QUANTIFICADORES
∃ EXISTE E ∀ PARA TODO
Existem
frases que não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas sem
termos mais informações, por exemplo: “x fez mais de 1000 gols”.
Esta frase depende da variável x, portanto dizemos que se trata de
uma função proposicional. Escrevemos p(x) para representar uma
proposição aberta que depende da variável x∈U, onde U é
denominado “o universo de discurso”, se x=Pelé, então teremos
que p(x) será verdadeira.
O
quantificadores permitem transformarmos uma proposição aberta em
uma proposição fechada:
- ∃x∈N; x+3=4;
- ∀x∈N; x+0=x;
Estas
expressões podem ser reescritas das seguintes formas:
- Existe x∈U tal que p(x) é verdadeira;
- Para todo x∈U temos p(x) verdadeira.
Admitindo
estas formas genéricas de ocorrência, podemos dizer que o
quantificador
existencial ∃
sempre
ocorre na forma ∃x∈U:p(x)
“existe x pertencente
a U tal
que p(x) é verdadeira”,
na
TNL teríamos (.x, U.x, .p(x)). Repare que as únicas especificações
de x são que ele existe e que está contido em U, em
princípio, não
se sabe se ele é o único que faz com que p(x) seja verdadeira ou
mais detalhes a seu respeito.
Quando
queremos dizer que existe um único x tal que p(x) é verdadeira,
utilizamos o símbolo ∃!,
para
expressarmos ∃!x∈U:p(x)
na TNL basta escrevermos .(p(y))>x.y.x, neste
caso a única especificação de y é que p(y) é verdadeira, podemos
entender isto como um tipo de generalização
já
que não se sabe mais nada a respeito de y, mas,
em termos gerais, quando não generalizamos com o uso do
quantificador universal ∀,
estamos
especificando. Interpretar a indefinição como
a falta
de especificação também
pode
não
estar
correto, pois ao dizermos "uma mulher ganhou na loteria"
estamos nos
referindo
a uma mulher específica.
Cabe
relembrar que a TNL define o conceito de existência de forma mais
fundamental do que esta aplicação restrita da lógica de primeira
ordem.
O
quantificador existencial também pode ser descartado pela lógica
como um símbolo primitivo, pois pode ser escrito em termos de outros
símbolos: ∃xA = ¬∀x¬A “existe x tal que A é verdadeira é
igual a dizer que não é verdade que para todo x A é falso”.
O
quantificador universal ∀ também pode ser fragmentado pela TNL.
Dizer que para todo x∈U temos p(x) verdadeira “∀x∈U:p(x)”
equivale a (U.x)>.(p(x)) “U ter x faz ter p(x)”. Observando
esta última fórmula, podemos concluir que o quantificador universal
pode ser resumido a uma implicação lógica, por exemplo: “∀
homem ∃ uma morte” equivale a dizer que os homens estão contidos
no conjunto dos mortais o que é o mesmo que dizer que se x é homem,
então x é mortal. Dizer “para todo x real temos y” equivale a
dizer que “se x é real, então existe y”, em resumo temos que a implicação lógica, a relação
de pertinência da teoria dos conjuntos e o ∀ são conceitos
equivalentes. Pode
parecer estranho afirmar que isto vale para a implicação, o exemplo
que demos no capítulo 6 diz que x+1=2→ x=1, poderíamos afirmar
que a equação x+1=2 está no conjunto C das equações que possuem
o 1 como solução, logo C.(x+1=2)>(x=1). Aqui temos algo que é
intrínseco ao conjunto Ω de todas as coisas: se Ω.x, então x terá
as características determinadas pela intersecção dos conjuntos que
o contém com todas as suas implicações.
