4. PARADOXO CENTRAL
Os paradoxos causaram algumas implicações questionáveis dentro da lógica e da teoria dos conjuntos, nosso objetivo, neste capítulo, é evidenciarmos este fato. Curry (1977, p. 7), diz que os paradoxos são uma questão aberta e que não há uma explicação universalmente aceita, penso que há uma solução para esta questão, mas ela não é aceita por causa de interesses extra-matemáticos. O seguinte teorema nos fornece um bom ponto de partida:
Teorema (Paradoxo de Russell). Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou seja ∀x∃y tal que y∉x.
Demonstração: suponha, por absurdo, que exista um conjunto y tal que, para todo x, x∈y. Utilizando o axioma da separação para a fórmula x∉x, existe z tal que, para todo x, x∈z↔(x∈y e x∉x). Já que x∈y é verdadeiro para todo x temos que x∈z↔x∉x. Tomando z no lugar de x, temos z∈z↔z∉z, absurdo.▄
Observe que tomou-se um x tal que "x∉x", este procedimento é absurdamente problemático, pois não justificou-se a existência de tal x, desta forma, as hipóteses do teorema podem não ser válidas ou referem-se ao conjunto vazio1, pois deve-se pressupor que ∀x refere-se a todo x existente. Repare que, além disso, a Teoria dos Conjuntos nos levaria a concluir que (x∉x)↔(x≠x) que constitui outra forma de representação de tal x. O fato é que argumentos que tomam "x∉x" (admitindo-o como algo existente) contrariam importantes lógicos e matemáticos:
“É impossível que a mesma coisa pertença e não pertença a determinada coisa ao mesmo tempo e sob o mesmo respeito. (…) Ninguém pode crer que a mesma coisa possa (ao mesmo tempo) ser e não ser.” (COSTA, 2008, p. 121, apud ARISTÓTELES).
“(...) em lugar do ‘existe’ também se pode dizer ‘é igual a si mesmo’ (…) pois admitimos que ‘há homens’ é o mesmo que ‘há homens iguais a si mesmos’ (...)” (FREGE, 2009, p. 182, 184).
“‘Existe x’ equivale a dizer que ‘x é real’, que ‘x é uma realidade’.” (SCHLICK et al., 1975, p. 58).
Não há contradições verdadeiras, pois não há contradições, elas representam coisas inexistentes (falsas), todavia, a tese de Heráclito-Hegel diz que há contradições verdadeiras, mas não há prova de que elas existam (COSTA, 2008, p. 232, 237, 244). Mortari (2016, p. 68-9, 438-49 ), concorda que não há um x diferente de si mesmo, todos objetos do universo são iguais a si mesmos, isto parece ser um consenso entre os principais lógicos. De acordo com Almeida (2017, p. 101), existe uma tradição que, desde a época de Aristóteles, afirma que o princípio da identidade (para todo x, tem-se x=x) é um dos requisitos básicos para o pensamento válido. Portanto, x=x e x≠x produz y e “não y” o que viola tal princípio e produz pensamentos inválidos.
Em seu artigo, “Anatomy of a Nonidentity Paradox”, Jacquette (2016) engatinhou algumas problemáticas envolvidas com a questão da existência de algo diferente de si mesmo. Estamos de acordo que predicar coisas inexistentes é uma falha não percebida pela maioria dos lógicos e matemáticos que se envolvem com fundamentos, o autor questiona se algo realmente pode satisfazer a propriedade ∀x(Fx→x≠x), apesar de ser uma expressão de sintaxe correta, pensamos que ela restringe-se a elementos inexistentes que não possuem propriedades além da não existência:
“Nothing in classical logic truly has a property unless it exists.” (JACQUETTE, 2016, p. 124).
