6 CONSTRUINDO A LÓGICA MODERNA
Quando a lógica moderna (lógica matemática ou lógica de primeira ordem) é referida, normalmente, tem-se sentimento de que algo comprovado e seguro está em pauta – É como se o ápice da exatidão emergisse, tão formal e rigoroso que até a matemática se curvaria diante dele. - Porém, a verdade é que não devemos ver a lógica como algo inquestionável (COSTA, 2008, p.175).
De acordo com Mortari (2016, p. 163, 169), para formalizar a LPO, precisamos observar que todos os tempos verbais estão no presente e uma expressão de uma LPO é qualquer sequência finita de símbolos do alfabeto dessa linguagem. Toda a linguagem formal depende de símbolos de um alfabeto, portanto basta construirmos estes símbolos e teremos como consequência a construção da linguagem formal em pauta. De fato, segundo Nicoletti (2017, p. 2-3, 135), a lógica de primeira ordem é o conjunto de todas as fórmulas bem-formadas que podem ser geradas a partir de um alfabeto. Ao fazer isso, compomos uma crítica ao caráter prolixo, ambíguo e redundante de definições que se mesclam formando a base dos estudos metamatemáticos do último século. Não devemos nos preocupar com a LP, pois, a LPO abrange a LP (KLEENE, 2002, p. 74).
“Uma linguagem formal é uma sequência de símbolos obtidos a partir de algum alfabeto.” (MAGOSSI, 2020, p.171).
Desconsideraremos definições extras da gramática (termos, fórmulas, subfórmulas etc.) e diversas outras (por exemplo: variável livre, modelo, valoração, instância etc.), pois toda definição não passa de um novo símbolo na linguagem de determinada teoria, as definições podem ampliar a linguagem, mas não os resultados da teoria (SANT’ANNA, 2005, p. XVI, 17-18, apud COSTA&LÉSNIEWSKI). Em outras palavras, as definições são descartáveis, contribuem para a praticidade expressiva da teoria e surgem a partir de elementos mais fundamentais.
6.1 CONSTRUÇÕES PRÉVIAS
Antes de iniciarmos o estudo da LPO definiremos, por meio da TNL, mais alguns conceitos que serão vitais para sua formalização, pois ela se apropria deles na constituição de algumas definições intuitivamente. Entenda por “conjunto” qualquer coisa que exista:
Sequência finita e função: uma sequência finita será uma função com domínio S, onde S é um subconjunto finito de N. Onde f:A→B é uma função, se e somente se:
(A.x)>(.f(x),B.f(x)),
ou seja “B.(f(A))”
(B.f(x),B.b, b.f(x))>f(x).b, ou seja
“b=f(x)” ∴~(função)
Repare que o valor de f(x) é único, além disso, para que uma sequência seja finita, é necessário que não exista uma função bijetora entre S e N, trataremos este conceito com maior abrangência no capítulo sobre a TC, Logo:
sequência finita(~função,~N,~ter,~não)
∴~(sequência finita);
Observe que estamos assumindo, previamente, que x=y equivale à x.y.z;
Menor ou maior: x será maior do que y se >x°.y>N.x, ou seja: fazer x não ter y faz x ainda ser um natural, caso contrário será menor do que y, se for zero então será igual, ∴~(menor e maior);
N-ário: quando se refere a uma n-upla que é representada de forma ordenada por (x1,x2,…,xn), onde cada xi é uma variável. Para construir uma n-upla, basta fazermos isto para cada n natural: N.n>.(x1,x2,…,xn). O conceito de variável será formalizado mais adiante, ∴~(n-ário);
Uma relação R, entre dois conjuntos A e B, pode ser representada por aRb>(A.a,B.b). Uma função nada mais é do que um tipo particular de relação. Repare que a ideia de ordem está embutida aqui, pois escrevemos aRb e não bRa, ∴~(relação).
Parte destes conceitos será vista com maiores detalhes no capítulo sobre a TC, em alguns momentos utilizaremos o que já demonstramos ser construtível a partir da TNL por praticidade. Repare que o caso 3 pode ser resumido conforme segue:
n-ário(~naturais,~variável)
∴~(n-ário)
(Vide 2.1.1 para ver que ~variável)
De acordo com Carnielli et al. (2006, p. 370), no ano de 1889, Giuseppe Peano tentou criar uma notação unificadora para expressar toda a matemática, seu desejo era criar uma língua popular universal para facilitar a comunicação científica em todas as áreas, porém não obteve êxito. Mais tarde, tal crédito foi dado à teoria dos conjuntos e à lógica de primeira ordem, pois elas teriam conseguido formalizar toda a matemática. No entanto, devemos ter em mente que ambas dependem da linguagem natural para se fundamentar, é neste ponto que a TNL age, pois sistematiza as linguagens e códigos.
A LPO é dita ser “livre de contexto”, portanto é inferior à LN por possuir uma sintaxe controlada, ou seja: limita o arranjo de símbolos para evitar paradoxos. A linguagem da matemática é a lógica e a linguagem da lógica é a própria linguagem natural (de forma controlada e limitada).
