A Matemática parece cumprir a tarefa de ser a ciência mais fundamental, porém a TNL...
Notas sobre o livro "Lógica Matemática"
A teoria dos conjuntos e a lógica podem formalizar toda a matemática.
A lógica de primeira ordem se divide em 3 partes:
- Linguagem: Símbolos e regras para escrevê-los (formação);
- Semântica: Significação da linguagem (interpretação);
- Axiomática: Provar teoremas a partir de outras afirmações.
Ele diz que é possível provar um teorema conhecendo apenas a sintaxe da lógica, mas se esquece que toda sintaxe possui o semântico atrelado.
Ele diz que discutir o sistema de axiomas faz parte da filosofia.
A lógica de primeira ordem, por meio da teoria dos conjuntos, é capaz de formalizar toda a matemática.
O uso da sintaxe controlada impede o surgimento de paradoxos.
O argumento de Gödel foi uma variação do paradoxo do mentiroso (eu não posso ser provada). Também demonstra que, se um sistema for consistente, ele não poderá provar sua própria consistência.
A lógica proposicional utiliza o seguinte alfabeto para sua linguagem:
- Variáveis (fórmulas atômicas): p, q, r, s... ou pi, onde i= 0, 1, 2...
- Conectivos: ↔ ¬ ⋀ ⋁ →
- Delimitadores: ) e (
Segundo o mesmo, a formação de fórmulas deve seguir as seguintes regras:
- Variáveis são fórmulas;
- Se A é uma fórmula, então (¬A) também é;
- Se A e B são fórmulas, então (A↔B), (A⋀B), (A⋁B) e (A→B) também são
- Não existem outras fórmulas além dessas.
É interessante notar que expressões com significado tais como ¬ → e ↔ ⋀ → são ignoradas.
A partir dessas definições imprecisas, deduz-se regras sobre as fórmulas.
Fórmulas atômicas possuem a característica de não terem os conectivos em sua formação, não podem ser objetos, mas apenas afirmações que são verdadeiras ou falsas, portanto a lógica não engloba toda a linguagem como a TNL faz. Sempre podemos quebrar algo físico por seus entes constituintes, pois p = q⋀r. A TNL quebra estes "átomos", pois fornece uma estrutura capaz de quebrar todas as expressões da linguagem que a lógica se limita a dizer que são fórmulas atômicas inquebráveis que podemos apenas dizer se são verdadeiras ou falsas. A TNL amplia toda esta concepção com o conceito universal de existência.
Valoração é uma função, e função é uma relação.
Diagramas de Venn-Euler devem ter intersecção não vazia para ter validade lógica.
Todos os conectivos podem ser reduzidos à apenas ¬ e ⋀, pois:
A↔B = (A→B)⋀(A→B)
A⋁B = ¬((¬A)⋀(¬B))
A→B = (¬A)⋁B ou seja: A→B = (¬A)⋁B = ¬((¬¬A)⋀(¬B)) = ¬((A)⋀(¬B))
Afirma que a lógica proposicional depende de noções intuitivas de aritmética, que o termo família de conjuntos é redundante e tem propósito didático e que na axiomática dos conjuntos tudo é conjunto.
Definição de AxB: É o conjunto dos pares ordenados (x,y) tais que x∈A e y∈B.
Em TNL: (A.a B.b)>(AxB).(a,b) quando não especifica, generaliza.
A tem um a e B tem um b, então AxB tem (a,b).
Definição de relação: (AxB).R, então R é uma relação. Portanto todo subconjunto do produto cartesiano é uma relação.
Definição de Função: É um tipo de relação específico.
Funções:
f: A→B
é uma função, se e somente se:
(A.x)>(.f(x),B.f(x))
ou B.(f(A))
(B.f(x), B.b, b.f(x) ) > f(x).b> b=f(x), ou seja, o valor de f(x) é único.
(B.f(x), B.b, b.f(x) ) > f(x).b> b=f(x), ou seja, o valor de f(x) é único.
