionalidade, porém, hoje em dia, há lógicas que tentam explorar cenários nos quais tal princípio seja violado. Hilbert apoiava o pensamento aristotélico, para ele “existir” era sinônimo de “não contraditório” (COSTA, 1992, p. 53), portanto, lógicas que não respeitam este princípio, estariam falando de coisas inexistentes, fantasias ou ilusões sintáticas. Silva (2007, p. 90), transcreve parte de uma correspondência na qual Leibniz confirma a importância deste fundamento para Clarke:

O grande fundamento da matemática é o princípio de (não) contradição⁴ ou identidade, isto é, que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (…) Só esse princípio é suficiente para demonstrar cada parte da aritmética e da geometria, isto é, todos os princípios matemáticos.

"From every proposition, together with the condition that it exists, there follows the conclusion that it is true." (SPADE, 1978, apud BURIDAN).

A distinção entre o que existe e o que não existe é fundamental para tudo o que quisermos dizer sobre qualquer coisa, esta questão deveria ser levada mais a sério, principalmente dentro de ciências que se dizem exatas e formais.

PUBLICAÇÕES

O “Notre Dame Journal of Formal Logic”, fundado em 1960, apresenta muitos artigos gratuitos em fundamentos da Matemática e Lógica, possui fator de impacto 0.554 e ocupa a 243ª posição em um rank que abrange um total de 325 de publicações matemáticas, está na 15ª posição dentre 21 periódicos de lógica de acordo com o “Journal Citation Reports®”, e tem “quociente matemático de citação” (MCQ) = 0.33.

Fonte: https://ndjfl.nd.edu/// (11/2/22 17:28)

A “College Publications” também favorece a democratização de estudos e disponibiliza muitos artigos gratuitos, mas alguns são pagos.

Fonte: https://www.collegepublications.co.uk/logic/ (11/2 17:11)

Podemos classificar a “Lógica Universal” como um movimento lógico pluralista, ela não é uma nova lógica e procura por conceitos gerais comuns a todas as lógicas. Após uma análise das publicações deste periódico, concluímos que ele está tão próximo da Filosofia a ponto de não ser possível distingui-lo de um movimento cujos fundamentos não são exatos.

Fonte: http://www.uni-log.org/start4.html (04/2/22 - 17:40)

O “South American Journal of Logic” procura ampliar conexões entre lógicos sulamericanos e também disponibiliza artigos abertos.

Fonte: http://www.sa-logic.org/ (04/2/22 - 17:00)

O “Journal of Symbolic Logic”, fundado na década de 1930, apresenta um total de 13372 artigos, sendo que apenas 11 não são pagos. Uma das preocupações deste jornal é não publicar pequenos resultados relacionados com os resultados bem estabelecidos. O fator de impacto de 2020 é 0.512, ocupa a 293ª posição em um rank que abrange um total de 330 de publicações matemáticas, está na 14ª posição dentre 21 periódicos de lógica. Os preços das publicações variam de $140 USD à $500 USD. O dólar valia R$5,42 nesta data, portanto, um brasileiro teria que pagar cerca da metade de um salário mínimo para adquirir um “elemento individual”. Esta publicação, em conjunto com o “Bulletin of Symbolic Logic” e o “Review of Symbolic Logic”, são órgãos oficiais da “Association for Symbolic Logic”. Boa parte dos conteúdos são inacessíveis devido aos altos preços (em dólar).

Fonte: https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-symbolic-logic/ (14:49 - 26/01/22) https://aslonline.org/journals/subscriptions/ (22:01 26/01/22).

O “Journal of Mathematical Logic”, sediado em Singapura, possui um fator de impacto de 2,08, h-Index = 15, Rank = 4955, SCImago Journal Rank (SJR) = 0.921.

Fonte: https://www.resurchify.com/impact/details/12000154480 (27/1 10:45)

O preço para publicar na “Archive for Mathematical Logic” pode chegar a 3000 dólares. Apresenta as seguintes métricas: 0.287 (2020) e fator de impacto = 0.306 (2020).

Fonte: https://www.springer.com/journal/153/how-to-publish-with-us (27/1, 10:39)

1 O vazio é o conjunto das coisas que não existem? O vazio existe?Sugerimos (WU, 1988), para saber e questionar porque se exige domínios não vazios em demonstrações e (HORWICH, 1975), para uma análise de se “o nada” existe de fato. Demonstrei que o conjunto vazio não existe (MOTA, 2022).

2 De acordo com Carnielli et al. (2006, p. 393), em 1950, o matemático russo Boris Trakhtenbrot provou que o teorema da completude falha quando restrito a estruturas finitas.

3 Devemos ressaltar que os conjuntos que não possuem conjuntos (urelementos) são algo que não existe, ou melhor, não são algo (MOTA, 2020b, p. 124-5). Mais precisamente: um urelemento u (ou átomo) é um objeto (≠∅) que pode ser considerado elemento, porém jamais pode ser entendido como um conjunto (SANT’ANNA, 2007, p. 59).

4 Kant também afirmava que o princípio da não contradição era o fundamento principal de todos os juízos analíticos (KNEALE e KNEALE, 1980, p. 362), isto converge com aquilo que vimos a respeito dos paradoxos, pois todos eles apresentam ou são capazes de gerar uma contradição.

Esboço - livro 4 - cap2 Pluralismo Lógico e cap3 - Características da lógica moderna

 

2. PLURALISMO LÓGICO

“En efecto, la opinión más común actualmente entre los cultivadores de las matemáticas, de la lógica matemática, de los fundamentos de la matemática o de la filosofía de las matemáticas es que tal verdad absoluta no existe para el hombre ni siquiera en las matemáticas, pues tanto las condiciones de su universalidad como las de su necesidad resultan hoy día confusas.” (DOU, 1970, p. 8).

