Os matemáticos costumam definir tudo, mas não conseguem definir a própria matemática precisamente:
"Os matemáticos, por exemplo, quando não sabem algo, costumam encobrí-lo sob o guarda chuva de 'conceito primitivo', ou 'axioma' aceito sem demonstração. Não só eles, mas os físicos empregam o mesmo ardil para conceitos como 'tempo, massa, força, gravidade, etc." (ALMEIDA, 2017, pg.34, 35).
"(...) quando os filósofos nos atacam com seus paradoxos, corremos e nos escondemos atrás do formalismo e dizemos: 'A Matemática é apenas uma combinação de símbolos sem sentido' (...) o sentimento que cada matemático tem, de que está trabalhando em algo real (...) é provavelmente uma ilusão."(ALMEIDA, 2017, pg.86 apud J.A. Diedonné, in D&H, op. cit., pg. 362).
Dentre os matemáticos há os nominalistas que acreditam que conceitos matemáticos não são abstratos, todos eles seriam representações de coisas concretas (ALMEIDA, 2017, pg.34, 35 - apud MANNO, 1985, pg.232) Kant pensava desta forma, se os matemáticos seguissem este princípio, muitos temas da matemática seriam renegados (ALMEIDA, 2017, pg.56). O nominalismo nega o idealismo de que a matemática possui uma existência independente, limitando-a a uma interpretação da realidade . Os conceitualistas acreditam que os conceitos matemáticos abstratos existem, porém são frutos do pensamento (por exemplo, o construtivismo). Os realistas (ou platônicos), ao contrário, vêem a existência dos conceitos matemáticos como independentes do pensamento, podemos conhecê-los ou não e isto não influenciará em sua existência. Portanto, o platonismo defende que o matemático seria comparável a um cientista empírico, ele não teria o poder de inventar, mas apenas de descobrir conhecimentos independentes das percepções e sentidos.
"A noção de conjunto, uma coleção de objetos distintos, era tão simples e fundamental que poderia ser o tijolo com o qual poderia ser construída toda a Matemática." (ALMEIDA, 2017, pg.34, 35 apud D&H, 1985, pg.372).
"(...) Russel chegou a definir a Matemática pura como 'a classe de todas as proposições da forma (p implica q), onde p e q são proposições contendo uma ou mais variáveis, as mesmas nas duas proposições e nem p nem q contêm constantes exceto constantes lógicas." (ALMEIDA, 2017, pg.34, 35 apud Russel).
Um exemplo de redução é que Cantor, Dedekind e Weierstrass provaram que os números reais (o contínuo) pode ser construído por meio dos naturais (o discreto), mas o mais interessante é Frege mostrou que os números naturais podem ser originados a partir do nada, por meio do o conjunto vazio e da teoria dos conjuntos (ALMEIDA, 2017, pg.56, 57). Logo TC Vazio> Naturais>Reais
Nesta perspectiva reducionista, ainda podemos citar o logicismo que tentou gerar a Matemática a partir da lógica, mas que também não obteve sucesso. vejamos o que relatou Bertrand Russell:
"(...) descobri que muitas demonstrações matemáticas, que os meus professores esperavam que eu aceitasse, estavam cheias de falácias (...) chegue à conclusão de que não havia mais nada que eu pudesse fazer a fim de tornar o conhecimento matemático indubitável." (ALMEIDA, 2017, pg. 62 apud Russell)
O intuicionismo também tem problemas, pois tornaria inviável grande parte da matemática. Além disso, não está de acordo com a realidade desta ciência (ALMEIDA, 2017, pg.65, 66).
De acordo com Almeida, (2017, pg.66, 67, 94, 95), o formalismo sustentou-se sobre o método axiomático e obteve muito sucesso. Escolhem-se conceitos primitivos fundamentais que não podem ser definidos. A respeito destes conceitos fazem-se algumas proposições denominadas axiomas, as quais são aceitas sem demonstração. As consequências lógicas deste conjunto de axiomas gera a teoria em questão: os teoremas passam a ter conteúdo significativo apenas se possuírem uma interpretação. O formalismo considera apenas a "forma" da estrutura das sentenças lógicas, ele desconsidera qualquer conteúdo subjacente dos símbolos, focando apenas nas estruturas formais. David Hilbert foi um grande defensor desta "escola" criando a metamatemática (teoria da demonstração) cujo propósito era mostrar a consistência da matemática e sua completude. As teses do formalismo foram questionadas por Kurt Gödel (1931) (ver cap.), Poincaré também foi contrário à esta corrente, ele afirmava que ela não explicava de onde eles surgiram nem sua essência, portanto, para ele (e Mill), os axiomas não seriam senão convenções não contraditórias.
É "amplamente aceito" que a teoria dos conjuntos com a axiomatização de Zermelo-Fraenkel fundamenta grande parte da matemática usual. Juntando-se a ela o axioma da escolha, é possível alicerçar toda a matemática usual, mas há outros sistemas axiomáticos que também poderiam realizar tal tarefa. (ALMEIDA, 2017, pg.96, 97, 100).
excesso de analfabetismo na época do formalismo- formando círculos restritos como o de viena
A MATEMÁTICA NA IDADE DA PEDRA - MANOEL DE CAMPOS ALMEIDA - 2017 - EDITORA LIVRARIA DA FÍSICA - 1ªEDIÇÃO - São Paulo