Novamente: Quando não se especifica, há uma generalização, assim como ocorre na língua. Interpretar a falta de especificação como uma indefinição não está correto, pois ao dizermos "uma mulher ganhou na loteria" estamos no especificando a uma mulher, não é uma generalização.
Definição de ordem: Também é um tipo específico de relação que obedece às seguintes propriedades:
∀a∈A : a≼a
a≼b e b≼a => a=b a≼b e b≼c => a≼c
Em TNL:
A.a>a≼a
(A.(ab) a≼b b≼a)>a.b.a
(A.(abc) a≼b b≼c)>a≼c
A.a>a≼a
(A.(ab) a≼b b≼a)>a.b.a
(A.(abc) a≼b b≼c)>a≼c
O nome "parcial" significa que nem todo elemento de A precisa ser comparável. Quando se tem a propriedade adicional "∀a,b∈A => a≼b ou a≼c ou a=b", dizemos que A é totalmente ordenado.
Em TNL: A.(b c)>[b≼c ou c≼b ou b=c], lembrando que "ou" e "=" já foram reduzidos na TNL.
Se ∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado. Em outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento.
Em TNL: A.B>[(.b B.b) (B.x>b≼x)]
Confrontando estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼ pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o que implica em equivalência conceitual:
∀a∈A : a.a
a.b e b.a => a=b
a.b e b.c => a.c
No exemplo abaixo temos b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; b não se relaciona com c.
Este caso parece fugir da conceito de "ter", porém existe uma comparação estabelecida de forma visual pelos elementos que estão mais acima. Aqui não temos um conjunto totalmente ordenado, mas apenas uma relação genérica cuja definição já foi descrita na TNL.
Quanto aos números, a relação de ordem se resume à uma inclusão, por exemplo, dizer que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||
Segundo o livro, a lógica de primeira ordem é expressiva o suficiente para formalizar toda a matemática. Ela não é capaz de englobar toda a linguagem, ao nos referirmos a ela, é necessário estabelecer, limitar, a linguagem à qual estamos nos referindo. Ela é formada por:
Ele reduz os conectivos a apenas ¬ ⋀ ∀:
A↔B = (A→B)⋀(A→B)
↔¬∈⋀⋁→∃∀
Fim
A.x B.x
Ele também pode significar outras simultaneidades, AB indica que estamos nos referindo a A e a B como um conjunto único, neste caso temos uma união dos conjuntos.
A negação do para todo é existe um que não, pode ser expressa por dois conjuntos com intersecção não vazia.
A ZFC pode ser utilizado para formalizar toda a matemática, inclusive os teoremas metamatemáticos. Nessas formalizações temos algumas limitações, pois não podemos, na lógica de primeira ordem, quantificar sobre conjuntos, funções e sequências de elementos do universo.
A teoria dos conjuntos surge como uma teoria unificadora, utilizando uma linguagem de primeira ordem. O livro defende que a ZFC cumpre bem o papel de sistema unificador, sendo possível definir dentro dele os objetos matemáticos básicos como pares ordenados, produto cartesiano, funções, naturais e reais. Outras teorias matemáticas podem ser definidas a partir destes como a geometria euclidiana que pode ser interpretada em R3.
Afirma que: "Deixamos como tarefa ao leitor de suma paciência e disposto de bastante tempo livre formalizar essas demonstrações integralmente na lógica de primeira ordem. Sendo essa uma tarefa virtualmente impossível, o leitor poderá indagar qual é a utilidade da lógica para fundamentar a matemática, se, na prática, essa é inviável."
Afirma que o único símbolo específico da ZFC é o pertence.
x>°y
y>°x
Em Teoria dos Conjuntos o "ou" costuma ser interpretado como a união, ou seja: x pertence à união de A e B quer dizer que x pertence à um ou ao outro:
(AB).x
Fazer mapa de dependência conceitual.
O x pode ser um recorte qualquer do espaço-tempo, por exemplo, o conceito de mãe indica uma concepção uma ação, um conjunto de momentos no espaço-tempo.