Um dos fatos mais importantes que destacamos no capítulo anterior foi que a lógica tornou-se um campo de estudo artificial e limitado em decorrência das tentativas falhas em formalizar as linguagens naturais. Diante das limitações intrínsecas às especificidades das linguagens artificiais, observou-se uma grande proliferação de novas “lógicas” que surgem sempre para tentar compensar uma deficiência dessas lógicas artificiais tradicionais. Como as línguas naturais possuem uma grande variedade de palavras e conceitos, era de se esperar que o limitado número de símbolos (alfabeto) da lógica não fosse suficiente para tratar de inúmeros temas. Para Tajer e Fiore (2021), o pluralismo lógico é apenas uma tese¹, devemos concordar com esta visão, pois o fato é que os lógicos não puderam formalizar a linguagem natural², por isso acabam recorrendo a subterfúgios dos mais variados possíveis, chegam até a apelar à filosofia.

As lógicas alternativas podem ser descritas como sistemas variantes da lógica clássica, segundo Haack (2002, p. 269, 309), os argumentos que tentam sustentar tais lógicas "foram, muito constantemente, bastante fracos"³. Penso ser claro que a tentativa mal-sucedida de formalizar a linguagem natural produziu todas estas lógicas, pois é evidente que elas utilizam-se de pares tipo "lógica+x" onde x é um conceito expressável em linguagem natural (COSTA, 2008, p. 137), para o qual ainda não há uma formalização definida⁴: estas lógicas podem ser encaradas como espécies de emendas (MORTARI, 2016, p. 51, 90; ALMEIDA, 2017, p. 62).

“Não há consenso entre os lógicos sobre a definição, escopo, propósito e unicidade da lógica.” (WAGNER, 2009, p. 11-2).

Paralelamente à proliferação de "lógicas" alternativas à lógica clássica, viu-se a formulação de teorias de “verdades” diferentes da verdade. A artificialização da lógica produziu conceitos formais não primitivos de verdade, validade e inferência que pouco refletem a ideia básica da verdade como algo “correspondente” à realidade. Portanto, assim como Costa (2008, p. 195), pensamos que teorias diferentes da correspondencialista carecem de relevância tanto na academia quanto no dia a dia. Aproveito a ocasião, por ter citado Da Costa, para destacar que a lógica paraconsistente encontra muitos adeptos hoje em dia, porém, conforme destaca Beziau (2016, apud Slater), a lógica paraconsistente seria resultado de uma confusão linguística, o que atesta nosso ponto de vista.

3. CARACTERÍSTICAS DA LÓGICA CONTEMPORÂNEA

A lógica contemporânea possui um caráter técnico nada atraente para leigos⁵, por vezes divide-se, dentro desta perspectiva, em quatro teorias: demonstração, modelos, conjuntos e calculabilidade (WAGNER, 2009, p. 9). Hoje em dia não se vê mais aquela ambição universalista legítima idealizada por Leibniz. Em 2019, a UNESCO, em conjunto com o Conselho Internacional de Filosofia e Ciências Humanas, proclamou o dia 14 de Janeiro como o “Dia Mundial da Lógica”. Os objetivos citados estão mais próximos de questões políticas e filosóficas do que a ideia que a maioria das pessoas têm a respeito de uma lógica formalizada.

A proliferação de novas lógicas tenta compensar a falta de uma formalização e entendimento da linguagem natural inserindo várias palavras não convencionais em seu escopo. Dentre toda essa diversidade de lógicas, destaca-se a lógica moderna (lógica matemática ou lógica de primeira ordem - LPO), sua credibilidade conduz ao sentimento de que algo comprovado e seguro está em pauta, pois todas as lógicas mais poderosas são meros enriquecimentos dessa lógica (BARKER-PLUMMER, BARWISE e ETCHEMENDY, 2007, p. xi), no entanto, não devemos ver a lógica como algo inquestionável (COSTA, 2008, p. 175). O objetivo deste capítulo é discutir criticamente as características da LPO, pois, como vimos, as lógicas mais poderosas dependem dela em última instância. A seguir, listamos os principais fatos envolvendo a LPO:

1. Segundo Nicoletti (2017, p. 2-3, 135), a lógica de primeira ordem é o conjunto de todas as fórmulas bem-formadas que podem ser geradas a partir de um alfabeto;

2. A LPO abrange a lógica proposicional clássica (KLEENE, 2002, p. 74);

3. Muitas definições extras aparecem dentro de estudos da LPO: termos, fórmulas, subfórmulas, variável livre, modelo, valoração, instância, etc. Desconsideramos estas formulações por pensar que elas sobrecarregam a linguagem e tornam a teoria deselegante e prolixa. Podemos eliminá-las, pois não são símbolos primitivos: toda definição não passa de um novo símbolo na linguagem de determinada teoria, as definições podem ampliar a linguagem, mas não os resultados da teoria (SANT’ANNA, 2005, p. XVI, 17-8, apud COSTA e LÉSNIEWSKI). Em outras palavras: as definições são descartáveis e surgem a partir de elementos mais fundamentais;

4. A LPO se diz “livre de contexto”, pois tem uma sintaxe controlada, ou seja: limita o arranjo de símbolos de um alfabeto para evitar paradoxos. Podemos ver uma descrição detalhada dessa incapacidade descritiva em (ALLWOOD; ANDERSSON; DAHL, 1977, p. 168). A linguagem da matemática é a lógica e a linguagem da lógica é a própria linguagem natural (de forma controlada e limitada);

5. O “alfabeto” da LPO é formado por símbolos que, ao contrário do que se assume geralmente, não são primitivos (MOTA, 2020b);

6. A lógica moderna não considera sequer o tempo (HAACK, 2OO2, p. 65), isto nos faz refletir a respeito da implicação, pois muitas frases nas quais ela ocorre dependem do tempo (por exemplo: “se x é homem, então x é mortal”) se x não está morto no presente, então isto significa que ele morrerá no futuro. Realmente, já que a lógica moderna não é ao menos capaz de considerar o tempo, não será apta nem para tratar de casos clássicos como o exemplo dado. Todos os tempos verbais devem estar no presente para que seja possível haver formalização (MORTARI, 2016, p. 169), isto implica que todo o alfabeto não deve produzir qualquer tipo de modificação ou variação (coisas que dependem do tempo), diante disto os símbolos de implicação e variação podem ter sua natureza e existência questionadas, pois ambos parecem poder expressar ou produzir modificações;

7. Parece que a lógica moderna clama para si o papel de formulação mais rigorosa do que deveria ser uma linguagem científica, inclusive alguns autores consideram-na a única verdadeira (MORTARI, 2016, p. 91);

8. A lógica moderna é uma linguagem formal, isso significa que ela foi construída artificialmente como um recorte da linguagem natural;

9. Também podemos dizer que a distinção entre lógica de primeira ordem e lógicas de ordem superior não se justifica (COSTA, 2008, p. 205). Quine via a lógica de segunda ordem como a “teoria dos conjuntos em disfarce” (SILVA, 2007, p. 137), por isto delimitamos nossa atenção à LPO.