Devemos lembrar que o “não” indica, automaticamente, que a afirmação não é válida (não existe), daí deduz-se o princípio do terceiro excluído: toda afirmação é verdadeira ou falsa, não existe a possibilidade dela ser as duas coisas simultaneamente. Portanto, x°.x elimina x.x e vice-versa, dizer que algo é verdadeiro equivale a dizer que não é falso e dizer que é falso equivale a dizer que não é verdadeiro:
V=°F, F=°V ∴V=°F=°°V
Não se pode conceber algo que exista e não exista ao mesmo tempo, porém podemos considerar este pensamento com símbolos, fazendo representações de coisas que não existem. Logo, só porque podemos representar algo, não quer dizer que ele exista necessariamente.
O “alfabeto” da LPO é formado pelos seguintes símbolos:
Variáveis: x, y, z... Também podem ser indexadas por números naturais: x1, x2...;
Conectivos: ↔, ¬, ⋀, ⋁, →;
Quantificadores: ∃ e ∀;
Delimitadores: ), ( e , ;
Igualdade: =;
Símbolos relacionais (ou de predicado): para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos relacionais n-ários que costumam ser representados por letras maiúsculas, estas também podem ser indexadas pelos números naturais;
Símbolos funcionais: para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos funcionais n-ários que costumam ser representados por letras maiúsculas, estas podem ser indexadas pelos números naturais;
Constantes: uma lista de símbolos, que também pode ser vazia, normalmente representadas por letras minúsculas do início do alfabeto que podem ser indexadas pelos naturais.
O conjunto de símbolos funcionais, relacionais e constantes são particulares do universo considerado, os demais símbolos são comuns às demais LPO’s. Podemos notar que a LLPO não se trata de uma linguagem fundamental, pois não define o significado de seus símbolos de forma não empírica e independente de outros conceitos. Discutiremos como cada um dos “símbolos” acima pode ser explicado pela TNL considerando tanto as interpretações limitadas da LPO quanto as mais gerais concernentes à LN. Algumas obviedades já podem ser notadas:
Constante é antônimo de variável;
Delimitadores possuem duas funções: unir ou separar;
De forma prévia, podemos expressar a igualdade x=y por x.y.z, também temos a curiosa igualdade (= = =);
Um SF indica uma transformação, o que é resultado do “fazer”;
Um R pode indicar uma gama de relações dentro da LN, por exemplo: Ana ama João;
Os conectivos unem expressões (fórmulas) e produzem novas fórmulas que podem ser interpretadas como verdadeiras ou falsas;
O “para todo ∀” e o “existe ∃” são, de certa forma, antônimos, pois dizer que “todos os homens são mortais” é o oposto de dizer que “existe um homem imortal”.
6.2 VARIÁVEIS
O conceito da palavra variável confunde-se com a ideia do axioma da escolha que veremos com mais detalhes no capítulo sobre teoria dos conjuntos. Se x varia dentro de um conjunto universo U, então seu valor (ou identidade) depende de uma escolha, a não especificação implica em indefinição que é um conceito descrito pela TNL (pois ~LN) como uma carência de dados (representações). Outra possibilidade seria a generalização o que nos levaria ao ∀ (para todo), pois dizer que “para todo x vale y” equivale a falar que x pode “variar” que sempre ocorrerá y.
Podemos considerar o universo da LN como exemplo a fim de entendermos a definição de variável dentro da LPO. Aqui elas seriam os pronomes da LN os quais representam indivíduos indefinidos dentro do universo: ele, ela, um, algum e etc. O “valor” destas variáveis muda conforme a situação relatada.
Uma variável x deve pertencer ao universo U da linguagem à qual estamos nos referindo.
Desta forma teríamos o seguinte para o conceito de variável da LPO:
\(U.y,°(x.y.x))>(x.(>x.y.x))
Observe que a variável x apresenta a propriedade de poder alterar sua identidade/valor dentro de U para qualquer elemento diferente de x que também pertença a U. Em outras palavras: x pode admitir qualquer identidade dentro de U (variar dentro de U).
Sabemos que x=F faz x≠V e x=V faz x≠F. Note que tal entendimento não se importa com a essência das sentenças, basta saber se o “valor” delas é V ou F, por exemplo: se x= “papai noel existe”, a lógica não considera esta possibilidade na realidade, nem que x seja apenas a frase escrita (conjunto de letras) ou os substantivos em sua essência, ela limita seu contexto em torno da interpretação de uma fórmula sendo esta verdadeira (V) ou falsa (F), ∴~(variável), esta visão é apoiada por Boolos et al. (2012, p. 135).
