P(A)={x: x⊂A} "O conjunto das partes de A é formado pelos subconjuntos de A".
A TNL afirma que a diferenciação entre ∊ e ⊂ é indevida, o que implica A = P(A). Este tipo de artimanha se faz necessária para a formulação de conceitos artificiais que se fundamentam na ideia de família de conjuntos:
- Cardinais: Seja 𝝰 uma família de conjuntos equivalentes a A. Portanto, 𝝰 é chamado de n° cardinal de A, expresso por 𝝰=|A|.
- Ordinais: Seja A um conjunto bem ordenado e 𝝀 uma família de conjuntos bem ordenados semelhantes à A, então 𝝀 é um n° ordinal, expresso por ord(A).
Os conceitos acima dependem dos termos "equivalentes", "semelhantes", "bem ordenado" e "família". Os dois primeiros derivam da ideia de função que já foi reduzido pela TNL. Dois conjuntos A e B são equivalentes se existe uma função bijetora entre eles, o conceito de conjuntos semelhantes traz embutida a ideia de que A e B devem ser bem ordenados, este também é um conceito que já foi reduzido pela TNL.
Como substituir a ideia de família de conjuntos para permitir o aproveitamento desta teoria sem ter que descartá-la completamente? A TNL proporciona uma formalização para os números e suas operações, vejamos como substituir o conceito de família com um exemplo:
Seja A={1,2}, logo P(A)={∅,{1},{2}, A}, para se mencionar isto, poderíamos encarar {1} como uma cópia/representação de 1. Portanto, P(A) é um conjunto de representações de elementos de A.
