__________________________________________________________________________
Capítulo 3- O conjunto de todas as coisas e o vazio existem?
Teorema: O Conjunto Ω de Todas as Coisas existe e é único.
Prova: Pela definição de Ω, temos que ∃x <=> x ∈ Ω, o que equivale a dizer que ∄x <=> x ∉ Ω.
Suponha, por absurdo, que ∃y e y ∉ Ω => ∄y, temos, então, um absurdo, pois ∃y => ∄y.
Seja T outro conjunto de todas as coisas, se ∃T, então T ∈ Ω, já que Ω existe, então Ω ∈ T, logo
Ω = T.
Outra forma de demonstrar tal fato seria uma prova construtivista:
∀z ∉ Ω "para todo z não pertencente a ômega" poderíamos tomar o conjunto Ω ∪ {z}, também poderíamos apelar para o conjunto complementar de Ω que é o conjunto de tudo o que não existe:
z ∈ CΩ <=> ∄z, naturalmente CΩ ∪ Ω será o conjunto te todas as coisas, pois ∀x temos apenas duas possibilidades: ∃x ou ∄x o que implica que x está em Ω ou em seu complementar.Já que Ω é tudo, então CΩ é o nada, ou seja CΩ é o conjunto vazio. ∀x ∈ CΩ => ∄x, portanto, o conjunto vazio é formado por coisas que não existem, logo ∄CΩ = Ø.
Capítulo 3- O conjunto de todas as coisas e o vazio existem?
Teorema: O Conjunto Ω de Todas as Coisas existe e é único.
Prova: Pela definição de Ω, temos que ∃x <=> x ∈ Ω, o que equivale a dizer que ∄x <=> x ∉ Ω.
Suponha, por absurdo, que ∃y e y ∉ Ω => ∄y, temos, então, um absurdo, pois ∃y => ∄y.
Seja T outro conjunto de todas as coisas, se ∃T, então T ∈ Ω, já que Ω existe, então Ω ∈ T, logo
Ω = T.
Outra forma de demonstrar tal fato seria uma prova construtivista:
∀z ∉ Ω "para todo z não pertencente a ômega" poderíamos tomar o conjunto Ω ∪ {z}, também poderíamos apelar para o conjunto complementar de Ω que é o conjunto de tudo o que não existe:
z ∈ CΩ <=> ∄z, naturalmente CΩ ∪ Ω será o conjunto te todas as coisas, pois ∀x temos apenas duas possibilidades: ∃x ou ∄x o que implica que x está em Ω ou em seu complementar.Já que Ω é tudo, então CΩ é o nada, ou seja CΩ é o conjunto vazio. ∀x ∈ CΩ => ∄x, portanto, o conjunto vazio é formado por coisas que não existem, logo ∄CΩ = Ø.
Alguns argumentos filosóficos ainda defendem que o conjunto vazio não é o mesmo que o nada, eles dizem que ele é um conjunto com nada dentro e um conjunto é sempre algo. Uma analogia interessante que utilizam é a seguinte: Uma sacola vazia, mesmo que vazia, ainda existe; Desta forma eles definem conjunto como sendo um invólucro virtual, mas isto deixa de ser vazio, pois ele é constituído por uma ideia, um pensamento, portanto, a forma como definem conjunto é carente de exatidão, o mais correto seria definir um conjunto como sendo a união de seus elementos internos com tal invólucro.
Darling (2004) explica que o conjunto vazio não é nada senão "o conjunto de todos os triângulos com quatro lados, de todos os números maiores do que nove e menores do que oito, e o conjunto de todos os movimentos de abertura, em xadrez, que envolvam um rei." Claro que este conjunto não possui elementos, podemos nos referir a ele, porém isto não garante sua existência e esta é a confusão central, um conjunto nada mais é do que os seus elementos, não existe uma "sacola" na Teoria dos Conjuntos, os Diagramas de Venn são meras ilustrações, não devem ser vistos como "sacolas". O conjunto A = {1,2,3} não é igual ao conjunto B = {1,},2,{,3}:
Portanto, quando nos referimos ao conjunto vazio Ø, devemos ter em mente que estamos afirmando que sua representação existe, mas ele não existe. Podemos representar diversas coisas que não existem, e isto não implica em sua existência.