Realidade => linguagem => Matemática => Física
x.dx>(x.y.dx y°.x) Definição de dx
O paradoxo do mentiroso é um tipo de afirmação simultânea de duas coisas excludentes. Ou se algo que não existe.
Ordem: 2<3 =>3.2
O Lema de Zorn é equivalente ao axioma da escolha em ZF
Em TNL: A.(b c)>[b≼c ou c≼b ou b=c], lembrando que "ou" e "=" já foram reduzidos na TNL.
Se ∀B⊂A,∃b∈B:(∀x∈B, b≼x) A é um conjunto bem-ordenado. Em outras palavras: todo subconjunto de A possui primeiro elemento.
Em TNL: A.B>[(.b B.b) (B.x>b≼x)]
Confrontando estes conceitos com a TNL, podemos perceber que a ideia de ordem depende da igualdade na propriedade 2 e esta, por sua vez, depende do conceito de pertinência "ter" da TNL. O fato é que o ≼ pode ser substituído pelo "ter" o "." da TNL, o que implica em equivalência conceitual:
∀a∈A : a.a
a.b e b.a => a=b
a.b e b.c => a.c
No exemplo abaixo temos b≼a, c≼a, d≼b, d≼c e e≼d; b não se relaciona com c.
Este caso parece fugir da conceito de "ter", porém existe uma comparação estabelecida de forma visual pelos elementos que estão mais acima. Aqui não temos um conjunto totalmente ordenado, mas apenas uma relação genérica cuja definição já foi descrita na TNL.
Quanto aos números, a relação de ordem se resume à uma inclusão, por exemplo, dizer que 2<3 equivale a dizer que 3.2, pois |||.||
Definição de relação de equivalência: R é uma relação de equivalência em X se:
- xRx para todo x∈X
- xRy então yRx
- xRy e yRz então xRz
Em TNL:
X.x>xRx
xRy>yRx
xRy, yRz > xRz
Segundo o livro, a lógica de primeira ordem é expressiva o suficiente para formalizar toda a matemática. Ela não é capaz de englobar toda a linguagem, ao nos referirmos a ela, é necessário estabelecer, limitar, a linguagem à qual estamos nos referindo. Ela é formada por:
- Variáveis: x, y, z... Também podem ser indexadas por números;
- Conectivos: ↔ ¬ ⋀ ⋁ →;
- Quantificadores: ∃∀
- Delimitadores: ), ( e ,;
- Igualdade: =
- Símbolos relacionais: Para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos relacionais n-ários, geralmente representados por letras maíusculas que podem ser indexadas por números naturais;
- Símbolos funcionais: Para cada número natural há uma lista (que pode ser vazia) de símbolos funcionais n-ários, geralmente representados por letras maíusculas que podem ser indexadas por números naturais;
- Constantes: Uma lista que pode ser vazia de símbolos, geralmente letras minúsculas do início do alfabeto, eventualmente indexadas pelos naturais.
Críticas: Não se trata de uma linguagem forte, ela não é capaz de definir =↔¬⋀⋁→∃∀, o que é variável, relação, função, números e constante. Todos estes elementos podem ser esmiuçados pela TNL.
A partir desta lista vulgar, definem-se outros conceitos artificiais fundados sobre elas e interdependentes: Termos, fórmulas(que dependem da definição de termo), grau de complexidade de termos e fórmulas, subtermos e subfórmulas, variáveis livres, substituição de variável por termo, substituição de variável por termo.
Vejamos os casos específicos de Fórmulas e termos:
Termos: São sequências finitas de símbolos do alfabeto que obedecem a estas regras:
- As variáveis são termos;
- As constantes são termos;
- Se t1,...tn são termos e F é um símbolo funcional n-ário, então F(t1,...,tn) é um termo;
- Todos os termos têm uma das formas acima.
Fórmulas: São sequências finitas de símbolos do alfabeto que obedecem a estas regras:
- Se t e s sã termos, (t=s) é uma fórmula;
- Se t1,...tn são termos e R é um símbolo relacional n-ário, então R(t1,...,tn) é uma fórmula;
- Se A e B são fórmulas, então (¬A), (A→B), (A⋀B), (A⋁B) e (A↔B) são fórmulas;
- Se A é fórmula e x é uma variável, então ∃xA e ∀xA são fórmulas;
- Todas as fórmulas têm uma das formas acima.