Logo, temos as seguintes concepções para uma variável:
Para todo x em U vale y: aqui podemos simplesmente dizer que U está dentro do conjunto dos conjuntos onde vale y, ou (U.x>.y). Se quisermos explicitar que a ocorrência de y se deve a um x específico, podemos escrever (U.x>.yx). A expressão (.U>.yU) expressa esta ideia de forma geral;
Escolha: podemos pensar a variável x como um espaço “vazio” (__) que é preenchido a partir de uma escolha de elementos de U feita por um sujeito y, a fórmula da TNL seria (y>(__.x),U.x);
Indefinição: como o valor/identidade de x varia, podemos dizer que não temos informações exatas sobre quem é x realmente, o único dado que temos é que U.x. Na LN este x poderia ser substituído pela frase “um elemento de U”. A carência de dados é relativa, depende do número de características que temos a respeito de algo, neste caso das variáveis temos apenas uma característica que é U.x, se U possuir apenas um elemento, então será uma informação suficiente, porém, conforme a cardinalidade de U aumentar, teremos um consequente aumento da indefinição;
A última concepção (U.y,°(x.y.x))>(x.(>x.y.x)) afirma que x pode ter qualquer valor/identidade dentro de um conjunto U. Repare que todas as possibilidades se referem a um conjunto universo, isto demonstra uma sobreposição de definições com o quantificador ∀, mas nos dispusemos a escrever todas dentro da TNL para que não restassem lacunas.
Outra questão interessante que surge é se o valor das variáveis percorre as constantes. Uma variável não seria uma função com domínio indefinido e contradomínio igual ao conjunto das constantes? Isto é apenas mais uma possível redundância na LPO.
6.3 CONECTIVOS
Os cinco conectivos listados pela lógica de primeira ordem podem ser reduzidos a apenas dois: ¬ e ⋀. O significado destes conectivos pode ser expresso pela linguagem natural:
↔: equivalência;
¬: negação;
⋀: e;
⋁: ou;
→: implicação.
Já que todos os conectivos podem ser reduzidos à apenas ¬ e ⋀, vejamos como os demais conectivos derivados podem ser escritos em função destes dois:
Equivalência: A↔B=(A→B)⋀(B→A), “A implica B e B implica A”;
Ou: A⋁B=¬((¬A)⋀(¬B)), “não é verdade que A e B são falsos”;
Implicação: A→B = (¬A)⋁B ou seja: A→B =(¬A)⋁B=¬((¬¬A)⋀(¬B))=
¬(A⋀(¬B)), “não é verdade que A ocorre e B não ocorre”. Nota: diz-se que A é necessário para B quando -A → -B, e dizemos que é suficiente quando A→ B.
Nota: poderíamos utilizar ¬ e ⋁ para os mesmos fins de redução.
Tendo em vista esta possibilidade de redução, poderíamos prosseguir analisando apenas dois conectivos, porém vamos considerar cada um de forma separada para que tenhamos um melhor entendimento das nuances concernentes à LN, isto nos proporcionará ter uma dimensão da limitação que a LPO nos impõe ao fixar seu alfabeto desta forma.
6.3.1 E (⋀)
Diferente do que ocorre na implicação, o "e" não representa, necessariamente, uma interdependência entre os termos. Se for interpretado como uma intersecção, ele indica que um elemento x pertence a dois conjuntos A “e” B ao mesmo tempo, \(A.x,B.x). Podemos ver que não foi necessário dizer que “A.x e B.x”, basta a menção das expressões lado a lado, pois “X e Y” equivale à “X,Y” (a vírgula pode ser qualquer sinal gráfico, ver 2.1.8). Dizer “a casa é verde e bonita” equivale a dizer “a casa é verde, a casa é bonita”, portanto o “e” não deve ser visto como algo primitivo, mas apenas como mais um recurso prático da linguagem que pode ser explicado pela TNL.
Escrever AB, no sentido de A “e” B juntos, pode ser entendido como uma referência à A e a B como um conjunto único, portanto, neste caso temos uma união dos conjuntos, pois (AB).A e (AB).B.
No contexto limitado LPO, o que importa é apenas o valor de cada fórmula, portando A⋀B possui as seguintes possibilidades:
V⋀V = V
V⋀F = F
F⋀V = F
F⋀F = F
Nota-se que A⋀B só poderá ser verdadeira se A e B forem ambas verdadeiras, logo, tal expressão refere-se à validade de AB: a união de A e B como um todo. Pode ocorrer que parte de A ou B seja falsa, por exemplo: se B é a frase “São Paulo está no Brasil e existem triângulos com quatro lados”, então apenas uma parte de B é verdadeira, logo não podemos afirmar que todo o conjunto AB é verdadeiro. O ⋀ lógico possui esta ideia intrínseca de todo verdadeiro ou de junção, união de conjuntos o que pode se confundir com o “ou” que veremos adiante.
Portanto temos as seguintes possibilidades de concepção para o ⋀:
Intersecção:
A.(A⋂B),B.(A⋂B), (A.x, B.x)>(A⋂B).x; Um x não especificado implica um x qualquer que apenas possui a propriedade de estar em A e B simultaneamente, repare que a última parte também pode ser escrita de forma invertida ((A⋂B).x)>(A.x,B.x), ou seja: ((A⋂B).x)<>(A.x,B.x);
União: (A e B).(AB).(A e B), a soma também pode ser incluída aqui, pois 2 + 3 = 2 e 3 no sentido de união:
(AB).B,(AB).A,((AB).x,B°.x)>A.x, ((AB).x,A°.x)>B.x, onde A⋃B=AB.