1 Finn (2019), nos diz que o pluralismo lógico acaba dependendo do monismo em última instância.

2 Szekely (1962), no contexto da necessidade de traduções automatizadas, questiona onde está a teoria geral da fundação das línguas que justifiquem a construção de máquinas complicadas.

3 Frege também não admitia a pluralidade de linguagens lógicas (WAGNER, 2009, p. 25-6).

4 De acordo com Mortari (2016, p. 443), as lógicas ampliadas afirmam que a lógica moderna está correta, porém carece de muitos conceitos o que leva à inclusão de novos operadores denominados de “intencionais”.

5 A lógica contemporânea parece enquadrar-se como um conjunto de técnicas operacionais (BARATA, 1962, p. 86).

Esboço - Cap 1 - livro 4: Genética defeituosa

 1. GENÉTICA DEFEITUOSA

O objetivo deste capítulo é fornecer um relato crítico de como nasceu a lógica que temos hoje em dia. Iniciamos com a lógica clássica de Aristóteles, o “pai da lógica”, em seguida veremos Frege, “o pai da lógica moderna”, depois citamos alguns personagens que contribuíram para fermentar essa massa de conhecimento: Tarski com sua “Teoria Semântica da Verdade” e Bertrand Russell com sua “Teoria dos Tipos”. Ressaltamos que Kurt Gödel, um dos “4 grandes”¹, será discutido no capítulo sobre o paradoxo central.

Não há concordância a respeito da definição do que seja a lógica clássica (CABRERA, 2007, p. 8), porém é comum considerarmos o sistema aristotélico como o precursor do que temos hoje em dia. Este fato pode indicar que algumas heranças “genéticas” indesejáveis foram absorvidas pelas atuais lógicas (imperfeições presentes na própria estrutura de “Organon” e “Corpus Logicum”), a idolatria pode explicar sua proliferação acrítica (BARATA, 1962, p. 2, 3, 85). Kant exemplifica bem esta situação, já que boa parte de seu trabalho inspirou-se nesses resultados imprecisos. Ele mesmo atesta este fato concernente a uma metodologia não muito criteriosa:

“(…) denominam-se conceitos puros do entendimento (...), coisa que a lógica geral (de Aristóteles) não pôde efetuar.” (KANT, 1996, p. 108).

“A procura desses conceitos fundamentais constitui um plano digno de homem perspicaz como Aristóteles. Entretanto, por não possuir nenhum princípio, catou-os como se lhe deparavam, reunindo primeiramente dez, que denominou categorias (predicamentos). A seguir, creu ter encontrado ainda mais cinco conceitos que acrescentou sob a denominação de pós-predicamentos.” (KANT, 1996, p. 109).

Não há uma explanação do processo de extração destes “átomos”, portanto não há motivos para crer que Kant tenha exagerado quando disse que Aristóteles “catou” tais princípios como lhes ocorriam, de forma que temos a constatação de que a origem da lógica é fruto de um processo não muito meticuloso.

A influência da lógica de Aristóteles² permaneceu intacta por mais de dois milênios e ainda possui grande importância para os estudos recentes. Suas ideias básicas estão presentes na lógica contemporânea, mesmo que sejam formuladas de um jeito diferente:

"Gostaríamos que nossa definição fizesse justiça às intuições que seguem a concepção clássica aristotélica da verdade (…)" (TARSKI, 2007, p. 160).

Essa inércia, na qual a lógica mergulhava desde Aristóteles, só foi rompida com Frege no início do século XX, por este motivo ele é considerado o fundador da lógica moderna (MORTARI, 2016, p. 162). Ele também tentou estruturar seus estudos a partir da linguagem natural, mas não conseguiu superar as dificuldades que apareceram:

“(...) deparei-me com o obstáculo da insuficiência da linguagem [corrente]; além de todas as dificuldades inerentes ao manuseio das expressões à medida que as relações se tornavam mais complexas, tanto menos apto me encontrava para atingir a exatidão exigida. Tal dificuldade levou-me a conceber a presente conceitografia.” (FREGE, 2009, p. 45).

Portanto, a crítica que Frege faz à lógica tradicional constitui-se, basicamente, em opor-se a sua dependência em relação às “ilusões linguísticas” (SILVA, 2008, p. 131-2). Diante disso, ele parte para a construção de um simbolismo que denominou de “conceitografia” (voltado exclusivamente para o cálculo demonstrativo) sem ter que se preocupar com as variadas funções semânticas da linguagem comum: uma estratégia clara para se contornar o problema. Portanto, a fase de constituição da lógica baseou-se na linguagem comum, desconfiando desta, mas a utilizando mesmo assim: sua conceitografia depende da linguagem comum, mas tenta distanciar-se dela. Frege admite que tanto a origem da conceitografia quanto de qualquer outro simbolismo estritamente artificial devem depender da linguagem natural e do subjetivismo (SILVA, 2008, p. 136-141, apud FREGE, 1964, p. 25).

Mais tarde, Bertrand Russell apresentou-lhe uma falácia conhecida por “Paradoxo do Mentiroso”³, isso fez com que Frege mergulhasse em profunda melancolia e decepção, pois todos seus esforços para reduzir a aritmética à lógica foram infrutíferos (FREGE, 2009, p. 34-36; BARKER, 1976, p. 108):

“Eu mesmo, tentando encontrar um fundamento lógico para os números, fui vítima dessa ilusão.” (FREGE, 2009, p. 218).

