UM POUCO DE CONFUSÃO
Já consideramos a maior parte dos elementos que constituem a linguagem da lógica de primeira ordem, restam apenas dois:
Símbolos relacionais: Para cada número natural há uma lista, vazia ou não, de símbolos relacionais n-ários, costumam ser representados por letras maíusculas que também podem ser indexadas por números naturais;
Símbolos funcionais: Para cada número natural há uma lista, vazia ou não, de símbolos funcionais n-ários, costumam ser representados por letras maíusculas e podem ser indexadas por números naturais;
Estas definições são feitas de forma imprecisa e genérica, aqui, o que mais incomoda é que elas não fazem parte da Lógica, pois o conceito de relação é definido pela Teoria dos Conjuntos, onde toda função é um tipo específico de relação. Também cabe salientar, novamente, a dependência da lógica em relação aos naturais. Fragmentaremos estes conceitos com o uso da TNL no capítulo sobre a Teoria dos Conjuntos.
Após este problemático processo de definição da linguagem da lógica matemática, surgem outras definições artificiais tais como: termos, fórmulas(que dependem da definição de termo), grau de complexidade de termos e fórmulas, subtermos, subfórmulas, variáveis livres, substituição de variável por termo, substituição de variável por termo e etc. Isto causa uma grande prolixidade e névoa conceitual que impede uma visão clara das coisas, também permite o surgimento de falácias que costumam ser encaradas como verdades bem fundamentadas pela maioria dos matemáticos que, infelizmente, são treinados para seguirem as definições sem questionamentos, apenas atentando-se para a sintaxe e regras de inferência. Fajardo (2017) corrobora este pensamento ao escrever que discutir o sistema de axiomas faz parte da filosofia, ora isto impede que a matemática tenha um aprofundamento em suas raízes limitando-a um mero conjunto de consequências, úteis ou não, de regras cujas validades não são postas à prova.
Admite-se que lógica de primeira ordem, por meio da teoria dos conjuntos, é capaz de formalizar toda a matemática, porém a formalização destas duas bases carece de exatidão, encontra muitos problemas, é redundante, empírica, intuitiva, inexata e prolixa. Portanto, é de se esperar que suas combinações mútuas gerem definições que se aproximem de todas estas características, vejamos os casos específicos de termos e fórmulas:
Termos: São sequências finitas de símbolos do alfabeto que obedecem a estas regras:
As variáveis são termos;
As constantes são termos;
Se t1,...tn são termos e F é um símbolo funcional n-ário, então F( t1,...tn) é um termo;
Todos os termos têm uma das formas acima.
Podemos reparar que esta definição não se faz necessária, apenas causa mais poluição informacional e sintática dentro da lógica.
Fórmulas: São sequências finitas de símbolos do alfabeto que obedecem a estas regras:
Se t e s sã termos, (t=s) é uma fórmula;
Se t1,...tn são termos e R é um símbolo relacional n-ário, então R(t1,...tn) é uma fórmula;
Se A e B são fórmulas, então (¬A), (A→B), (A⋀B), (A⋁B) e (A↔B) são fórmulas;
Se A é fórmula e x é uma variável, então ∃xA e ∀xA são fórmulas;
Todas as fórmulas têm uma das formas acima.
Aqui é interessante notar que expressões com significado tais como “¬ →” e “↔ ⋀ →” são ignoradas, isto impede um aprofundamento metamatemático e também denota uma poluição linguística desnecessária, pois toda a simbologia aqui já foi reduzida pela TNL.