Esta ideia de junção é muito interessante, pois pode formar quaisquer coisas mediante a junção de suas partes integrantes;
Validade simultânea de A e B, neste caso: (.A,.B)>.(AB), (.A,°.B)>°.(AB), (°.A,.B)>°.(AB),(°.A,°.B)>°.(AB).
Note que abreviamos A.A “existe A ou A tem A” por .A “tem A”. ∴~⋀
6.3.2 OU (⋁)
O “ou” pode indicar uma interdependência entre termos, por exemplo: na frase “ela é rica ou feliz”, se ela é rica, então não é feliz e, se é feliz, então não é rica; ambas frases interferem uma na outra:
\(x>°y,y>°x)
Se for interpretado como uma união de conjuntos “x pertence à união de A com B”, equivaleria a dizer que x pertence a A ou a B, desta forma o “ou” indicaria que um elemento x pertence ao conjunto A ou ao conjunto B:
\((A⋃B).A,(A∪B).B),((A⋃B).x,A°.x)>B.x, ((A⋃B).x,B°.x)>A.x
(note que A⋃B=AB).
Neste caso, o “ou” cumpre uma função de junção assim como o ⋀ também é capaz de fazer, este tipo de consideração de ambiguidades carece de atenção por parte da bibliografia atual, ainda poderemos observar que existe uma intersecção conceitual não vazia e opaca entre a TC e a lógica.
Imagine um y existente que não possa ser decomposto em partes menores, então não existem w e z, diferentes de y, tais que y=w⋀z=wz ou, analogamente, y=w⋃z=wz; y não teria partes próprias, em outras palavras: y.p>p.y, ou (y.(wz).y,°(w.z.w))>(°.w,°.z), se isto é possível dentro da realidade física não se sabe, mas a TNL pode expressar.
No contexto limitado da LPO o que importa é apenas o valor de cada fórmula, portanto A⋁B possui as seguintes possibilidades:
V⋁V = V
V⋁F = V
F⋁V = V
F⋁F = F
Nota-se que A⋁B só poderá ser verdadeira se A ou B for verdade. Portanto a frase: “São Paulo fica no Brasil ou existem triângulos com quatro lados” seria verdadeira, o oposto do que ocorreria se o “ou” fosse substituído por “e”.
Temos as seguintes concepções para o ⋁:
Exclusividade:
(A⋁B).(°A>B,°B>A).(A⋁B);
Pertencimento a uma união de conjuntos: ((A⋃B).A,(A⋃B).B),((A⋃B).x,A°.x)>B.x, ((A⋃B).x,B°.x)>A.x;
Validade de A ou B:
(.A,.B)>.(A⋁B),(.A,°.B)>.(A⋁B), (°.A,.B)>.(A⋁B),(°.A,°.B)>°.(A⋁B).
Também havíamos visto que A⋁B=¬((¬A)⋀(¬B)) o que equivale a dizer que não pode acontecer de nem A e nem B ocorrerem.
O “ou inclusivo” poder ser facilmente definido adicionando a fórmula “.(A⋂B)” (a intersecção é não vazia) no final da fórmula 3 acima.
6.3.3 IMPLICAÇÃO (→)
A equivalência pode ser descartada como um conectivo primitivo logo de início, pois (A↔B)=(A→B,B→A) ou A→B→A, nada mais é do que uma forma simplificada de se escrever duas implicações.
A implicação pode ser substituída pelo > o “fazer” da TNL, pois possui a mesma ideia de causa e efeito, exemplos:
x+1=2→x=1:\(x+1=2)>(x=1), para mais detalhes sobre a fragmentação do processo de resolução de equações sugerimos a leitura do livro sobre TNL;
x∈N→x∈R:\(N.x)>(R.x);
Todo humano é mortal→Jesus é mortal:
\(M.H,H.J)>M.J, onde M=conjunto dos mortais; H= conjunto dos homens e J=Jesus. Este caso será importante para desenvolvermos o quantificador ∀.
No caso limitado da lógica de primeira ordem, temos que nos ater apenas aos valores de A e B, a tabela verdade de A→B é:
V→V=V
V→F=F
F→V=V
F→F=V
Os diagramas de Venn-Euler, quando indicam variáveis proposicionais, devem ter intersecção não vazia. Imaginar que A e B são independentes não é válido, portanto podemos ver isto como uma forma de se dizer que de algo existente (verdadeiro) só podem sair coisas existentes. A primeira, segunda e quarta linha da tabela verdade aceitam esta interpretação, porém a terceira linha nos diz que de algo não existente sai algo existente, a única forma disto ser verdade é se entendermos A sendo parcialmente verdadeira, desta forma, dizer que de algo parcialmente verdadeiro (ou seja falso) pode sair algo verdadeiro justificaria a tabela. Nesta interpretação, teríamos:
(.x,.y)>.(x>y)
(.x,°.y)>°.(x>y)
(°.x,.y)>.(x>y)
(°.x,°.y)>.(x>y)
O fato de que a TNL nos permite expressar esta tabela verdade independe de sua existência ou viabilidade em situações reais. Conforme dissemos, esta tabela é melhor interpretada se for entendida como a possibilidade de algo verdadeiro ser gerado por outro conjunto, mesmo ele sendo verdadeiro em parte: o falso pode ser parcialmente verdadeiro, mas o verdadeiro é integralmente verdadeiro.