Russell foi estimulado pela ideia genial, mas mal sucedida, de Leibniz: o "calculus ratiocinator" (GAMUT, 2002, p. 14), seu objetivo de obter uma fundamentação sólida para a lógica o levou a desenvolver a Teoria dos Tipos que também apresenta algumas deficiências:

• Barker (1976, p. 117), afirma que a Teoria dos Tipos não resolve os paradoxos semânticos;

• Poincaré acreditava que os símbolos de Russel incluíam, implicitamente, a aritmética (COSTA, 2008, p. 73), ou seja: ele não fez nada de concreto;

• A Teoria dos Tipos foi criada para driblar os problemas que o paradoxo do mentiroso causara para a matemática, hoje esta teoria está praticamente descartada como fundamento da matemática muito menos podemos dizer que ela resolve os paradoxos (COSTA, 2008, p. 88, 90);

• Almeida (2017, p. 61), ressalta que a Teoria dos Tipos gerou outras dificuldades e impossibilitaria o desenvolvimento de áreas importantes da matemática, isto levou Russell a inserir os axiomas da redutibilidade, do infinito e da escolha para contornar este problema. Porém, o caráter destes axiomas não seria puramente lógico.

Em meio a todo este contexto nebuloso, eis que surge Tarski com sua “Teoria Semântica da Verdade”, apesar dela ser, provavelmente, a teoria da verdade mais influente e aceita (HAACK, 2002, p. 143), tanto ele quanto ela foram mal-sucedidos no tratamento da questão a respeito da formalização da linguagem natural. Tarski deixa claro que seus métodos devem ser encarados de forma restrita às linguagens artificiais-formais (BARWISE e ETCHEMENDY, 1987, p. 5; TARSKI, 2007, p. 12, 166). Portanto, não podemos fechar os olhos para algumas limitações e problemas presentes em suas ideias:

“Embora a concepção tarskiana de verdade seja matematicamente útil, rigorosa e conduziu a desenvolvimentos importantes, a meu ver não é inteiramente satisfatória, pois não esclarece inteiramente a relação entre sentenças verdadeiras de uma determinada linguagem e a realidade física, empírica, observacional, em si.” (ALMEIDA, 2017, p. 117).

Tarski segue um roteiro semelhante de seus antecessores e chega a assumir que sua análise é incompleta e não detalhada (no contexto da "vida cotidiana"), seu fracasso fica evidenciado pelas seguintes passagens:

“(…) abandono agora a tentativa de resolver nosso problema para a linguagem cotidiana e restrinjo-me, daqui em diante, inteiramente às linguagens formalizadas. Estas podem ser aproximadamente caracterizadas como linguagens artificialmente construídas nas quais o sentido de toda expressão é univocamente determinado por sua forma. (...) todas as tentativas de caracterizar esse significado (da semântica) de maneira geral e exata fracassaram.” (TARSKI, 2007, p. 33, 165).

Foi uma grande decepção, pois o próprio Tarski reconhece que a linguagem natural tem caráter universal em contraste com as linguagens formais-artificiais (TARSKI, 2007, p. 32, 35, 217). Tudo leva a crer que ele foi influenciado pelos trabalhos de Gödel e Russell ao acreditar que os paradoxos (da linguagem cotidiana) são barreiras intransponíveis ao tratamento formal das linguagens naturais, portanto, para ele, as linguagens universais seriam inconsistentes por natureza, logo deveríamos restringir-nos às linguagens construídas (linguagens artificiais), sendo estas livres de inconsistências. Algumas pessoas argumentaram que a limitação da definição de verdade de Tarski constituiria um ponto fraco, pois "verdadeiro-em-L" seria inferior a "verdadeiro", tanto é que uma mesma frase pode ser verdadeira em uma linguagem e falsa ou sem sentido em outra, portanto a definição de Tarski não é absoluta, mas apenas relativa (HAACK, 2002, p. 123, 161-162; GENSLER, 2010, p. 123).

“(...) não tenho em mente qualquer coisa essencialmente oposta às linguagens naturais. Pelo contrário, as únicas linguagens formalizadas que parecem ter real interesse são aquelas que constituem fragmentos de linguagens naturais (...) ou aquelas que podem ao menos ser traduzidas adequadamente em linguagens naturais (...) A metalinguagem deve ser suficientemente rica, devendo, em particular, incluir a linguagem-objeto como parte.” (TARSKI, 2007, p. 219).

Já que Tarski coloca a linguagem natural como universal, então faz sentido dizer que as linguagens formalizadas são meros fragmentos da linguagem natural. Logo, de acordo com estas premissas, a metalinguagem "maximal" deveria ser justamente a linguagem natural, pois ela incluiria todas as linguagens artificiais, até mesmo aquelas que aparentemente são ininteligíveis.

“A antinomia do mentiroso apareceu inicialmente em nossa discussão como uma força maligna de grande poder destrutivo, tendo nos compelido a abandonar todas as tentativas de aclarar a noção de verdade para linguagens naturais. Tivemos que restringir nossos esforços a linguagens formalizadas do discurso científico. Como salvaguarda contra um possível reaparecimento da antinomia, tivemos de complicar consideravelmente a discussão, fazendo a distinção entre uma linguagem e sua metalinguagem. Em sequência, entretanto, no novo e restrito cenário, conseguimos subjugar essa energia destrutiva e utilizá-la para propósitos pacíficos e construtivos. A antinomia não apareceu, mas sua ideia básica foi usada para estabelecer um resultado metalógico importante e de amplas implicações.” (TARSKI, 2007, p. 232).

Este ponto de vista toma o paradoxo do mentiroso como algo místico, foi justamente sua incompreensão que gerou a complicação citada e a limitação imposta (linguagens artificiais com “alfabeto” restrito), Tarski compara o paradoxo a uma “força maligna” e a uma “energia destrutiva” e nos diz que ela foi subjugada, mas como isto é possível se ele simplesmente utilizou-se de subterfúgios que possibilitaram evitá-la? Fica evidenciado, por suas próprias palavras, que ele contornou a situação e tentou divagar a respeito de propósitos "pacíficos e construtivos".