Kearns (1968), já havia percebido esta nuance, ele admitiu que uma definição conveniente de existência de x seria dizer que x = x, ele também criticou as conclusões de Hintikka por ele não ter estabelecido condições universais para a existência, além disso, critica o fato de que os sistemas quantificacionais habituais obscurecem o conceito de existência. Poincaré, Hilbert e Cantor acreditavam que “existência” significa estar livre de contradições (SILVA, 2007, p. 167, 198), logo, não faz sentido considerá-las como elementos de qualquer teoria. Na verdade, de uma contradição pode-se deduzir qualquer coisa (ex falso quodlibet ou princípio da explosão), isto ocorre na lógica clássica, nas modais e na intuicionista, mas não nas relevantes (MORTARI, 2016, p. 476). Esta contradição (tomar x≠x, sendo que ∀x: x=x) foi utilizada inclusive por Gödel (1906-1978) na demonstração de seus teoremas o que os torna inválidos por ex falso quodlibet, pois, diante de uma contradição, pode-se demonstrar qualquer coisa, inclusive que Gödel está errado.
“Gödel montou sua proposição indecidível encontrando uma versão formal do paradoxo lógico ‘esta afirmação é falsa’, ou, mais precisamente, ‘esta afirmação não possui uma prova’.” (STEWART, 2009, p. 216).
“The liar paradox is one of the oldest paradoxes, dating back from Epimenides of Crete and Eubulides of Miletus. Gödel used it to prove his famous incompleteness theorem. The liar paradox is still at the heart of logic having no recognized universal satisfactory solution.” (https://sites.google.com/view/unilog-2022/workshops/liar-paradox - 4/2/22 - 18:22)
Realmente, a estratégia de sua prova relaciona-se com o paradoxo mais antigo (o paradoxo do mentiroso), Gödel apresenta a proposição “esta própria sentença não é dedutível dentro deste sistema”, que é análoga a este paradoxo (HOFSTADTER, 1979, p. 25-6, 36). Ele usou os paradoxos do mentiroso e de Richard para tentar explicar seu raciocínio (NAGEL e NEWMAN, 1973, p. 57), porém, “todas as outras formulações de sua prova” (por exemplo: a de Alan Turing) usaram paradoxos diferentes dos de Gödel. “Esses paradoxos, embora diferentes entre si, são todos da variedade auto-referencial.” (GOLDSTEIN, 2008, p. 140-2). Paradoxos auto-referenciais geram coisas inexistentes, isto nos faz voltar à crítica de que Gödel usou algo inexistente em seus trabalhos. Outro fator problemático é que ele baseou-se na Teoria dos Tipos (FAJARDO, 2017, p. 145; HOFSTADTER, 1979, p. 36) cuja fundamentação, conforme temos visto, apresenta sérios problemas.
“Com efeito, a demonstração dos teoremas de incompletude que Gödel fizera em 1931 aplicava-se apenas aos sistemas aparentados aos Principia Mathematica.” (WAGNER, 2009, p. 84)
Vimos que Frege, o pai da lógica moderna, pensava que dizer “x=x” equivaleria a dizer que x existe. Aristóteles, Leibniz, Kant, Hilbert, Poincaré e Cantor também concordavam com o princípio da não-contradição, portanto, o raciocínio de Gödel é contrário ao que diziam os maiores matemáticos e lógicos do passado, ele formulou uma expressão que desobedece este princípio fundamental, ora, não seria incorreto utilizar algo inexistente ou cuja existência não foi provada para demonstrar um teorema referente à realidade matemática?
O 1° teorema da incompletude de Gödel afirma que toda axiomatização da matemática será incompleta, ou seja: sempre haverá uma sentença que não pode ser provada nem refutada. Portanto, já que os axiomas da Lógica de Primeira Ordem (LPO) e da Teoria dos Conjuntos (TC) constituem uma axiomatização da matemática, então este teorema estende-se sobre ambas teorias, isto nos levaria, caso tal teorema fosse válido, a encarar a atual situação desta ciência como algo incompleto o que atinge, inclusive, a metamatemática e os próprios resultados de Gödel2.