Também vimos que, na LPO A→B=¬((A)⋀(¬B)), ou seja: não pode acontecer A sem a ocorrência de B, dizer que “A implica B” equivale a dizer que “é falso que A é verdadeiro e B é falso”.
6.3.4 O NÃO (¬) E O PRIMITIVO
Vimos que todos os conectivos podem ser gerados pela TNL, portanto não devem ser encarados como entes primitivos, além disso, também observamos que eles podem ser reduzidos apenas a ¬ e ⋀, então seriam estes os entes primitivos? Como o caso do “não” e do “e” já foram discutidos por nós anteriormente, nesta seção ampliaremos nossa visão sobre o que de fato é primitivo segundo a TNL. Seriam o “ter” e o “fazer” os únicos elementos primitivos de fato? Ou seriam somente uma representação de algo mais primitivo? O seguinte teorema alega que não pode existir um conjunto de todas as coisas:
Teorema (Paradoxo de Russell). Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou seja ∀x∃y tal que y∉x.
Demonstração: suponha, por absurdo, que exista um conjunto y tal que, para todo x, x∈y. Utilizando o axioma da separação para a fórmula x∉x, existe z tal que, para todo x, x∈z↔(x∈y e x∉x). Já que x∈y é verdadeiro para todo x temos que x∈z↔x∉x. Tomando z no lugar de x, temos z∈z↔z∉z, absurdo.▄
Aqui vemos a utilização do axioma do esquema de separação de Zermelo-Fraenkel (vide 3.6.4) para uma fórmula "x∉x" que toma um x inexistente e o admite como se fosse existente, porém, isto faz com que as hipóteses do teorema não sejam válidas, pois deve-se pressupor que ∀x refira-se a todo x existente, portanto os argumentos que tomam "x∉x", admitindo-o como algo existente, contrariam a definição de existência descoberta pela TNL.
Teorema. O conjunto Ω de todas as coisas existe e é único.
Prova: pela definição de Ω, temos que ∃x↔x∈Ω, o que equivale a dizer que ∄x↔x∉Ω. Suponha, por absurdo, que ∃y e y∉Ω↔∄y, temos, então, um absurdo, pois ∃y→ ∄y, portanto ∃Ω. Seja T outro conjunto de todas as coisas, se ∃T, então T∈Ω, já que Ω existe, então Ω∈T, logo Ω=T, portanto Ω existe e é único. ▄
Já que Ω existe, quando utilizamos o “ter” e o “fazer”, isto é para coisas que pertencem a Ω o que nos leva a admitir que este conjunto é o ente primitivo de fato. O “núcleo” da TNL serve para a representação da característica “estática (ter)”, enquanto que o “fazer” expressa qualquer modificação. O “não”, como já destacamos, é uma forma simplificada de se dizer que algo não está em Ω. Os elementos de Ω podem indicar, inclusive, um recorte não estático deste conjunto universal.
6.4 QUANTIFICADORES (∀ E ∃)
Existem frases que não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas se não tivermos mais informações, por exemplo: “x fez mais de 1000 gols”. Esta frase depende de x, portanto dizemos que se trata de uma função proposicional. Escrevemos p(x) para representar uma proposição aberta que depende da variável x∈U, onde U é denominado “o universo de discurso”, se x=Pelé, então teremos que p(x) será verdadeira.
Os quantificadores permitem transformarmos uma proposição aberta em proposições fechadas:
∃x∈N; x+3=4;
∀x∈N; x+0=x.
Estas expressões podem ser reescritas nas seguintes formas:
Existe x∈U tal que p(x) é verdadeira;
Para todo x∈U temos p(x) verdadeira.
Admitindo estas formas genéricas de ocorrência, podemos dizer que o quantificador existencial ∃ sempre ocorre na forma ∃x∈U:p(x) “existe x pertencente a U tal que p(x) é verdadeira”:
\(.x,U.x,.p(x))
Repare que as únicas especificações de x são que ele existe e que está contido em U, em princípio, não se sabe se ele é o único que faz com que p(x) seja verdadeira ou mais detalhes a seu respeito.