Neste capítulo, documentamos o seguinte:

1. Aristóteles, o pai da lógica, não tinha uma metodologia precisa, irredundante ou “lógica”;

2. Frege, o pai da lógica moderna, também falhou em seus propósitos e ficou “paralizado” diante do paradoxo do mentiroso;

3. A Teoria dos tipos de Bertrand Russell, um erudito aristocrata inglês, demonstrou-se débil;

4. Tarski, um dos “4 grandes”, não conseguiu estudar e formalizar as linguagens naturais. Além disso, seguiu os passos de Frege quando se deparou com os paradoxos;

5. A lógica acabou tornando-se um campo de estudo artificial e limitado, devido sua falha em explicar as linguagens naturais⁴;

6. Falta estudarmos apenas mais um dos “4 grandes lógicos”: Kurt Gödel.

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1 Aristóteles, Frege, Gödel e Tarski são considerados os quatro maiores lógicos de todos os tempos (SANT’ANNA, 2005, p. 17).

2 Aristóteles é considerado o pai fundador da lógica formal (MORTARI, 2016, p. 46).

3 Veremos isto, detalhadamente, no capítulo “Paradoxo Central”.

4 Beziau (2016), nos diz que: “Em algum momento as pessoas queriam construir uma linguagem científica perfeita onde tudo seria precisamente significativo. Esta tentativa falhou e não é claro que será possível fazer isso um dia antes do fim do mundo.”

Esboço introdução - livro 4

 

“A lógica foi, durante séculos, a Suíça da Filosofia: neutra, pacífica, indiferente ao conflito de sistemas. Hoje, é arena de lutas.” (BARATA, 1962, p. 1).

INTRODUÇÃO

Neste livro procuramos estabelecer um panorama honesto a respeito da lógica contemporânea, suas perspectivas, problemáticas e o seu estágio atual. Este trabalho não se destina exclusivamente ao público especializado, abordamos o tema da lógica de forma franca, não dogmática e buscamos ser didáticos em nossa exposição. O fato é que o prestígio da lógica não goza de unanimidade, pois há até quem duvide de sua cientificidade, muitos problemas podem ser apontados, porém, apesar de elaborados com refinamento técnico, são sempre tratados com desdém:

“A lógica de primeira ordem e a semântica tarskiana se impuseram como elementos básicos da lógica contemporânea (…). De resto, a pesquisa lógica baseada em outros princípios quase sempre foi avaliada negativamente.” (WAGNER, 2009, p. 61, tradução nossa).

Naturalmente, essas críticas se estendem à matemática, pois ela pode ser construída a partir da lógica e da teoria dos conjuntos¹ cuja consistência também carece de comprovação (COSTA, 2008, p. 104). A matemática é vista como a ciência mais rigorosa e precisa dentre todas as outras, pensamos que ela está no auge da exatidão e organização. Os matemáticos costumam definir tudo, no entanto, infelizmente, não conseguem definir a própria matemática de forma precisa:

“Os matemáticos, por exemplo, quando não sabem algo, costumam encobri-lo sob o guarda chuva de 'conceito primitivo', ou 'axioma' aceito sem demonstração. Não só eles, mas os físicos empregam o mesmo ardil para conceitos como 'tempo, massa, força, gravidade, etc’.” (ALMEIDA, 2017, p. 34-5).

É "amplamente aceito" que a teoria dos conjuntos, com a axiomatização de Zermelo-Fraenkel, fundamenta grande parte da matemática usual. Juntando-se a ela o axioma da escolha, é possível alicerçar toda a matemática usual, mas há outros sistemas axiomáticos que também poderiam realizar tal tarefa (ALMEIDA, 2017, p. 96-7, 100).

“(…) a teoria dos conjuntos, que permite codificar todas as matemáticas contemporâneas, pode ser formalizada em uma linguagem de primeira ordem, cujo único sinal não lógico é o símbolo de pertinência (…)” (WAGNER, 2009, p. 61).

Este cenário não pode ser negado nem pelo mais arguto lógico, o fato é que a matemática não estará bem fundamentada até que a lógica e a teoria dos conjuntos assim estejam, mas isto está longe de ser alcançado.

Não há como negar a relação entre linguagem e lógica (COOPER, 1978, p. 11), porém, dentro da linguística e da semiótica² a situação consegue ser ainda pior. Na verdade, concordamos que a linguagem seja a origem da lógica e da teoria dos conjuntos, pois todos os conceitos podem ser explicados utilizando palavras, Poincaré, por exemplo, via a matemática como dependente da linguagem (SILVA, 2007, p. 147). No entanto, não devemos esperar um posicionamento claro, sistematizado ou rigorosamente formal da semiótica, pois, de acordo com Madeira (2001, p. 58), trata-se de uma “ciência humana”. A verdade é que ela utiliza elementos emprestados da lógica e da matemática (LOPES, 1980, p. 25), isto demonstra um caráter dependente digno de ciência secundária incapaz de definir e construir suas ferramentas e métodos de forma independente, para Fiske (2011, p. 128), a semiótica é especulativa e os semióticos não procuram justificar-se de forma objetiva e científica. A linguística segue o mesmo roteiro e constitui uma decepção para aqueles que ainda tinham alguma esperança em obter, por meio dela, uma base sólida para os fundamentos da matemática, lógica e linguagem³.

“Na falta de uma explicação satisfatória para a noção de significado, os linguistas que trabalham no campo semântico se encontram na situação de não saber do que estão falando. (...) essa é uma situação insatisfatória, como dolorosamente sabem os linguistas com mentalidade mais teórica.” (QUINE, 2011, p. 73).

Convirá, talvez, advertir o leitor (...) de que há certa confusão e incoerência terminológica no campo da linguística. (...) para língua alguma, contamos com uma gramática que possa dizer-se próxima de completa. Isso é fato inegável. (LYONS, 1970, p. 25, 41).