O 2° teorema da incompletude de Gödel nos diz que um sistema consistente, capaz de axiomatizar a matemática, não pode provar sua própria consistência. Este teorema se aplica à LPO e à TC, pois, se os admitimos consistentes, não poderemos fazê-los provar sua própria consistência. Estes “fatos” geram uma grande insegurança sobre a fundamentação da matemática, mas, ao que tudo indica, houve, a partir de Gödel, um tipo de concílio que delimitou o que seria canônico.
Dizemos que uma lógica é paraconsistente (inconsistente?) quando não admite o princípio da explosão, assim como as relevantes, ou seja: nesta lógica o princípio da não-contradição pode ser inválido em algum caso, mas cabe ressaltar que não há conhecimento sobre nenhum caso indiscutível de existência de uma contradição real, nem há aplicação da lógica paraconsistente em domínio não-formal, científico, que substitua a lógica clássica (COSTA, 2008, p. 129, 251). Aquilo que é igual deve ser igual a algo existente3, verdadeiro, dizer que ∃x tal que x≠x contraria o princípio da identidade que nos garante que todo x é igual a si mesmo. Portanto, a lógica paraconsistente, criada por Newton da Costa (SANT’ANNA, 2003, p. 98), contraria um princípio básico fundamental. Em resumo temos que:
∃x ↔ x é verdadeiro ↔ x∈x ↔ x=x
A lógica clássica costuma obedecer às chamadas “leis fundamentais do pensamento”, também denominadas princípios lógicos clássicos (COSTA, 2008, p. 113):
Princípio da identidade: A→A ou ∀x: x=x;
Princípio de não contradição: sempre vale ou A ou “não A”, nunca os dois simultaneamente. Alguns estudiosos afirmaram que este princípio eliminaria o paradoxo do mentiroso (GENSLER, 2010, p. 122);
Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa;
Princípio da bivalência (equivale à anterior): toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Os princípios lógicos clássicos produzem algumas redundâncias, a lei do terceiro excluído (equivalente ao princípio da bivalência) nos diz que “∀x:(x é verdadeiro ou x é falso)”, em outras palavras: ∀x(∃x ou ∄x) ou ∀x(x ou não x) que é o princípio de não contradição, logo:
Princípio de não contradição = Princípio do terceiro excluído = Princípio da bivalência
Aristóteles sustentava que o Princípio de não contradição é o mais fundamental e evidente de todos, (COSTA, 2008, p. 57), sem este princípio não seria possível qualquer racionalidade, porém, hoje em dia, há lógicas que tentam explorar cenários nos quais tal princípio seja violado. Hilbert apoiava o pensamento aristotélico, para ele “existir” era sinônimo de “não contraditório” (COSTA, 1992, p. 53), portanto, lógicas que não respeitam este princípio, estariam falando de coisas inexistentes, fantasias ou ilusões sintáticas. Silva (2007, p. 90), transcreve parte de uma correspondência na qual Leibniz confirma a importância deste fundamento para Clarke:
O grande fundamento da matemática é o princípio de (não) contradição4 ou identidade, isto é, que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (…) Só esse princípio é suficiente para demonstrar cada parte da aritmética e da geometria, isto é, todos os princípios matemáticos.
"From every proposition, together with the condition that it exists, there follows the conclusion that it is true." (SPADE, 1978, apud BURIDAN).
A distinção entre o que existe e o que não existe é fundamental para tudo o que quisermos dizer sobre qualquer coisa, esta questão deveria ser levada mais a sério, principalmente dentro de ciências que se dizem exatas e formais.
PUBLICAÇÕES
O “Notre Dame Journal of Formal Logic”, fundado em 1960, apresenta muitos artigos gratuitos em fundamentos da Matemática e Lógica, possui fator de impacto 0.554 e ocupa a 243ª posição em um rank que abrange um total de 325 de publicações matemáticas, está na 15ª posição dentre 21 periódicos de lógica de acordo com o “Journal Citation Reports®”, e tem “quociente matemático de citação” (MCQ) = 0.33.