Quando queremos dizer que existe um único x tal que p(x) é verdadeira, utilizamos o símbolo ∃!, “∃!x∈U:p(x)”:
\.(p(y))>(x.y.x,U.x)
Aqui também há uma única especificação inicial de y que é p(y) ser verdadeira, como não estamos generalizando com o uso do quantificador universal ∀, então estamos especificando, apesar de termos poucas informações. Interpretar a indefinição como total falta de especificação/informação pode não estar correto, pois ao dizermos "uma mulher ganhou na loteria" estamos nos referindo a uma mulher específica. Aqui o pronome indefinido “uma” pode ser entendido como a unidade, mas também pode-se supor que o ganhador da loteria seja sempre unitário. Temos a informação de que se trata de uma mulher e isto é um dado parcial, portanto, as indefinições costumam ser, nada mais, do que especificações parciais.
Cabe relembrar que a TNL define o conceito de existência de forma mais fundamental do que esta aplicação restrita da LPO. O quantificador existencial também pode ser descartado pela lógica como um símbolo primitivo, pois pode ser escrito em termos de outros símbolos: ∃xA=¬∀x¬A “existe x tal que A é verdadeira é igual a dizer que não é verdade que para todo x, A é falso”.
O quantificador universal ∀ também pode ser fragmentado pela TNL. Dizer que para todo x∈U temos p(x) verdadeira “∀x∈U:p(x)” equivale a (U.x)>.(p(x)) “U ter x faz ter p(x)”. Observando esta última fórmula, podemos concluir que o quantificador universal pode ser resumido a uma implicação lógica, por exemplo: “∀ homem ∃ uma morte” equivale a dizer que os homens estão contidos no conjunto dos mortais o que é o mesmo que dizer que se x é homem, então x é mortal. Dizer “para todo x real temos p(x)” equivale a dizer que “se x é real, então vale p(x)”, em resumo temos que a implicação lógica, a relação de pertinência da teoria dos conjuntos e o ∀ são conceitos equivalentes. Pode parecer estranho afirmar que isto vale para a implicação, o exemplo que demos anteriormente diz que x+1=2→ x=1, poderíamos afirmar que a equação x+1=2 está no conjunto C das equações que possuem o 1 como solução, logo C.(x+1=2)>(x=1). Aqui temos algo que é intrínseco ao conjunto Ω de todas as coisas: se Ω.x, então x terá as características determinadas pela intersecção dos conjuntos que o contém com todas as suas implicações intrínsecas. Para provarmos a equivalência entre ∀, → e ∈, devemos restringir o significado destes símbolos à LPO, ou seja, é preciso considerarmos suas características neste contexto:
∀x∈U:p(x)=(U.x)>.(p(x)) “(U.x)>.p”;
x∈y=y.x (detalharemos mais isto na TC);
x→y=(.x,.y)>.(x>y)
(.x,°.y)>°.(x>y)
(°.x,.y)>.(x>y)
(°.x,°.y)>.(x>y)
Prova:
∈>→: iniciaremos esta prova com a relação de pertinência envolvendo o conjunto Universo:
x∈U→p, \U.x>.p
x∈U>.(→p)
∴ .∈>.→
Portanto, pela definição de U, a relação de pertinência faz haver uma implicação. Se considerarmos a definição de → dada acima pela TNL, estaremos no caso da primeira linha da “tabela”, pois já que U existe, então x existe;
→>∀: pela definição de ∀, e também pelo caso anterior, sabemos que U.x→p, \U.x>.p, isto equivale a escrever que ∀x∈U:p(x), na verdade este passo da prova nada mais é do que citar a definição de ∀ dada pela TNL.
U.x→p>(∀x∈U:p(x))
∴ .→>.∀;
∀>∈: pela definição ∀x∈U:p(x) temos que o ∀ se refere aos elementos do conjunto U, o que implica em uma relação de ∈, ou seja, .∀>.∈.
∴ ∈>→>∀>∈ ∎
Podemos resumir esta prova da seguinte forma:
(x∈U)>(x∈U→p)>(∀x∈U:p)>(x∈U)
∈ → ∀ ∈
De uma relação de pertinência surge uma implicação referente a uma propriedade do conjunto universo, já que todos elementos de U satisfazem esta propriedade, então temos o “para todo” o qual, por sua vez, faz referência aos elementos de U “∈”.