“A linguagem é pouco conhecida (...) nem mesmo linguistas profissionais podem afirmar compreendê-la totalmente. (...) Os livros de gramática tradicional não estão de fato errados, mas partilham com todas as outras tentativas de descrição linguística, inclusive as mais avançadas, a falha inevitável de serem incompletos. (...) sem dúvida, nenhuma frase de qualquer língua humana, jamais foi completamente descrita, e isto continuará a ser um fato ainda por muitas décadas. (...) Sabemos muita coisa sobre a linguagem, mas apesar de séculos de investigação séria, não poderíamos descrever exaustivamente a estrutura de qualquer língua, mesmo a mais intensamente estudada. Isso, porém, é essencialmente o que faz a criança (...) numa idade em que não é ainda capaz de raciocínio lógico e analítico.” (LANGACKER, 1980, p. 11, 17, 151, 249).

Talvez algumas pessoas ainda idealizem Chomsky como uma exceção dentro da linguística, porém, de acordo com Lyons (1970, p. 11), a maior parte dos estudiosos não aceitou sua teoria da gramática transformativa. Em "A Noção de Regra de Gramática", o próprio Chomsky confirma a tese de que suas pesquisas não podem atingir um nível de profundidade desejável, pois nem sequer as ideias fundamentais são abordadas de forma rigorosa:

“A formulação precisa destas regras exigiria uma análise de noções fundamentais que iria muito além da exposição informal acima delineada, e aliás até das versões mais precisas que foram dadas antes. (…) quase todas as questões que dizem respeito à capacidade generativa das gramáticas transformacionais (...) continuam inteiramente em aberto, e, de fato, não poderão estabelecer-se enquanto os conceitos em jogo não forem mais esclarecidos.” (RUWET e CHOMSKY, 1966, p. 150, 155).

"Cabe assinalar que é também informal o tratamento da gramática gerativa em ‘Syntactic Structures’ e na maioria dos trabalhos mais divulgados de Chomsky." (LYONS, 1970, p. 46).

Talvez a filosofia fosse uma saída para estes problemas, porém muitos autores sustentam que ela é um ramo do conhecimento vago e disperso (tudologia):

“Não há problema filosófico que não tenha recebido muitas respostas entre si incompatíveis. (…) um mesmo filósofo pode oferecer diferentes respostas para diferentes aspectos da matemática. (…) Como qualquer filosofia sua tarefa não é nos prover de teorias verdadeiras (…) A filosofia não é uma ciência e não lhe cabe uma noção científica de verdade.” (SILVA, 2007, p. 15, 234).

Suas deficiências estendem-se incluindo falta de eficácia, imprecisão e incapacidade:

“(…) uma terminologia completamente precisa e adequada, em filosofia, é um ideal inatingível.” (COSTA, 2008, p. 14).

Stephen Hawking (2010) afirmou que a filosofia está morta, diante do cenário apresentado, tendemos a concordar com ele assim como com as críticas que Tarski dirigiu contra alguns aspectos desta prática intelectual (MOTA, 2022).

Estas circunstâncias nos levam a deixar de lado a matemática, linguística, semiótica e filosofia como candidatas para o posto de ciências bem fundamentadas e formais. O que procuramos fazer neste livro é esclarecer e evidenciar isso para o caso da lógica. Esta crítica poderia ser estendida às demais ciências, Szekely (1962, 1969) defende uma redução da “tremenda redundância” de conceitos e semiconceitos presentes hoje em dia, ele cita o método dimensional da Física, que utiliza poucas unidades básicas para formalizar suas teorias, como um exemplo de sucesso.

1 Bennett (2000), defende que é possível reduzir a maioria dos axiomas básicos da teoria dos conjuntos a apenas um ou dois axiomas.

2 A semiótica reclama para si o papel de teoria universal dos signos, isto inclui a linguagem e a lógica (LOPES, 1980, p. 15), porém, pensamos que tal apropriação é indevida. A semiótica não deve ser vista como uma ciência sólida ou completa (SANTAELLA, 1983).

3 Seuren (2014), piora a situação ao argumentar que a tentativa pragmática de preencher as lacunas existentes entre intuições lógicas naturais das formais falhou: recorreram às “máximas conversacionais de Grice” consideradas como a codificação das bases para a interação linguística racional.

21

Sura n°21 - A Sura dos Profetas

Em nome de Deus, O Todo Poderoso, O Mais Misericordioso.

1- Aproxima-se, para as pessoas, seu ajuste de contas. Enquanto (isso), estão em desatenção, recusando.
2- Não lhes chega nenhuma lembrança renovada de seu Senhor, sem que eles a escutem, enquanto se divertem.
3- Seus corações estão distraídos e os que foram injustos escondem a confidência: "Este não é senão um ser humano como vós. Então vocês achegam-se à magia, enquanto a olhais?"

4- Ele disse: "Meu Senhor sabe o dito nos céus e na terra e Ele é O Oniouvinte, O Onisciente".

5- Mas dizem: "É um amontoado de sonhos, pelo contrário ele o inventou, quer dizer ele é um poeta. Então, que ele nos traga um sinal como aquele com o qual foram enviados os primeiros (profetas)."

6- Antes deles, nenhuma cidade que aniquilamos acreditou, então eles acreditarão?

7- E, antes de ti, não enviamos a não ser homens aos quais revelamos, então perguntem ao povo da lembrança se vocês não sabem.

8- E não fizemos deles corpos que não comerem o alimento, e eles não foram permanentes.

9- Em seguida, cumprimos a promessa para eles, então salvamos eles e a quem quisemos, e aniquilamos os entregues a excessos.

10- Realmente, fizemos descer um livro para vocês, nele há menção de vós. Então, vocês não raciocinam?

11- E quantas cidades destruímos, que eram injustas?! E, depois delas, fizemos surgir outros povos.

12- Então, quando perceberam Nossa Fúria, ei-los fugindo dela.

13- "Não fujam e retornem à vossa ostentação, na qual estavam, e às vossas habitações, para que vocês sejam questionados."

14- Disseram: "Ai de nós, de fato, nós fomos injustos."

15- Então, esta lamentação deles não parou, até que os fizemos eles como que ceifados, extintos.

16- E não criamos os céus e a terra e o que há entre ambos por diversão.

17- Se desejássemos tomar uma distração, certamente a tomaríamos de Nossa Parte se fôssemos feitores (disso).

18- Pelo contrário, lançamos a verdade contra a falsidade, então ela a esmaga, então ei-la anulada. E ai de vós pelo que alegais!