A↔B = (A→B)⋀(A→B)
A⋁B = ¬((¬A)⋀(¬B))
A→B = (¬A)⋁B ou seja: A→B = (¬A)⋁B = ¬((¬¬A)⋀(¬B)) = ¬((A)⋀(¬B))
∃xA = ¬∀x¬A
Paradoxos: Representações de coisas inexistentes ou contradições.
Em semântica temos que o Modelo é construído à partir de uma linguagem de primeira ordem, constantes, um conjunto não vazio, símbolos relacionais e funcionais.
Interpretação: Se dá por meio de uma função (valoração), depende de variáveis modelo, domínio.
Verdade: Depende da valoração, modelo, fórmula
A→B = (¬A)⋁B ou seja: A→B = (¬A)⋁B = ¬((¬¬A)⋀(¬B)) = ¬((A)⋀(¬B))
∃xA = ¬∀x¬A
Paradoxos: Representações de coisas inexistentes ou contradições.
Em semântica temos que o Modelo é construído à partir de uma linguagem de primeira ordem, constantes, um conjunto não vazio, símbolos relacionais e funcionais.
Interpretação: Se dá por meio de uma função (valoração), depende de variáveis modelo, domínio.
Verdade: Depende da valoração, modelo, fórmula
↔¬∈⋀⋁→∃∀
Fim
E
O "e" não implica necessariamente em interdependência entre os termos. Interpretado como uma intersecção, ele indica que x pertence a dois conjuntos A e B ao mesmo tempo em TNL:A.x B.x
Ele também pode significar outras simultaneidades, AB indica que estamos nos referindo a A e a B como um conjunto único, neste caso temos uma união dos conjuntos.
A negação do para todo é existe um que não, pode ser expressa por dois conjuntos com intersecção não vazia.
A ZFC pode ser utilizado para formalizar toda a matemática, inclusive os teoremas metamatemáticos. Nessas formalizações temos algumas limitações, pois não podemos, na lógica de primeira ordem, quantificar sobre conjuntos, funções e sequências de elementos do universo.
A teoria dos conjuntos surge como uma teoria unificadora, utilizando uma linguagem de primeira ordem. O livro defende que a ZFC cumpre bem o papel de sistema unificador, sendo possível definir dentro dele os objetos matemáticos básicos como pares ordenados, produto cartesiano, funções, naturais e reais. Outras teorias matemáticas podem ser definidas a partir destes como a geometria euclidiana que pode ser interpretada em R3.
Afirma que: "Deixamos como tarefa ao leitor de suma paciência e disposto de bastante tempo livre formalizar essas demonstrações integralmente na lógica de primeira ordem. Sendo essa uma tarefa virtualmente impossível, o leitor poderá indagar qual é a utilidade da lógica para fundamentar a matemática, se, na prática, essa é inviável."
Afirma que o único símbolo específico da ZFC é o pertence.
OU
O "ou exclusivo" indica que existe uma interdependência entre as proposições, uma exclui a possibilidade da outra:x>°y
y>°x
Em Teoria dos Conjuntos o "ou" costuma ser interpretado como a união, ou seja: x pertence à união de A e B quer dizer que x pertence à um ou ao outro:
(AB).x
Fazer mapa de dependência conceitual.
O x pode ser um recorte qualquer do espaço-tempo, por exemplo, o conceito de mãe indica uma concepção uma ação, um conjunto de momentos no espaço-tempo.
Realidade => linguagem => Matemática => Física
x.dx>(x.y.dx y°.x) Definição de dx
O paradoxo do mentiroso é um tipo de afirmação simultânea de duas coisas excludentes. Ou se algo que não existe.
Ordem: 2<3 =>3.2
O Lema de Zorn é equivalente ao axioma da escolha em ZF