A fórmula do ∀ na TNL “(U.x)>.(p(x))” traz apenas uma especificação inicial para x que é “U.x”, portanto não devemos entender o ∀ como uma generalização indiscriminada, pois ele está se referindo a elementos de um conjunto específico. Se escrevêssemos “.p(x)>U.x” (p(x) ser válida faz U ter x) não estaria correto, pois podem existir elementos fora de U tais que p(x) seja válida. Concluímos que o “para todo” sempre se refere aos elementos de um conjunto, logo pode ser resumido a uma relação de pertinência. Portanto temos as seguintes fórmulas na TNL:
∀x∈U:p(x)=(U.x)>.(p(x));
∃x∈U:p(x)=(.x,U.x,.p(x));
∴~(∃,∀)
6.5 DELIMITADORES
Os delimitadores podem ser utilizados para indicar a junção ou separação de elementos, escrever (xy) faz com que estejamos nos referindo à união de x com y, portanto “xy.z” deve ser lido como “x e y tem z” enquanto que “(xy).z” significa que xy tem z. Muitas vezes o contexto é claro e a aplicação dos parênteses é negligenciada, o mesmo ocorre para as vírgulas, mas, dependendo da situação, elas podem ser úteis para a organização de expressões mais complexas, “xy” indica “x e y; já “x,y” costuma indicar a listagem ou menção lado a lado de duas coisas que não precisam ser consideradas unidas ou relacionadas. A expressão (x,°.y) “x, não tem y” significa “x e não tem y”, sem a vírgula ficaria (x°.y) “x não tem y” o que mudaria completamente o significado da expressão. A TNL não impõe nenhuma limitação para a organização dos delimitadores, pois entende que isto amplia a expressividade da linguagem e impede o cerceamento de questões que podem surgir. A LLPO não admite que escrevamos (x.,) “x tem vírgula” ou )( “parênteses direito e parênteses esquerdo”, isto limita um aprofundamento na metalinguagem e implica uma superficialidade no domínio dos fundamentos metamatemáticos.
Os delimitadores não devem ser vistos como elementos primitivos da linguagem, a vírgula pode ser substituída por uma combinação de parênteses, pela menção dos elementos lado a lado (ou até mesmo usando o ∧ - vide 2.1.3), por espaços vazios ou por qualquer sinal gráfico:
x, y e wz=x, y, wz=(x)(y)(wz)=x y wz
Até os parênteses podem ser fragmentados pela TNL, eles possuem a função de mencionar um conjunto de elementos como um todo, “(xy)” pode ser entendido como o conjunto que possui x e y como elementos, inclusive isto pode ser visto como uma forma sintética de se representar um diagrama de conjunto. Vejamos o caso dos parênteses mediante algumas fórmulas:
(x).x°.(x)
(xy).x
(xy).y
6.6 IGUALDADE E CONSTANTES
A igualdade também é fixada como um símbolo primitivo da LLPO, porém isto não se faz necessário pois “x=y” pode ser reescrito como “x.y.x”. No entanto, o igual também pode significar a equivalência entre quantidades ou características de dois objetos que podem não ser o mesmo, ao dizermos que todos os humanos são iguais, podemos estar nos referindo a seus direitos e deveres, ou seja: “direitos e deveres de Valéria”=“direitos e deveres de Márcia”, neste caso faz sentido dizermos que “Valéria=Márcia”, apesar de serem pessoas diferentes. Isto também ocorre para as quantidades, os números desprezam a identidade das coisas e objetos aos quais se referem, se o número de homens “h” e o número “m” de mulheres num local é o mesmo, então escrevemos “m=h”, apesar de que todas as pessoas são diferentes umas das outras ao considerarmos suas identidades e local que ocupam no espaço. Tratamos esta questão com rigor durante a demonstração dos axiomas de Peano. A utilização do = no alfabeto da lógica ajuda a termos uma escrita mais prática, porém é bom ressaltar que este símbolo não é um conceito primitivo essencial para a construção da teoria.
Na LPO, as constantes são definidas como uma lista, vazia ou não, de símbolos que normalmente são letras minúsculas do início do alfabeto que podem ser indexadas pelos números naturais. Esta definição faz referência aos números naturais de forma intuitiva sem construí-los, tal dependência conceitual contrasta com a alegação de que a Lógica e a Teoria dos Conjuntos podem gerar toda a Matemática de forma independente. Como alegar que a LPO e a TC podem construir a Matemática se ambas teorias fazem uso dos números naturais que estão contidos dentro da Matemática? Seria como construir algo que já está inserido explicitamente tanto na teoria construtora quanto na construída.
Na LN, uma constante individual se refere a um substantivo, por exemplo: Cléber, casa, carro e etc. Uma constante de predicado se refere aos atributos que podem ser aplicados às constantes individuais, por exemplo: “a casa é bonita”, neste caso a constante individual é “a casa” e a constante de predicado “é bonita”, poderíamos escrever isto simbolicamente com “B(c)”. A TNL descreve as constantes individuais como substantivos que podem ser abstratos ou concretos, os casos de constantes de predicado também são gerados pela TNL, o exemplo específico “B(c)” seria representado por c.b “a casa tem beleza”. Além dessas possibilidades, talvez a mais natural de todas seja dizer que uma constante é algo que não muda, não possui alguém que a modifique e não possui a modificação:
\(c°.>,(y>c.)>°.y)
As constantes, assim como os símbolos relacionais e funcionais que veremos a seguir, são símbolos específicos da linguagem que estamos considerando, se estivéssemos tratando da LN, as constantes representariam os substantivos concretos ou próprios: objetos, de certo modo, estáticos e bem definidos. Para a LPO o mais natural é definir uma constante como o contrário de variável: \(U.y,°(c.y.c))>c°.(>c.y.c), ou seja: se y está no universo e é diferente de c, então c não pode ser y.