19- E a Ele pertence quem está nos céus e na terra. E aqueles que estão juntos dEle não são arrogantes em Sua adoração, nem desanimam.

20- Glorificam de noite e de dia, não descansam.

21- Será que eles tomam divindades da terra  as quais revivem os mortos?

22- Se houvesse em ambos (na terra e nos céus) divindades além de Deus, certamente os dois teriam se corrompido. Então, glorificado seja Deus, O Senhor do Trono, acima do que alegam!

23- Então, Ele não é interrogado a respeito do que faz, mas eles serão interrogados.

24- Ou tomaram divindades além dEle? Diga: "Tragam a prova de vocês. Esta é uma lembrança para quem está comigo e uma mensagem de quem foi depois de mim." Mas, a maioria deles não sabe a verdade, então são recusadores.

25- E, antes de ti, não enviamos mensageiro algum, sem revelar-lhe: "Não existe divindade, exceto Eu, então Me adorem." 

26- E dizem: "O Todo-Poderoso tomou um filho." Glorificado seja Ele! Pelo contrário, eles são servos honrados. 

27- Não anteciparam Ele em dito e agem por Seu comando.

28- Ele sabe o que está adiante deles* e o que virá após eles. E não podem interceder, a não ser por quem Ele aprovar.  E estão aterrorizados por receio dEle.

* Literalmente: o que há entre as mãos deles.

29- E quem, dentre eles, disser: "Realmente, sou um deus, além dEle." Então, a esse recompensaremos com a Geena, assim recompensamos os injustos."

30- E, aqueles que renegam, não viram que os céus e a terra eram uma mistura compacta? Então, a ambos repartimos? E que, da água, fizemos todas as coisas vivas? E então, não acreditam?

31- E fizemos, na terra, firmes montanhas para que não oscilasse com eles. E, nela, fizemos desfiladeiros como caminhos, para que eles se guiem.

32- E fizemos o céu como teto protegido, mas eles são recusadores de seus sinais.

33- E Ele é Quem criou a noite e o dia e o sol e a lua: cada um está flutuando em uma órbita.

34- E não fizemos a imortalidade para nenhum mortal antes de ti. Então, se você morrer, serão eles permanentes?

35- Cada alma provará a morte. E vos testaremos com o mal e com o bem, como provação. E a Nós vós sereis retornados.

36- E, quando aqueles que renegam te olham, não te tomam senão por ridículo: "Este é aquele que menciona vossas divindades?" E eles são renegadores da recordação dO Todo-Poderoso.

37- O ser humano foi criado de precipitação. Eu vos farei ver Meus Sinais, então não Me apressem!

38- E dizem: "Quando será esta promessa, se sois verídicos?"

39- Se os que renegam soubessem de quando eles não puderem deter o fogo de suas faces e costas, nem serem socorridos... 

40- Mas lhes chegará inesperadamente e calará a boca deles, então não poderão repeli-la, nem serão aliviados.

41- E, de fato, mensageiros foram ridicularizados antes de ti, então aquilo de que escarneciam envolveu aos que zombaram deles.

42- Pergunte: "Quem pode vos resguarda, de noite e de dia, do Todo-Poderoso?" Mas eles são recusadores da lembrança de seu Senhor."

43- Ou eles possuem divindades que os defendam, além de Nós? Não são capazes de ajudar nem a si mesmos, nem serão acompanhados por Nós. 

44- Pelo contrário, fizemos aproveitar a esses e a seus antepassados, até que se prolongou-lhes a vida. Então, eles não reparam que Nós chegamos à terra diminuindo-a em seus extremos? Acaso são eles os vendedores?

45- Diga: "Apenas vos alerto com a revelação, mas os surdos não ouvem o chamado, quando são alertados."

46- E, se os tocasse um sopro da punição de teu Senhor, certamente, diriam: "Ai de nós! De fato, fomos injustos."

47- E faremos surgir as medidas da justiça para o Dia da Ressurreição, então nenhuma alma sofrerá injustiça alguma. E, se houver um peso de uma semente de mostarda, o faremos vir (na medida). E bastamos Nós por Ajustador de contas.

48- E, realmente, concedemos o Discernimento para Moisés e Aarão, e iluminação e lembrança para os tementes.

49- Aqueles que receiam seu Senhor, no invisível, enquanto são temerosos da Hora.

50- E este é uma lembrança abençoada que fizemos descer. Então, vocês serão rejeitadores dela?

51- E, certamente, antes concedemos para Abraão sua retidão. E dele fomos Onisciente.

52- Quando ele disse a seu pai e a seu povo: "O que são estas estátuas para as quais vocês se devotam?"

53- Responderam: "Encontramos nossos antepassados como adoradores delas."

54- Ele falou: "De fato, vocês e vossos antepassados estão em evidente desvio."

55- Disseram: "Vens a nós com a verdade ou és dos brincalhões?"

56- Disse: "Não, mas vosso Senhor é o Senhor dos céus e da terra, Quem os criou e eu sou uma das testemunhas disso."

57- "E, por Deus, planejarei (contra) vossos ídolos após vocês virarem as costas."*

*Este trecho parece descrever um murmúrio pessoal de Abraão, pois não faria sentido ele dizer na frente daqueles que adoravam tais ídolos.

58- Então os fez em pedaços, exceto o maior deles, para que retornassem a ele.

59- Disseram: "Quem fez isto com nossas divindades? De fato, ele é dos injustos."

60- Comentaram: "Ouvimos um jovem mencionando-os, chama-se Abraão."

61- Disseram: "Então tragam-no diante dos olhos do povo, para que possam testemunhar."

62- Perguntaram: "Você fez isto com nossas divindades, oh Abraão?"

63- Ele respondeu: "Não, este (aqui), o maior deles o fez, então perguntem-lhes se são eles falantes."

64- Então retornaram a si, disseram: "De fato, são vocês os injustos."

65- Em seguida, se confundiram*: "Realmente, tu sabes, estes não se comunicam."

*Literalmente: foram tornados sobre suas cabeças.

66- Ele disse: "Então vocês adoram, além de Deus, o que em nada vos beneficia nem vos prejudica?"