Fonte: https://ndjfl.nd.edu/// (11/2/22 17:28)
A “College Publications” também favorece a democratização de estudos e disponibiliza muitos artigos gratuitos, mas alguns são pagos.
Fonte: https://www.collegepublications.co.uk/logic/ (11/2 17:11)
Podemos classificar a “Lógica Universal” como um movimento lógico pluralista, ela não é uma nova lógica e procura por conceitos gerais comuns a todas as lógicas. Após uma análise das publicações deste periódico, concluímos que ele está tão próximo da Filosofia a ponto de não ser possível distingui-lo de um movimento cujos fundamentos não são exatos.
Fonte: http://www.uni-log.org/start4.html (04/2/22 - 17:40)
O “South American Journal of Logic” procura ampliar conexões entre lógicos sulamericanos e também disponibiliza artigos abertos.
Fonte: http://www.sa-logic.org/ (04/2/22 - 17:00)
O “Journal of Symbolic Logic”, fundado na década de 1930, apresenta um total de 13372 artigos, sendo que apenas 11 não são pagos. Uma das preocupações deste jornal é não publicar pequenos resultados relacionados com os resultados bem estabelecidos. O fator de impacto de 2020 é 0.512, ocupa a 293ª posição em um rank que abrange um total de 330 de publicações matemáticas, está na 14ª posição dentre 21 periódicos de lógica. Os preços das publicações variam de $140 USD à $500 USD. O dólar valia R$5,42 nesta data, portanto, um brasileiro teria que pagar cerca da metade de um salário mínimo para adquirir um “elemento individual”. Esta publicação, em conjunto com o “Bulletin of Symbolic Logic” e o “Review of Symbolic Logic”, são órgãos oficiais da “Association for Symbolic Logic”. Boa parte dos conteúdos são inacessíveis devido aos altos preços (em dólar).
Fonte: https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-symbolic-logic/ (14:49 - 26/01/22) https://aslonline.org/journals/subscriptions/ (22:01 26/01/22).
O “Journal of Mathematical Logic”, sediado em Singapura, possui um fator de impacto de 2,08, h-Index = 15, Rank = 4955, SCImago Journal Rank (SJR) = 0.921.
Fonte: https://www.resurchify.com/impact/details/12000154480 (27/1 10:45)
O preço para publicar na “Archive for Mathematical Logic” pode chegar a 3000 dólares. Apresenta as seguintes métricas: 0.287 (2020) e fator de impacto = 0.306 (2020).
Fonte: https://www.springer.com/journal/153/how-to-publish-with-us (27/1, 10:39)
1 O vazio é o conjunto das coisas que não existem? O vazio existe?Sugerimos (WU, 1988), para saber e questionar porque se exige domínios não vazios em demonstrações e (HORWICH, 1975), para uma análise de se “o nada” existe de fato. Demonstrei que o conjunto vazio não existe (MOTA, 2022).
2 De acordo com Carnielli et al. (2006, p. 393), em 1950, o matemático russo Boris Trakhtenbrot provou que o teorema da completude falha quando restrito a estruturas finitas.
3 Devemos ressaltar que os conjuntos que não possuem conjuntos (urelementos) são algo que não existe, ou melhor, não são algo (MOTA, 2020b, p. 124-5). Mais precisamente: um urelemento u (ou átomo) é um objeto (≠∅) que pode ser considerado elemento, porém jamais pode ser entendido como um conjunto (SANT’ANNA, 2007, p. 59).
4 Kant também afirmava que o princípio da não contradição era o fundamento principal de todos os juízos analíticos (KNEALE e KNEALE, 1980, p. 362), isto converge com aquilo que vimos a respeito dos paradoxos, pois todos eles apresentam ou são capazes de gerar uma contradição.