6.7 SÍMBOLOS RELACIONAIS E FUNCIONAIS
Já consideramos a maior parte dos elementos que constituem a LPO, restam apenas dois:
-Símbolos relacionais: para cada número natural há uma lista, vazia ou não, de símbolos relacionais n-ários, costumam ser representados por letras maiúsculas que também podem ser indexadas por números naturais;
-Símbolos funcionais: para cada número natural há uma lista, vazia ou não, de símbolos funcionais n-ários, costumam ser representados por letras maiúsculas e podem ser indexadas por números naturais;
Estas definições são feitas de forma genérica, o que mais chama a atenção aqui é que elas se referem a conceitos que não são próprios da Lógica, pois o conceito de relação é definido pela Teoria dos Conjuntos, sendo que toda função é um tipo específico de relação conforme vimos anteriormente. Também cabe salientar, novamente, a dependência destes conceitos em relação aos números naturais.
Fragmentaremos os conceitos de relação e função com maior profundidade no capítulo sobre a Teoria dos Conjuntos. Nesses símbolos específicos também há uma dependência em relação ao quantificador universal, simbolicamente temos o seguinte:
Símbolo relacional (SR): ∀n∈N ∃Ln , onde Ln é uma “lista”, vazia ou não, de símbolos relacionais n-ários;
Símbolo funcional (SF): ∀n∈N ∃Fn , onde Fn é uma “lista”, vazia ou não, de símbolos funcionais n-ários.
Ambas definições são muito parecidas, ainda mais se considerarmos que toda função é um tipo específico de relação:
\N.n>.Ln
\Ln.R>(R ser uma relação n-ária)
Como já definimos o que significa “n-ário”, relação e função, podemos concluir que todo o alfabeto da LLPO demonstrou poder ser derivado a partir da TNL: ∴~LLPO. Acredito que toda esta simplificação ajude a democratizar o entendimento desta disciplina, para explicitar isto ainda mais, temos que:
LLPO(var,→,↔,¬,∧,∨,=,∃,∀,SR,SF,const,),(,vírgula)
Todos os elementos que compõem a LLPO puderam ser expressos pela TNL, pois:
SR(~∀,~∃,~conjunto,~N,~∅,~n-ário,~relação*)
SF(~∀,~∃,~conjunto,~N,~∅,~n-ário,~função*)
∴~(SR,SF)
Notas:
*Mais tarde veremos que todo SR e SF será atribuído a uma relação e função respectivamente;
∅≝∅°.∅ (Esta é uma definição prévia, iremos aprofundá-la em TC);
Conjunto é qualquer coisa diferente do vazio (qualquer coisa que exista) ou seja, pertença a Ω. ∴~conjunto.
6.8 CONCLUSÃO
Podemos expor os elementos da LLPO como um recorte da LN, as concepções podem ser resumidas conforme segue:
Variáveis: (U.y,°(x.y.x))>(x.(>x.y.x)). Aqui supomos, por simplicidade, que o sujeito é o próprio x, caso são fosse, poderíamos escrever (U.y,°(x.y.x))>(z.(>x.y.x));
c é constante: (U.y,°(c.y.c))>(c°.(>c.y.c)) “const=°var”;
O “e” expressa a validade simultânea de A e B, neste caso: (.A,.B)>.(AB),(.A,°.B)>°.(AB),(°.A,.B)>°.(AB),(°.A,°.B)>°.(AB);
O “ou” expressa a validade de A ou B: (.A,.B)>.(A⋁B),(.A,°.B)>.(A⋁B), (°.A,.B)>.(A⋁B),(°.A,°.B)>°.(A⋁B);
A implicação pôde ser expressa por:
(.x,.y)>.(x>y),(.x,°.y)>°.(x>y),(°.x,.y)>.(x>y),(°.x,°.y)>.(x>y);
O “não” é uma forma simplificada de se dizer que algo não está em Ω;
A fórmula do ∀ na TNL se refere a um conjunto universo U: “(U.x)>.(p(x))”, ou também podemos dizer que U pertence ao conjunto dos elementos que fazem valer p;
Para o ∃ também temos um conjunto universo U ao qual ele se refere:
\(.x,U.x,.p(x));
Vírgula e parênteses:
x, y e wz=x, y, wz=(x)(y)(wz)=x y wz
(x).x°.(x)
(xy).x
(xy).y
Em resumo: a vírgula indica uma separação e os parênteses indicam uma junção;
Símbolo relacional:
N.n>.Ln
Ln.R>(R ser uma relação n-ária);
Símbolo funcional:
N.n>.Ln
Ln.F>(F ser uma função n-ária);
Igualdade: x.y.x que pode se referir apenas a uma característica comum aos elementos, isto pode ser indicado por meio de uma indexação: xc.yc.xc. Há uma sutileza aqui, pois ter uma mesma característica implica em estar num conjunto de elementos que apresentam tal coisa em comum. Isto implica na existência de uma relação que é possuir esta característica em comum, ou seja: uma relação gera um conjunto e vice- versa neste caso.