67- "Ufa a vós e ao que adorais além de Deus! Então, vocês não raciocinam?"

68- Disseram: "Queimem ele e socorram vossas divindades, se sois feitores."

69- Nós dissemos: "Oh fogo! Seja frescor e paz sobre Abraão."

70- E intencionaram-lhe um plano, então fizemos deles os mais perdedores.

71- E enviamos, a salvo, ele e a Ló à terra que abençoamos para os mundos.

72- E o dadivamos com Isaque e Jacó, em acréscimo*. E a todos fizemos íntegros.

*Pois já havia tido Ismael como filho.

73- E os fizemos líderes, eles guiaram por Nossa ordem. E lhes inspiramos o feitio das boas obras, o cumprimento da oração e o pagamento do imposto. E foram Nossos adoradores.

74- E a Ló concedemos sabedoria e conhecimento, e o salvamos da cidade que praticava as perversidades. Realmente, eles eram um povo ruim, obstinado.

75- E o fizemos entrar em Nossa Misericórdia. De fato, ele era dos íntegros.

76- E antes, quando Noé chamou, então o atendemos, Nós o salvamos e a sua gente da grande angústia.

77- E o socorremos contra o povo que rejeitava Nossos Sinais. De fato, eles eram um povo mal, então os afogamos a todos.

78- E Davi e Salomão, quando ambos julgaram a respeito do campo cultivado, quando, nele, pastava o rebanho do povo. E fomos Testemunhas para o julgamento deles.

79- Então, fizemos Salomão compreender isso. E, (para) cada um, concedemos sabedoria e conhecimento. E, com Davi, submetemos as montanhas e o pássaro, para glorificarem. E fomos Feitores.

80- E o ensinamos o ofício de fazer armaduras para vós, a fim de você proteger-vos contra vossa violência (mútua). Então, sereis agradecidos?

81- E, para Salomão, o vento que, tempestuosamente, soprava por seu comando até à terra que abençoamos. E somos O Mais Sabedor de todas as coisas.

82- E, dentre os demônios, havia os que mergulhavam para ele, faziam, além disso, outros afazeres. E fomos Protetores deles.

83- E Jó quando chamou a seu Senhor: "De fato, a mim tocou-me a adversidade e Tu és o Mais Poderoso dos misericordiosos."

84- Então, o atendemos, removemos o que havia de adversidade nele. E a ele concedemos sua família e, com eles, outra igual como misericórdia de Nossos servos e lembrança para os adoradores.

85- E Ismael e Idris e Dzal-Kifl* todos eram dos perseverantes.

*Literalmente: Possuidor de Kifl, esta palavra possui raiz que pode significar: criar, cuidar, parte, porção, colocar sob a custódia, fiança, garantia.

86- E os fizemos entrar em Nossa Misericórdia. De fato, eles eram dentre os íntegros. 

87- E Dza-Nun*, quando, irado, se foi, e pensava que nunca teríamos poder sobre ele, então clamou nas trevas: "Não há divindade a não ser Você, glória a Ti! Certamente, fui dos injustos."

*Jonas, o Profeta que foi engolido por uma baleia (Nun).

88- Então, o atendemos e o salvamos da aflição e, desta forma, salvamos os crentes.

89- E Zacarias, quando clamou a seu Senhor: "Meu Senhor! Não me deixe sozinho! E Tu és O Melhor dos Herdeiros.

90- Então, o atendemos, o dadivamos com João e curamos* sua esposa. Realmente, eles se apressavam nas boas ações e Nos invocavam em rogo e veneração. E eram humildes coNosco.

*Deus a tornou fértil.

91- E aquela que protegeu sua castidade, então, nela sopramos algo de Nosso Espírito. E fizemos a ela e a seu filho um sinal para os mundos.

92- Certamente, esta é vossa comunidade, uma comunidade única e Eu Sou vosso Senhor, então adorem a Mim.

93- Mas romperam, entre eles, seu compromisso... Todos retornarão a Nós.

94- Então, quem as boas obras fizer, enquanto crente, não haverá negação de seu esforço. E, de fato, Nós seremos Escribas para ele. 

95- E há proibição, sobre uma cidade que aniquilamos, que não retornem.

96- Até que forem abertas (para) Gog e Magog e, de cada colina, surgirem apressados.

97- E a Promessa Verdadeira tem-se aproximado, então eis arregaladas as vistas daqueles que renegaram: "Ai de nós! De fato, estivemos em desatenção a isto, aliás, fomos injustos."

98- Certamente, vós e aquilo que adorais, além de Deus, sereis combustível para a Geena. Nela passareis.

99- Se estas fossem divindades, nela não ingressariam. E, nela, todos serão permanentes.

100- Nela, darão suspiros, mas, nela, não ouvirão.

101- Certamente, aqueles aos quais a mais bela recompensa foi antecipada de Nós para eles, estes dela serão afastados.

102- Não ouvirão seu assobio e eles permanecerão no que desejarem suas almas.

103- O grande terror não os entristecerá e os anjos os depararão: "Este é vosso dia ao qual vocês foram prometidos."

104- Um dia, dobraremos o céu, como se dobra o rolo de escrituras. Como originamos a primeira criação, Nós a repetiremos: é promessa que nos cabe. De fato, Somos Feitores.

105- E, realmente, escrevemos nos salmos, após a Mensagem, que a terra será herdada por Meus servos íntegros.

106- Certamente, neste há uma divulgação para um povo adorador.

107- E não te enviamos senão como misericórdia para os mundos.

108- Diga: " Foi-me revelado, apenas, que vosso Deus é Deus Único, então vocês se submetem?"

109- Então, se derem as costas, diga: "Anuncio-vos igualmente (a todos vós) e não sei se está próximo ou distante o que vos é prometido."

110- "Realmente, Ele sabe o dito em voz alta e sabe o que vocês escondem."

111- "E não sei disso talvez seja um teste para vós e um proveito até um tempo."

112- Ele disse: "Senhor Meu! Julgue com a verdade! E Nosso Senhor é O Mais Poderoso, O Solicitado contra aquilo que vocês alegam."