GÖDEL
David Hilbert desejava axiomatizar toda a Matemática num sistema que fosse consistente e completo, ou seja:
1- Partindo-se dos axiomas, seria impossível obter uma contradição (consistência);
2- Qualquer sentença poderia ser demonstrada mediante estes axiomas (completude).
Sabe-se que, mediante a Teoria dos Conjuntos, cujos estudos foram iniciados por Georg Cantor (1879), é possível definir os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, as operações aritméticas e assim por diante (STEWART, 2009, pg.214). Portanto, se houvesse uma base axiomática para a Teoria dos Conjuntos, toda a Matemática estaria bem fundamentada: seria consistente e completa. Acredita-se que Kurt Gödel, em 1931, provou que David Hilbert estava errado: a matemática não poderia ser totalmente axiomatizada. Gödel teria provado que dois resultados que fariam o “Programa de Hilbert” ser abandonado:
1) Qualquer sistema formal rico o suficiente para conter a aritmética, conteria proposições indecidíveis: coisas que não podem ser provadas nem refutadas;
2) Se tal sistema for consistente, então não é possível que ele prove sua própria consistência.
“Gödel montou sua proposição indecidível encontrando uma versão formal do paradoxo lógico ‘esta afirmação é falsa’, ou, mais precisamente, ‘esta afirmação não possui uma prova” (STEWART, 2009. pg. 216).
A lógica convencional admite a lei do 3º excluído(ou meio excluído): toda afirmação ou é verdadeira ou é falsa. Não existe outra possibilidade.
Existe um relato de que Leonard Euler, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, refutou Denis Diderot quando este tentava converter a corte de Catarina, a Grande, ao ateísmo, pois Euler era um homem religioso (STEWART, 2009. pg. 216 apud Augustus De Morgan). Com o desenvolvimento da matemática, discutia-se a possibilidade de haver uma prova algébrica da existência de Deus, Voltaire teria citado uma dessas situações em seu “diatribe”, Gödel também tentou fazer uma demonstração da existência de Deus utilizando lógica modal.
ALMANAQUE DAS CURIOSIDADES MATEMÁTICAS - EDITORA ZAHAR - IAN STEWART - 2009 - RIO DE JANEIRO
